Passive RC- und RL-Filter
Passive Bandpass- und Bandsperrfilter
Zu den einfachsten Grundschaltungen gehören die RC- und RL-Spannungsteiler. Diese Hoch- und Tiefpässe besitzen ein von der Frequenz abhängiges Bauteil und sind somit Pässe oder Filter 1. Ordnung. Die Reihenschaltung aus HP und TP ergibt einen Bandpass, wenn die Grenzfrequenz des TP gleich oder größer als die des HP ist. Eine abgewandelte Parallelschaltung von HP und TP führt zur Bandsperre. Beide Filter haben keine so guten Filtereigenschaften, da sie wie Filterpässe 1. Ordnung nur die Flankensteilheit von 20 dB pro Dekade oder 6 dB pro Oktave erreichen. Mit zwei unabhängigen Speichergliedern sollten es eigentlich Filter 2. Ordnung. Nachteile entstehen durch die gegenseitige Belastung bei der direkten Zusammenschaltung der Einzelpässe zum Filter. Ein zu hoher Innenwiderstand der Eingangssignalquelle und eine Ausgangsbelastung wirken sich zusätzlich negativ auf den Maximalpegel aus und verschieben die Grenzfrequenzen.
Im Bandpass beträgt die Grenzfrequenz für den Hochpass 159 Hz und für den Tiefpass 1,592 kHz. Aus dem Bodediagramm der Schaltungssimulation kann für die Mittenfrequenz fo = 504 Hz abgelesen werden. Sie errechnet sich auch als geometrisches Mittel aus den unbelasteten Grenzfrequenzen vom HP und TP. Durch die gegenseitige Belastung ergeben sich für den Bandpass andere Grenzfrequenzwerte, deren geometrisches Mittel wieder die gleiche Mittenfrequenz ergibt.
Bei der Bandsperre sollte die Grenzfrequenz des TP kleiner als die des HP sein. Optimaler wäre eine echte Parallelschaltung beider Pässe wie in der folgenden Schaltung. Die beiden Ausgangsspannungen werden hochohmig mithilfe einer Addierstufe zum gemeinsamen Filterausgang zusammengeführt. Die Flankensteilheit ist größer, erreicht auch hier nicht die 12 dB/Oktave eines Filters 2. Ordnung. Die Grenzfrequenz des HP beträgt 15,92 kHz und die des TP 159 Hz und weicht in diesem Bandsperrfilter infolge der besseren Entkopplung weniger stark ab. Eine optimale Entkopplung der einzelnen Pässe ist durch nicht invertierende Operationsverstärker zu erreichen. An anderer Stelle wird der belastete RC-Bandpass mit ausführlichen mathematischen Informationen beschrieben.
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Klangeinstellnetzwerk – Shelving Filter
Zur Klangbeeinflussung werden im Audiobereich der Heimelektronik Höhen- und Tiefeneinsteller verwendet. Im einfachsten Fall sind es passive RC-Schaltungen, wo mit Potenziometern die Amplitudenfrequenzgänge beeinflusst werden. Liegen die Filter im Rückkoppelzweig zwischen zwei Verstärkerstufen, kann der einstellbare Frequenzbereich zusätzlich kontrolliert gedämpft oder verstärkt werden. Die folgende Schaltung zeigt ein passives universelles Fächernetzwerk mit einem Höhen- und Tiefeneinsteller, auch Kuh- oder Schwalbenschwanzentzerrer genannt. Es ist ein industriell verwendeter Schaltungsauszug, der dem klassischen Fächerentzerrer ähnlich ist. Hier wirken von der Frequenz abhängige Brückenzweige als einstellbare Hoch- und Tiefpässe. Das Diagramm zeigt den Amplituden-Frequenzgang für unterschiedliche Einstellungen der Höhen- und Tiefenpotis. Beim Tiefpass (TP) wird das Nutzsignal parallel zum Kondensator, beim Hochpass (HP) parallel zum Wirkwiderstand abgegriffen. Der linke Brückenzweig wirkt als TP, der rechte Brückenzweig als HP.
Steht der Schleifer des Tiefenstellers T oben (maximal), so kann im linken Zweig der obere Widerstand mit dem Kondensator als Tiefpass angesehen werden. Für tiefe Signalfrequenzen hat der Kondensator einen hohen Widerstandswert. Bei 100 Hz sind es rund 33 kΩ, bei 1 kHz sind es 3,4 kΩ. In der Parallelschaltung bestimmt der Kondensator den wirksamen Teilwiderstand und abhängig von der Schleiferstellung wird mehr oder weniger Signalamplitude über den Brückenzweig zum Ausgang ausgekoppelt. In der unteren Position (minimal) koppelt der Tiefensteller die Signalamplitude am unteren Widerstand aus. Mit diesem Widerstand bildet der Kondensator einen RC-HP. Die hohen Frequenzanteile des Eingangssignals werden vom linken Kondensator kaum gedämpft und stehen als relativ große Signalamplitude am unteren Widerstand zur Verfügung. Der linke Brückenzweig dämpft mit dem Poti einstellbar die tiefen Frequenzbereiche des Eingangssignals.
Steht im rechten Brückenteil der Schleifer des Höhenstellers H oben (maximal), so bildet er mit dem oberen Kondensator einen Hochpass. Die im Eingangssignal vorhandenen niederfrequenten Signalanteile werden vom oberen Kondensator stark gedämpft, während die höheren Frequenzen am Bahnwiderstand des Potis zu einer hohen Signalamplitude führen. Bei einer Frequenz von 1 kHz hat der obere Kondensator einen Widerstandswert von rund 68 kΩ und bei 5 kHz sind es rund 13,5 kΩ. Mit zunehmender Signalfrequenz dämpft der Kondensator immer weniger und die vom Schleifer abnehmbare Signalamplitude nimmt bei unveränderter Stellung zu. Je nach Schleiferstellung wird eine mehr oder weniger große Signalamplitude zum Ausgang ausgekoppelt. Der rechte Brückenzweig dämpft die im Eingangssignal vorhandenen höheren Signalanteile nur wenig. In der unteren Schleiferposition (minimal) wird das Signal am unteren Kondensator ausgekoppelt und der Höhensteller bildet mit diesem Kondensator einen Tiefpass. In dieser Stellung sind im ausgekoppelten Signal die hohen Frequenzbereiche am stärksten gedämpft.
Keine der beiden Brückenseiten sind reine Hoch- oder Tiefpässe. Je nach Schleiferstellung sind beide Eigenschaften mehr oder weniger wirksam. Eine einfache Grenzfrequenzberechnung ist hier nicht möglich.
△T- und Pi-Filterschaltung
Beim Zusammenschalten von zwei gleichen Pässen gibt es zwei Schaltungsvarianten, die ihrem Aussehen nach den Buchstaben T oder Pi bilden. Bei RC- und RL-Pässen sind beide Schaltungsvarianten gleichwertig. Im unteren und mittleren Frequenzbereich werden nach Möglichkeit RC-Filter bevorzugt, da Spulen teurer, größer und im Vergleich zu Kondensatoren eine geringere Güte haben. T- und Pi-Filterschaltungen in LC-Technik bilden Filter höherer Ordnung mit steileren Flanken und einer besseren Trennung zwischen Durchlass- und Sperrbereich. Das Bild zeigt einige einfache Grundtypen.
Die folgende Schaltung zeigt die Anwendung eines Pi-Filters. Es handelt sich um ein Präsenzfilter zur Verbesserung der Sprachverständlichkeit. Die Schaltung wurde in einem Hi-Fi-Empfänger der Firma SABA eingesetzt. Entsprechend der Telefonie Bandbreite liegt das Sprachband zwischen 300 Hz bis 3,4 kHz. Dieses Filter arbeitet zwischen 1,2 kHz ... 5,5 kHz mit dem Durchgangsmaximum bei einer Mittenfrequenz von 2,6 kHz. Im Empfänger befindet sich das Filter im Rückkopplungszweig zweier Transistoren, wodurch die Dämpfung in eine Verstärkung umgekehrt wird. Vom Ausgang betrachtet wirkt der 22 nF Kondensator in der Brückenverbindung mit dem 5,6 kΩ als Hochpass auf den Eingang zurück. Vom Eingang her gesehen stellt dieser Kondensator mit dem 1,8 kΩ einen Hochpass dar. Mit ihm verliert der Tiefpass im Ausgangszweig zu höheren Frequenzen seinen Einfluss.
Ein weiteres Beispiel zeigt die Anwendung eines Doppel-T- oder Kerbfilters aus RC-Hoch- und Tiefpassgliedern. Es handelt sich um eine 16 kHz Sperre zum Abblocken des Gebührenimpulses im Telefonverkehr, der den Modembetrieb am PC stören konnte. Die per Simulation ermittelte Mittenfrequenz liegt bei 15,8 kHz. Bei gleichen Widerstands- und Kondensatorwerten im Durchgangszweig hat der nach Masse geschaltete Widerstand den halben Wert und der Kondensator den doppelten Wert.
Fernspeiseweiche (bias tee)
Die Fernspeiseweiche, ein in der HF-Technik T-förmig aufgebautes Filter, trennt eine DC-Versorgungs- oder Schaltspannung von HF-Signalen. Es sind Frequenzweichen, die im engl. Sprachgebiet als bias tee bezeichnet werden und oft in der Antennentechnik vor HF-Verstärkern und Vorverstärkern eingesetzt werden. In der oberen Schaltung kann die DC-Versorgungsspannung nicht über den Kondensator C1 an den HF-Ausgang gelangen. Der hohe induktive Widerstand sperrt die HF nach unten hin, ist aber für DC und niedrige Frequenzen unwirksam. Die Gleichspannung wird zwischen C2 und L ein- oder ausgekoppelt und ist durch C2 von der Masse getrennt, während restliche HF-Anteile nach Masse kurzgeschlossen werden.
Bei geeigneter Dimensionierung der Bauteile kann diese Weiche auf gleichem Weg auch ein gemischtes HF-Eingangssignal trennen. Die zweite Schaltung zeigt die mithilfe einer Simulation erstellte Funktionsweise. Zum einfachen Ausfiltern ist der Abstand der HF1-Frequenz mit 10 MHz weit genug entfernt von der HF2-Frequenz mit 100 kHz. Als Ein- und Ausgangswiderstände werden die in der Antennentechnik gebräuchlichen 75 Ω eingesetzt.
△Filter höherer Ordnung – passive LC-Filter
Die bisher vorgestellten Filter haben keine besonders steilen Flanken. Mit nur einem von der Frequenz abhängigen Bauteil weisen die Grundglieder eine maximale Flankensteilheit von 6 dB pro Oktave oder 20 dB pro Dekade auf. LC-Filter mit zwei von der Frequenz bestimmten Bauteilen zeigen mit 12 dB pro Oktave oder 40 dB pro Dekade eine bessere Filterwirkung. Ohne zusätzliche ohmsche Widerstände ist die Grunddämpfung im Durchlassbereich viel geringer. Neben diesen Vorteilen kann das Resonanzverhalten der einfachen LC-Glieder problematisch sein. Die Filter müssen, wie bei den Lautsprecherweichen gezeigt, auf den angeschlossenen Lastwiderstand angepasst werden.
Eine Spule und ein Kondensator in Reihe geschaltet bildet einen Reihenschwingkreis mit einer Resonanzfrequenz und zwei Grenzfrequenzen. Der Amplitudenverlauf des Ausgangssignals, das parallel zum Kondensator abgegriffen wird, nimmt nach der oberen Grenzfrequenz ab. Diese Schaltungsvariante ist mit einem Tiefpass vergleichbar. Zwischen den Grenzfrequenzen liegt die Resonanzfrequenz, die mithilfe der Thomson-Formel berechnet werden kann und zur Filterfrequenz wird. Am Blindwiderstand kommt es zur Spannungsüberhöhung, die von der Kreisgüte abhängig ist. Nimmt man für L und C ideales Verhalten an, wird die Kreisgüte durch den Quelleninnenwiderstand und durch den Lastwiderstand bestimmt wird. Mit einer angepassten Belastung wird die Überhöhung vermieden und die Flankensteilheit bleibt für das Filter 2. Ordnung bestehen.
Werden in der Schaltung die Plätze von L und C getauscht und das Ausgangssignal parallel zur Spule abgegriffen, dann ist der Frequenzbereich bis zur Grenzfrequenz stark gedämpft und die Schaltung wirkt als Hochpass. Die Amplitudendiagramme sind für die gleichen Belastungsfälle spiegelsymmetrisch zur Mitten-(Resonanz)frequenz.
Ein LC-Parallelschwingkreis zeichnet sich bei Resonanzfrequenz durch Spannungsüberhöhung und starker Dämpfung außerhalb des Bandbreitenbereichs aus. Die Bandbreite ist von der Belastung durch die Quellenimpedanz und die Lastimpedanz der Folgestufe bestimmt. Die Güte der Spule ist vom ohmschen Drahtwiderstand bestimmt und meistens wesentlich höher. Mit zunehmender Belastung wird die Bandbreite B größer und die Filtergüte Q geringer. Sie errechnet sich mit Q = fo / B, aus dem Verhältnis der Mittenfrequenz zur Bandbreite. Mit abnehmender Güte wird auch die Flankensteilheit deutlich kleiner.
Der Schwingkreis in Serie zum Signalweg geschaltet ergibt eine Bandsperre. Die Kreisgüte ist in der Simulation durch den eingefügten Drahtwiderstand der Spule auf Q = 140 bestimmt. Ein kleinerer Ausgangswiderstand belastet das Filter stärker, sodass die Güte abnimmt und die Bandbreite zunimmt. Gleichzeitig nimmt die Flankensteilheit im Übergangsbereich vom Durchlass in den Sperrbereich ab.
Eine verbesserte Methode entsteht durch den Einsatz von T- und Pi-Filtergliedern. Die Grundbausteine der LC-Filterschaltungen werden Halbglieder genannt und sind aus einem Längs- und einem Querzweipol aufgebaut. Das Produkt aus Längs- und Querimpedanz sollte frequenzunabhängig sein. Das folgende Bild zeigt die vier wichtigsten Grundhalbglieder. Eine Spule im Längszweig führt ebenso wie der Kondensator im Querzweig zum Tiefpass. Für einen Hochpass liegt der Kondensator im Längszweig und die Spule im Querzweig. Ebenso ergänzt sich ein Reihenschwingkreis längs mit einem Parallelschwingkreis quer zum Bandpass. Werden die Schwingkreise gegeneinander ausgetauscht, entsteht eine Bandsperre.
Dualitätsinvariante
Zwei Schaltungen sind dual zueinander, wenn sich der (komplexe) Wechselstromwiderstand der einen proportional zum (komplexen) Leitwert der anderen verhält. Die Proportionalitätskonstante wird Dualitätsinvariante genannt und hat die Dimension Ω².
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Grundhalbglieder passiver LC-Filterschaltungen
Während ein Hoch- und Tiefpass mathematisch relativ einfach zu berechnen ist, wird die Berechnung von Bandpass und Bandsperre anspruchsvoll. Die wichtigsten Gleichungen sind dem Buch von D. Stoll: Einführung in die Nachrichtentechnik, AEG-Telefunken 1979 entnommen. Für die Grundglieder Hoch- und Tiefpass werden folgende Formeln angegeben:
Für das Grundhalbglied LC-Bandpass gelten die Bestimmungsgleichungen:
Für das Grundhalbglied LC-Bandsperre gelten die Bestimmungsgleichungen:
Resonanztrafo – Boucherot-Schaltung
Ein LC-Filterhalbglied als Serienschwingkreis in Resonanz mit einem zum Kondensator parallel geschalteten Lastwiderstand betrieben, wird als Boucherot-Schaltung bezeichnet. Durch den Lastwiderstand fließt bei Resonanz ein konstanter Strom, und da die Schaltung wie ein Transformator Spannung, Strom und Leistung übertragen kann, wird sie auch als Resonanztrafo bezeichnet. Sie dient unter anderem der Leistungsanpassung zwischen dem Innenwiderstand einer Quelle und der angeschlossenen Last.
Untersucht wurde eine Simulationsschaltung mit Z1 als Induktivität L = 800 mH, und der Kapazität Z2 zu C = 12,5 μF bei der Resonanzfrequenz von 50 Hz. Bei einer konstanten sinusförmigen effektiven Eingangsspannung von 10 V wurden für unterschiedliche ohmsche Lastwiderstände Ra die Eingangsströme Ie, Lastströme Ia und Spannungen Ua an der Last ermittelt. Die Tabelle zeigt den mathematisch vorhergesagten konstanten Laststrom.
| Ra / kΩ | 0,1 | 0,5 | 1 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ie / mA | 42,8 | 87,6 | 161 | 313 | 757 | 1400 |
| Ua / V | 3,98 | 19,9 | 39,8 | 79 | 192,5 | 354 |
| Ia / mA | 39,8 | 39,8 | 39,75 | 39,6 | 38,5 | 35,4 |
Schaltungen mit dem Resonanztrafo finden man in der Ansteuerung von Energiesparlampen und elektronisch gesteuerten Leuchtstoffröhren sowie dem Betrieb der CCFL-Kaltkathodenröhren für die Hintergrundbeleuchtung von TFT-LCD-Flachbildschirmen. Solange eine Leuchtstoffröhre nicht gezündet hat, ist ihr Lastwiderstand sehr hoch und der Resonanztrafo stellt dann, wie aus den Tabellenwerten zu ersehen, selbst die notwendig hohe Zündspannung bereit.
In der Hochfrequenztechnik und in Sende- und Empfangsgeräten kann mithilfe von Resonanztransformatoren Leistungsanpassung zwischen unterschiedlichen Funktionsblöcken erreicht werden. Die Impedanz der Quelle, im folgenden Beispiel auf ihren Innenwiderstand R1 vereinfacht, liegt parallel zur LC-Reihenschaltung. Die Lastimpedanz, vereinfacht auf einen ohmschen Widerstand R2 liegt parallel zum Kondensator. Bei Leistungsanpassung gibt die linke Seite mit ihrem Innenwiderstand ebenso viel Leistung an die Last R2 ab, wie eine gedachte Quelle rechts mit dem Last-Innenwiderstand R2 an die linke Seite abgeben würde, wo dann R1 als Last zu sehen ist.
Im folgenden Beispiel wird in einer UKW-ZF-Filterkette der Ausgang eines niederomigen ZF-Quelle mit R1 = 50 Ω an eine hochohmige Folgestufe mit R1 = 2,2 kΩ mit größtmöglicher Leistung angepasst. Die Resonanzfrequenz beträgt 10,7 MHz. Mit den hergeleiteten Formeln berechnen sich die Induktivität zu 4,9 μH und die Kapazität zu 44 pF. Die Leistungswerte wurden mithilfe einer Schaltungssimulation bestimmt.
Collins-Filter
Je weniger sich die Werte der Quellen- und Lastimpedanz unterscheiden, desto geringer ist die Betriebsgüte und der Resonanztrafo hat eine große Bandbreite. Weil das LC-Filter die Impedanzen in beiden Richtungen transformieren kann, lassen sich zwei unterschiedlich dimensionierte LC-Tiefpässe zu einem PI-Filter zusammenschalten. Die Anordnung wird PI-Koppler oder nach der Firma Rockwell Collins als Collins-Filter bezeichnet, die sie in ihren Funkgeräten verwendete. Mit dem Filter sind Impedanzanpassungen zwischen Quelle und Last auch für höhere Gütewerte möglich. Abstimmbare Collins-Filter werden oft in der HF-Technik zur reflexionsarmen leistungsangepassten Signalübertragung zwischen Senderendstufe und Antenne eingesetzt. Bei der Betriebsfrequenz soll eine maximale Leistungsübertragung erfolgen und die Dämpfung außerhalb der Bandbreite möglichst hoch sein.
Zwei Resonanztransformatoren bilden mit den Induktivitäten in Serie geschaltet ein Collins-Pi-Filter. Die Eingangs- und Ausgangsbelastungen liegen auf das Signal bezogen parallel zu den Kondensatoren. So wird der Lastwiderstand der einen Seite auf einen gedachten kleinen Hilfswiderstand herab transformiert und dieser im zweiten Schritt auf die andere Seite zum Lastwiderstand hoch transformiert. Die Leistungsanpassung kann im Fall der Resonanz durch das Verhältnis der beiden Kondensatoren bestimmt werden.
In D. Stoll: Einführung in die Nachrichtentechnik, AEG-Telefunken 1979 werden zur Leistungsanpassung mithilfe des Collins-Filters zur Dimensionierung von L und C die nachfolgenden Beziehungen angegeben. Mit diesen Gleichungen wurde eine Simulationsschaltung dimensioniert, um eine niederohmige Senderantenne an einen hochohmigen KW-Röhrensender für die Frequenz 10 MHz und einer Betriebsgüte von 15 anzupassen. Filter mit hoher Betriebsgüte haben eine große Selektivität und kleine Bandbreite aber auch größere Verluste. Normalerweise werden Werte zwischen 10 bis 20 gewählt.
In der Sendertechnik (Amateurfunk) sind die Kondensatoren des Collins-Filters abstimmbar, zum Teil kann auch die Induktivität durch Anzapfungen umschaltbar oder als Rollenspule abstimmbar ausgeführt sein. Die optimale Feinabstimmung wird dann mit einem Stehwellenmessgerät vorgenommen. Die Simulationsschaltung bestätigt für die gewählten Lastimpedanzen das Verhältnis von C2 / C1 / = 6,63. Eine optimale Leistungsanpassung konnte mit Strom- und Spannungsmessungen bei der Simulation nicht nachgewiesen werden. Die Eingangsspannung Ue am Filter war 30% höher als sie dem gemessenen Spannungsfall am Quelleninnenwiderstand nach sein sollte.
△Eingliedrige LC-Grundketten
Zwei miteinander kombinierte Filter-Halbglieder ergeben eine eingliedrige Filterkette in T- oder PI-Schaltung. Ein für den Durchlassbetrieb optimiertes Filter wird in Leistungsanpassung betrieben. Die Anschlusswiderstände am Ein- und Ausgang sollten dem Wellenwiderstand des Filters entsprechen. Ein bekanntes Anwendungsbeispiel sind Tonfrequenzweichen. Ist nur die selektive Eigenschaft des Filters wichtig, wird es in Spannungsanpassung betrieben und möglichst wenig (hochohmig) belastet. Diese Betriebsart findet man in der Nachrichten- und Übertragungstechnik beim Bandfilter, ZF-Filter und in Selektivverstärkern. Das Bild zeigt einfache Schaltungsvarianten eingliedriger Grundketten und ihr Durchlassverhalten im Frequenzdiagramm.
Die Durchlasskurven zeigen gute Filtereigenschaften. Es sind keine Resonanzstellen vorhanden und die Flanken der Hoch- und Tiefpässe sind mit 18 dB pro Oktave dreifach steiler als bei einfachen
RC- oder RL-Filtern. Wegen der symmetrischen Schaltung ist die Eingangs- und Ausgangsimpedanz von der Frequenz abhängig. Für Filter im Durchlassbereich wird fast immer die Leistungsanpassung gewählt. Einen noch steileren Flankenverlauf erhält man etwas außerhalb der Leistungsanpassung, wobei sich für T- und Pi-Filter unterschiedliche Koeffizienten als günstig erwiesen haben.
Für T-Filter gilt: RL = 0,8 · Z
Für Pi-Filter gilt: RL = 1,25 · Z
Im Sperrbereich ist die Eingangsimpedanz aller T-Filter sehr hoch, während sie bei den Pi-Filtern sehr klein ist. Da die Filtertechnik ein mathematisch anspruchsvolles und kompliziertes Fachgebiet ist, wird es hier nicht weiter ausgeführt. Zur Filtertechnik gibt es Spezialliteratur, die Dimensionierung kann mit Filtertabellen und Online-Rechenprogrammen aus dem Internet durchgeführt werden.
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