Informations- und Kommunikationstechnik

RC-Phasenschieber

Mit Thyristoren und anderen triggerbaren Halbleiterbaugruppen kann im Wechselstromkreis mithilfe einer Phasenanschnittsteuerung die elektrische Leistung ohne nennenswerte Leistungsverluste gesteuert werden. Der Laststrom wird nur bei bestimmten Phasenwinkeln der Wechselspannung eingeschaltet. Ohne den Einsatz spezieller Steuergeneratoren kann die Steuerspannung direkt aus der Versorgungsspannung gewonnen werden. Ein einfaches RC-Glied erzeugt die Phasenverschiebung, da die Spannung am Kondensator der Versorgungsspannung nacheilt. Mit einem Stellwiderstand im RC-Glied kann so der Phasenwinkel und damit der Zündzeitpunkt innerhalb eines größeren Bereichs eingestellt werden. Der Nachteil beim einfachen RC-Glied ist eine nicht konstante Amplitude der Steuerspannung.

Optimaleres Verhalten bietet ein RC-Phasenschieber in Brückenschaltung, der aus einem Widerstandsteiler mit parallel geschaltetem RC-Glied besteht oder zwei gleich dimensionierte gegeneinander versetzt parallel liegende RC-Glieder. Die Schaltung kann als Phasenschieber oder einem später beschriebenen Allpassfilter verwendet werden. Als Ausgangsspannung wird die Brückenspannung genutzt, die für alle Phasenwinkel eine konstante Amplitude hat. Das Bild zeigt eine RC-Phasenschieberbrücke und das Diagramm den Kurvenverlauf für unterschiedlich eingestellte Phasenwinkel. Da Ausgangs- und Eingangsspannung keine gemeinsame Masse haben, erfolgte die Darstellung der Signale in Bezug zur Messmasse.

RC-Phasenschieberbrücke

Für eine RC-Phasenschieberbrücke kann ein Zeigerdiagramm erstellt werden. Der linke Brückenzweig teilt die Eingangsspannung symmetrisch auf. Zwischen diesen beiden Teilspannungen gibt es keine Phasenverschiebung. Im rechten Brückenzweig haben die Teilspannungen am Widerstand und Kondensator immer eine Phasenverschiebung von φ = 90°. Die Summenspannung über der RC-Schaltung ist gleich der Eingangsspannung.

Zeigerdiagramm einer Phasenschiebebrücke

In der Mathematik zeigt das der Satz des Thales. Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Halbkreis über dem Durchmesser AB, so zeigt das Dreieck in C immer einen rechten Winkel. Der Phasenwinkel der Ausgangsspannung in Bezug zur Eingangsspannung variiert dann zwischen 0° und 180°. Die Amplitude der Ausgangsspannung, im Bild ist es der schwarze Halbkreisradius, ist für alle Einstellungen der Phasenschieberbrücke konstant und halb so groß wie die Eingangsspannung. Für die RC-Phasenschieberbrücke wurde mittels Simulationsprogramm ein Bodediagramm erstellt. Es zeigt für den Brückenzweig die halbe Eingangsspannung und einstellbare Phasenwinkel zwischen 0° und 180°.

Bodediagramm, RC-Phasenschieberbrücke

Allpassfilter

Im Gegensatz zur einfachen RC-Schaltung als Hoch- oder Tiefpass zeigt die RC-Phasenschieberbrücke eine von der Frequenz unabhängige Ausgangsspannung. Da diese Schaltung alle Eingangssignale passieren lässt, wird sie auch als Allpassfilter bezeichnet. Das Ausgangssignal erfährt durch den Allpass nur eine frequenzabhängige Phasenverschiebung. Bezogen auf das Eingangssignal ist das Ausgangssignal daher zeitlich verzögert. In der Nachrichtentechnik werden Allpassfilter zur Phasenentzerrung und Laufzeitverzögerung eingesetzt.

Übertragungsfunktion des Allpassfilters

Für dieses Filter kann die Übertragungsfunktion hergeleitet werden. Die Brückenspannung errechnet sich aus der Spannungsdifferenz von U1 am Kondensator und U2 am Widerstand R2. Der Pass hat zwei Stromzweige, die an der gleichen Eingangsspannung liegen. Mit dem jeweiligen Zweigstrom kann eine Gleichung für die beiden Teilspannungen aufgestellt werden.

Strom-,Spannungs- und Impedanzformeln der RC-Phasenschieberbrücke

Mit diesen Formelansätzen wird das Spannungsverhältnis für die Übertragungsfunktion aufgestellt. Mithilfe passender Hauptnenner und der konjugiert komplexen Erweiterung kann eine Vereinfachung erreicht werden. Das Ergebnis ist die Übertragungsfunktion Gl.(1), die auch als Komponentenform Gl.(2) geschrieben werden kann.

Übertragungsfunktion der RC-Phasenschieberbrücke

Amplitudengang des Allpassfilters

Sind im Allpass die Widerstände mit R1 = R2 = R gleich dimensioniert und wird zur weiteren Vereinfachung die Zeitkonstante τ = R3·C verwendet, kann durch Einsetzen in die Gl.(2) eine allgemeine komplexe Übertragungsfunktion Gl.(3) hergeleitet werden.

Der Amplitudengang errechnet sich aus der Wurzel der Summe der Komponentenquadrate. Wird der Klammerausdruck im Zähler aufgelöst und zusammengefasst, kann auf ihn der binomische Lehrsatz angewendet werden. Das Ergebnis ist gleich dem des Amplituden-Frequenzgangs im Bodediagramm. Beim Allpassfilter ist die Amplitude des Ausgangssignals von der Frequenz unabhängig und halb so groß wie die Eingangsamplitude.

Amplitudengang einer Phasenschiebebrücke

Phasengang des Allpassfilters

Auf das Eingangssignal bezogen errechnet sich die frequenzabhängige Phasenlage des Ausgangssignals mit dem Arcustangens aus dem Quotienten der Imaginär- zur Realkomponente.

Phasengang der RC-Phasenschieberbrücke

Aus dem weiter oben gezeigten Zeigerdiagramm (Thaleskreis) ist zu erkennen, dass bei gleichen Widerstandswerten von R3 und XC der Phasenwinkel φ = 90° beträgt. Dieser Fall ist bei der Grenzfrequenz des RC-Glieds gegeben, die aber nicht die Grenzfrequenz des Allpasses ist.


Aktives Allpassfilter 1.Ordnung

Die RC-Phasenschieberbrücke hat den Nachteil des fehlenden Massebezugs zwischen Ausgangs- und Eingangssignal. Im aktiven Allpassfilter mit einem Operationsverstärker (OPV) hat sowohl das Eingangs- als auch Ausgangssignal den gleichen Massebezug. Die folgende Schaltung verstärkt bei sehr niedrigen Frequenzen mit dem Faktor 1. Der OPV arbeitet als nicht invertierender Verstärker und die Phasenlage beträgt φ ≈ 0°. Für sehr hohe Frequenzen liegt bei kleinem Blindwiderstandswert des Kondensators der nicht invertierende Eingang gegen Masse und der OPV arbeitet als invertierender Verstärker mit dem Faktor 1. Die Phasenlage des Ausgangssignals geht gegen φ ≈ 180°. Für alle anderen Frequenzen bleibt der Verstärkungsfaktor 1 erhalten.

Allpass 1. Ordnung, Phasenlaufzeitdiagramm

Phasenlaufzeit

Das Signal erfährt beim Durchlaufen des Filters eine Phasenverschiebung. Für den Allpass wurde diese Abhängigkeit des Phasenwinkels von der Signalfrequenz gemessen. Das Ergebnis ist im Diagramm dargestellt, wobei die Phasenlaufzeit mit angegeben ist. Als Phasenlaufzeit τPh wird der negative Phasengang bezogen auf die Kreisfrequenz ω bezeichnet. Es ist die Verzögerung, die eine monofrequente harmonische Schwingung durch das System erfährt. Sie ist nicht gleich dem Zeitäquivalent der Phasenverschiebung. Ändert sich der Phasenwinkel linear mit der Frequenz, so ist die Phasenlaufzeit konstant und das Ausgangssignal weist dann gegenüber dem Eingangssignal keine Phasenverzerrungen auf.

Gruppenlaufzeit

Die Zeitverzögerung eines schmalbandigen Signals beim Durchlaufen eines Filters ist von der Gruppenlaufzeit bestimmt. Sie ist die Ableitung des Phasengangs nach der Kreisfrequenz und stellt für jede Frequenz die Steigung der Kurve in diesem Punkt dar. Sind die Phasen- und Gruppenlaufzeiten unterschiedlich, dann ergeben sich Signalverzerrungen beim Durchlaufen des Filters. Die Phasenlaufzeit ist die Steigung der Gerade vom Ursprung mit ω = 0 zum Kurvenpunkt bei ω. Die Gruppenlaufzeit ist die Steigung der Tangente im Kurvenpunkt bei ω.

Phasen- und Gruppenlaufzeit