Verhalten belasteter passiver RC-Pässe

Eine passive RC-Schaltung kann als Hoch- oder Tiefpass-Filter genutzt werden. Beim RC-Hochpass liegt das Ausgangssignal parallel zum Widerstand und beim RC-Tiefpass parallel zum Kondensator. Die Kombination passend dimensionierter Hoch- und Tiefpass-Filter ergeben einen Bandpass oder eine Bandsperre. Die Berechnung der Grenzfrequenz und der Übertragungsfunktion gilt nur für einfache unbelastete Pass- oder Filterschaltung. In kombinierten Filterschaltungen belasten sich die Aus- und Eingänge der einfachen HP- oder TP-Glieder gegenseitig. Zur Berechnung der Eigenschaften sind entsprechend erweiterte Formeln notwendig. Nachfolgend werden die RC-Pässe nur mit Wirkwiderständen belastet. Die mathematischen Herleitungen gelten angepasst auch für RL-Pässe und kombinierte Schaltungen.

Grenzfrequenzversatz belasteter Tiefpässe

Wird ein passiver RC-Tiefpass am Ausgang mit einem Wirkwiderstand belastet, so nimmt mit zunehmender Belastung die Ausgangsamplitude ab und die Grenzfrequenz zeigt höhere Werte an. Die Dämpfung der Ausgangsamplitude bei Grenzfrequenz bleibt für den belasteten Pass 1. Ordnung mit −3 dB unverändert. Das Diagramm zeigt die Simulationsergebnisse der AC-Analyse für eine vorgegebene konstante 1 V Eingangsspannung. Der Frequenzbereich wird automatisch bis zur frei gewählten Endfrequenz durchlaufen.

Bei der jeweiligen Grenzfrequenz wurde die Ausgangsspannung gemessen und der kapazitive Blindwiderstand berechnet. Die Berechnung der Spannungsverstärkung in dB erfolgt mit: \[{V_u}\;[db] = 20\,\lg \frac{{{u_a}}}{{{u_e}}}\] Bei der Grenzfrequenz und dem Phasenwinkel |45°| müssen die Wirk- und Blindwiderstandswerte gleich sein. Es zeigt sich, dass auf das Signal bezogen R und RLast als Parallelschaltung wirksam sind: \[{R_{ers}} = \frac{{R \cdot {R_{Last}}}}{{R + {R_{Last}}}}\quad \quad {f_g} = \frac{1}{{2\,\pi \,{R_{ers}}\;C}}\]

Ist der Widerstandswert der Signalquelle nicht vernachlässigbar, muss sein Wert zum Wert des Tiefpass R addiert werden. Je größer der Wert des Innenwiderstands bei unverändertem RLast ist, desto niedriger ist die Grenzfrequenz.

Übertragungsfunktion für einen belasteten RC-Tiefpass

Die Übertragungsfunktion wird mit komplexer Wechselstromrechnung erstellt. Der Innenwiderstand der Signalquelle ist vernachlässigbar niederohmig und hat praktisch keinen Einfluss. Der RC-Tiefpass ist mit einem Wirkwiderstand belastet und entspricht einer gemischten Reihen-Parallel-Schaltung. Die Ausgangsspannung liegt an der Parallelschaltung des Blindwiderstands mit dem Lastwiderstand. Für die Impedanz der Parallelschaltung gilt: \[\underline Z = \frac{{{R_{Last}} \cdot \frac{1}{{j\,\omega \,C}}}}{{{R_{Last}} + \frac{1}{{j\,\omega \,C}}}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{R_{Last}}}} + j\,\omega \,C}}\quad (1)\] Die Übertragungsfunktion ist das Verhältnis der Ausgangsspannung an Z zur Eingangsspannung an der Reihenschaltung des Wirkwiderstands R und Z liegt. Bei einer passiven Schaltung ist die Ausgangsspannung nie größer als die Eingangsspannung. Zum einfachen Vergleich unterschiedlich dimensionierter Schaltungen wird die Übertragungsfunktion auf die Ausgangsspannung normiert. Sie wird dazu mit dem Kehrwert des Zählers erweitert: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{{\underline Z }}{{R + \underline Z }} = \frac{1}{{1 + \frac{R}{{\underline Z }}}}\] Z aus Gl.(1) einsetzen und umformen ergibt eine normierte Übertragungsfunktion mit noch imaginärem Nennerausdruck: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{1}{{1 + R\left( {\frac{1}{{{R_{Last}}}} + j\,\omega \,C} \right)}} = \frac{1}{{1 + \frac{R}{{{R_{Last}}}} + j\,\omega \,R\,C}}\] Der Nennerausdruck wird auf einen Hauptnenner gebracht, die Gleichung konjugiert komplex erweitert und in die Real- und Imaginärkomponente getrennt geschrieben: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{{\frac{{R + {R_{Last}}}}{{{R_{Last}}}}}}{{{{\left( {\frac{{R + {R_{Last}}}}{{{R_{Last}}}}} \right)}^2} + {{(\omega \,R\,C)}^2}}} - j\,\frac{{\omega \,R\,C\,}}{{{{\left( {\frac{{R + {R_{Last}}}}{{{R_{Last}}}}} \right)}^2} + {{(\omega \,R\,C)}^2}}}\quad (2)\] Die Grenzwertbetrachtung bestätigen die Tiefpasseigenschaften: \[\omega \to 0\quad \left| {\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}}} \right| \to \frac{{{R_{Last}}}}{{R + {R_{Last}}}}\quad {R_{Last}} \gg R\quad \left| {\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}}} \right| \to 1\] \[\omega \to \infty \quad {\left| {\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}}} \right|_{{\mathop{\rm Re}\nolimits} }} \to 0\quad {\left| {\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}}} \right|_{{\mathop{\rm Im}\nolimits} }} \to 0\quad \Rightarrow \left| {\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}}} \right| \to 0\] Die Abhängigkeit des Phasenwinkels von der Frequenz errechnet sich aus dem Arcustangens des Quotienten der Imaginär- zur Realkomponente. Das negative Vorzeichen zeigt, dass es sich um einen Tiefpass handelt: \[\varphi (\omega ) = - \arctan \left( {\frac{{\omega \,R\,C}}{{\frac{{R + {R_{Last}}}}{{{R_{Last}}}}}}} \right) = - \arctan \left( {\frac{{R\,{R_{last}}}}{{R + {R_{Last}}}}\omega \,C} \right)\] Bei der Grenzfrequenz beträgt der Absolutwert des Phasenwinkels immer |φ| = 45°. Aus dem Argument der Winkelfunktion kann die Grenzfrequenzformel für den belasteten Tiefpass hergeleitet werden: \[\varphi (\omega ) = \left| {{{45}^o}} \right| = \arctan (1)\quad \Rightarrow \quad \frac{{R\,{R_{last}}}}{{R + {R_{Last}}}}\omega \,C = 1\] \[{R_{ers}} = \frac{{R\,{R_{last}}}}{{R + {R_{Last}}}}\quad \Rightarrow \quad {f_g} = \frac{1}{{2\,\pi \,{R_{ers}}\,C}}\] Das Ergebnis entspricht der am Anfang hergeleiteten Formel mit dem gleichen Rers.

Grenzfrequenzversatz belasteter Hochpässe

Beim passiven RC-Hochpass haben der Innenwiderstand der Signalquelle und eine Ausgangslast Einfluss auf die Grenzfrequenz und das Übertragungsverhalten. Wird der Innenwiderstand der Signalquelle in die Rückleitung gezeichnet, so ist deutlich zu erkennen, dass er mit der Ausgangsparallelschaltung R || RLast eine Reihenschaltung bildet. Der Ersatzwiderstand zur Berechnung der neuen Grenzfrequenz ist dann die Addition der beiden Teilwiderstandswerte: \[{R_{ers}} = {R_i} + \frac{{R\,{R_{Last}}}}{{R + {R_{Last}}}}\quad \quad {f_g} = \frac{1}{{2\,\pi \,{R_{ers}}\,C}}\] Der Einfluss des Innenwiderstands kann vernachlässigt werden, wenn sein Wert klein im Vergleich zum Wert des RC-Ausgangswiderstands ist. Die Simulationsergebnisse zeigen, dass mit zunehmender Belastung die Grenzfrequenz in den höheren Bereich verschoben wird. Ist der Innenwiderstand der Quelle nicht zu vernachlässigen, dann liegen bei unveränderter Ausgangsbelastung die Grenzfrequenzen etwas niedriger.

Übertragungsfunktion für einen belasteten RC-Hochpass

Der HP-Widerstand R wird durch den Wirkwiderstand RLast belastet. An dieser Parallelschaltung liegt die Ausgangsspannung. Der Innenwiderstand Ri der Quelle liegt dazu in Reihe.

Für diesen RC-Hochpass wird die normierte Übertragungsfunktion aufgestellt: \[{R_p} = \frac{{R\,{R_{Last}}}}{{R\, + {R_{Last}}}}\quad \quad {\underline X _C} = \frac{1}{{j\,\omega \,C}} = - \frac{j}{{\omega \,C}}\] \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{{{R_p}}}{{({R_i} + {R_p}) - \frac{j}{{\omega \,C}}}} = \frac{1}{{\frac{{{R_i} + {R_p}}}{{{R_p}}} - j\frac{1}{{\omega \,{R_p}\,C}}}}\] Durch konjugiert komplexe Erweiterung wird der Nenner real. Die Übertragungsfunktion kann in die Real- und Imaginärkomponente getrennt geschrieben werden: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{{\frac{{R{}_i + {R_p}}}{{{R_p}}}}}{{{{\left( {\frac{{R{}_i + {R_p}}}{{{R_p}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\omega \,{R_p}\,C}}} \right)}^2}}} + j\frac{{\frac{1}{{\omega \,{R_p}\,C}}}}{{{{\left( {\frac{{R{}_i + {R_p}}}{{{R_p}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{{\omega \,{R_p}\,C}}} \right)}^2}}}\]

Für die Grenzwertbetrachtung mit ω → 0 strebt der Nenner der Realkomponente gegen (∞²) und somit die Realkomponente gegen null. Bei der Imaginärkomponente strebt der Zähler gegen unendlich und der Nenner gegen (∞²). Formal kann gekürzt werden und mit (1/∞) strebt die Imaginärkomponente gegen null. Für das andere Extrem mit ω → ∞ strebt die Imaginärkomponente gegen null. Für die Realkomponente gilt: \[\omega \to \infty \quad \Rightarrow \frac{1}{{\omega \,{R_p}\,C}} \to 0\quad \Rightarrow \frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} \to \frac{{{R_p}}}{{{R_i} + {R_p}}}\]

Die Abhängigkeit des Phasenwinkels errechnet sich mit dem Arcustangens aus dem Quotienten der Imaginär- zur Realkomponente: \[\varphi (\omega ) = \arctan \left( {\frac{{\frac{1}{{\omega \,{R_p}\,C}}}}{{\frac{{{R_i} + {R_p}}}{{{R_p}}}}}} \right) = \frac{1}{{({R_i} + {R_p})\,\omega \,C}}\] \[\varphi (\omega ) = \arctan \frac{1}{{\left( {{R_i} + \frac{{R\,{R_{Last}}}}{{R + {R_{Last}}}}} \right)\omega \,C}}\] Da es sich um einen Hochpass handelt ist das Vorzeichen positiv. Die Grenzfrequenz bei φ = 45° berechnet sich mit: \[{f_g} = \frac{1}{{2\,\pi \left( {{R_i} + \frac{{R\,{R_{Last}}}}{{R + {R_{Last}}}}} \right)C}}\] Die weiter oben ermittelten Simulationsergebnisse können mit dieser Formeln bestätigt werden.

RC-Bandpässe

Idealisiert haben Hoch- und Tiefpässe in Bezug auf ihre Grenzfrequenz je einen Durchlass- und Sperrbereich. Mit der Kombination einer passend dimensionierten Hoch- und Tiefpass Schaltung sollte es möglich sein aus einem breiten Frequenzband einen schmalen Frequenzbereich herauszufiltern. Ist nur dieser Bereich im Ausgangssignal bevorzugt, so bildet die Schaltung einen Bandpass. Ist ein schmales Frequenzband stark gedämpft und nur die Frequenzen davor und danach sind im Ausgangssignal mit großer Amplitude nutzbar, dann hat die Schaltung die Eigenschaft einer Bandsperre. im Kapitel passive elektrische Filter sind dazu ausführlichere Informationen zu finden.

Schaltungsvarianten

Zwei gleichartig dimensionierte passive RC-Pässe können an eine Signalquelle auf unterschiedliche Weise kombiniert angeschlossen werden. Das Ausgangssignal soll ein schmales kontinuierliches Signalband sein. Ein Bereich sehr tiefer Frequenzen und ein Bereich sehr hoher Frequenzen liegt im Sperrbereich und nur ein mittlerer Frequenzbereich gehört zum Durchlassbereich. Bei den ersten beiden Schaltungen zeigt der grüne Kurvenzug den Signalverlauf am Punkt A gegen Masse. Der Bauteilindex 1 gehört zum Tiefpass, der Index 2 zum Hochpass. Die Ergebnisse einer Simulationssoftware zeigen, dass alle drei Schaltungsvarianten einen identischen Amplituden-Frequenzgang haben.

Für den HP und TP alleine errechnet sich mit fg = 159 Hz der gleiche Wert der Grenzfrequenz. Die abgelesenen Werte für die Bandbreite betragen fgu = 48 Hz und fgo = 530 Hz. Die Bandbreite ist definiert als Differenz zwischen der oberen und unteren Grenzfrequenz. Mit bekannten Werten kann die Mittenfrequenz fo des Filters berechnet werden: \[B = \Delta f = {f_{go}} - {f_{gu}}\quad \quad {f_o} = \sqrt {{f_{go}} \cdot {f_{gu}}} \] Für die dritte Schaltungsvariante ist der Phasenfrequenzgang dargestellt. Bei der unteren BP-Grenzfrequenz hat der abgelesene Phasenwinkel φ = +45° und deutet auf HP-Eigenschaft. Bei der oberen BP-Grenzfrequenz hat der abgelesene Phasenwinkel φ = −45°. Das deutet auf eine TP-Eigenschaft des Filters. Für die Maximalamplitude im Duchlassbereich wurden −9,5 dB abgelesen.

Die Serienschaltung von Hoch- und Tiefpass ergibt nur dann einen sinnvoll nutzbaren Bandpass, wenn sich die Grenzfrequenzen von HP und TP nicht zu sehr unterscheiden. Die gegenseitige Belastung von Hoch- und Tiefpass kann durch einen dazwischen geschalteten Impedanzwandler verhindert werden. Er hat eine sehr hohe Eingangsimpedanz und belastet den Ausgang des ersten RC-Passes nicht. In der Grundschaltung hat der Impedanzwandler den Verstärkungsfaktor 1 und keinen Einfluss auf die Signalamplitude. Mit seiner sehr niedrigen Ausgangsimpedanz stellt er für den folgenden RC-Pass eine fast ideale Signalquelle dar.

Der rote Kurvenzug am Ausgang des Impedanzwandlers zeigt das Bodediagramm für den nicht belasteten HP mit der Grenzfrequenz von 159 Hz. Auf die Amplitude der Eingangsspannung bezogen beträgt die Dämpfung −3 dB. Der folgende Tiefpass mit gleicher Grenzfrequenz dämpft diese Amplitude um den gleichen Wert. Die Maximalamplitude des Bandpasses erreicht somit −6 dB. Mit weiter zunehmender Frequenz dämpft der TP die Ausgangsamplitude mit 6 dB pro Oktave oder 20 dB pro Dekade. Das kennzeichnet eine Filterschaltung 1. Ordnung. Die Diagramme der entkoppelten BP-Simulationsschaltung haben die gleiche Mittenfrequenz. Die Bandbreite ist geringer und das Filterverhalten optimaler.

Die Entkopplung mit einem Impedanzwandler wird oft angewendet, zumal er auch unter Beibehalten seiner günstigen Ein- und Ausgangsimpedanzen zum Verstärker erweitert werden kann. Die gesamte Filterschaltung ist nicht mehr passiv. Der Operationsverstärker benötigt eine symmetrische DC-Betriebsspannung.

Komplexe Übertragungsfunktion für einen passiven RC-Bandpass

Die weiter oben untersuchte dritte Simulationsschaltung scheint für die Herleitung der Übertragungsfunktion die bessere Wahl zu sein. Der Bandpass ist als Spannungsteiler dargestellt und die einzelnen Pässe sind farblich gekennzeichnet. Der Innenwiderstand der AC-Quelle soll vernachlässigbar klein sein.

Die Eingangsspannung liegt an der Reihenschaltung der Impedanzen von Zhp mit Ztp. Für die Übertragungsfunktion gilt das Verhältnis von ua zu ue: \[{\underline Z _{hp}} = {R_H} + \frac{1}{{j\,\omega \,{C_H}}} = \frac{{1 + j\,\omega \,{R_H}\,{C_H}}}{{j\,\omega \,{C_H}}}\] \[{\underline Z _{tp}} = \frac{{{R_T} \cdot \frac{1}{{j\,\omega \,{C_T}}}}}{{{R_T} + \frac{1}{{j\,\omega \,{C_T}}}}} = \frac{{{R_T}}}{{1 + j\,\omega \,{R_T}\,{C_T}}}\] Für die Übertragungsfunktion folgt durch Einsetzen der komplexen Impedanzformeln: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{{{{\underline Z }_{tp}}}}{{{{\underline Z }_{hp}} + {{\underline Z }_{tp}}}} = \frac{{\frac{{{R_T}}}{{1 + j\,\omega \,{R_T}\,{C_T}}}}}{{\frac{{1 + j\,\omega \,{R_H}\,{C_H}}}{{j\,\omega \,{C_H}}} + \frac{{{R_T}}}{{1 + j\,\omega \,{R_T}\,{C_T}}}}}\] Mit dem Kehrwert des Zählers erweitern, das Produkt rechts kürzen und mit dem Hauptnenner \((j\,\omega \;{R_T}\,{C_H})\) umstellen zu: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{1}{{\left( {\frac{{1 + j\,\omega \,{R_H}\,{C_H}}}{{j\,\omega \,{C_H}}}} \right)\left( {\frac{{1 + j\,\omega \,{R_T}\,{C_T}}}{{{R_T}}}} \right) + \left( {\frac{{{R_T}}}{{1 + j\,\omega \,{R_T}\,{C_T}}}} \right)\left( {\frac{{1 + j\,\omega \,{R_T}\,{C_T}}}{{{R_T}}}} \right)}}\] \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{{j\,\omega \,{R_T}\,{C_H}}}{{(1 + j\,\omega \,{R_H}\,{C_H})(1 + j\,\omega \,{R_T}\,{C_T}) + j\,\omega \,{R_T}\,{C_H}}}\] Die Klammerausdrücke im Nenner werden ausmultipliziert und anschließend wird durch den Zähler dividiert, teilweise kann gekürzt werden: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{1}{{1 + \frac{{{C_T}}}{{{C_H}}} + \frac{{{R_H}}}{{{R_T}}} + \frac{1}{{j\omega {R_T}{C_H}}} - \frac{{\omega {R_H}{C_T}}}{j}}}\] Die imaginären Brüche werden mit j erweitert und j wird ausgeklammert: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{1}{{1 + \frac{{{C_T}}}{{{C_H}}} + \frac{{{R_H}}}{{{R_T}}} + j\left( {\omega \,{R_H}\,{C_T} - \frac{1}{{\omega \,{R_T}\,{C_H}}}} \right)}}\] Nach konjugiert komplexer Erweiterung könnte die Übertragungsfunktion auch in den Real- und Imaginärteil aufgelöst geschrieben werden: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{{\left( {1 + \frac{{{C_T}}}{{{C_H}}} + \frac{{{R_H}}}{{{R_T}}}} \right) - j\left( {\omega \,{R_H}\,{C_T} - \frac{1}{{\omega \,{R_T}\,{C_H}}}} \right)}}{{{{\left( {1 + \frac{{{C_T}}}{{{C_H}}} + \frac{{{R_H}}}{{{R_T}}}} \right)}^2} + {{\left( {\omega \,{R_H}\,{C_T} - \frac{1}{{\omega \,{R_T}\,{C_H}}}} \right)}^2}}}\]

Phasengang

Der Phasengang errechnet sich mithilfe des Arcustangens des Verhältnisses der Imaginär- zur Realkomponente der Übertragungsfunktion. Damit sollte es möglich sein die drei charakteristischen Frequenzen des Bandpasses zu berechnen: \[\varphi (\omega ) = - \arctan \left( {\frac{{{\rm{Im}}}}{{{\rm{Re}}}}} \right) = \frac{{\left( {\omega \,{R_H}\,{C_T} - \frac{1}{{\omega \,{R_T}\,{C_H}}}} \right)}}{{\left( {1 + \frac{{{C_T}}}{{{C_H}}} + \frac{{{R_H}}}{{{R_T}}}} \right)}}\] Im Diagramm des Phasen-Frequenzgangs wurde bei φ = 0° die Mittenfrequenz fo des Bandpasses abgelesen. Die Amplitude der Durchlasskurve hat dort den Maximalbereich. Wird die Formel zum Phasengang null gesetzt, dann kann die Frequenz berechnet werden: \[\begin{array}{l} {\omega _o} = \sqrt {\frac{1}{{{R_T}{C_H}{R_H}{C_T}}}} = \sqrt {\frac{1}{{2,2 \cdot {{10}^3} \cdot 470 \cdot {{10}^{ - 9}} \cdot 1 \cdot {{10}^3} \cdot 1 \cdot {{10}^{ - 6}}}}} = \sqrt {\frac{1}{{1,034 \cdot {{10}^{ - 6}}}}} \\ {\omega _o} = 2\,\pi \,f\quad \Rightarrow \quad {f_o} = 156,5\;Hz \end{array}\] Das Ergebnis stimmt sehr gut mit der im Simulationsprogramm abgelesenen Mittenfrequenz überein.

Ein spezieller RC-Bandpass ist das in einem eigenen Kapitel ausführlich beschriebene Wienglied. Eine Schaltung, die in analogen Sinusgeneratoren oft Verwendung fand und sich durch einen sehr geringen Klirrfaktor und guter Signalqualität auszeichnet.