Passive RC- und RL-Hochpässe

Ein passiver Hochpass unterscheidet sich vom ausführlich beschriebenen Tiefpass im Wesentlichen durch die vertauschte Anordnung der Bauteile. Es handelt es sich um frequenzabhängige Spannungsteiler. Beim RC-Hochpass liegt die Ausgangsspannung parallel am Wirkwiderstand und beim RL-Hochpass parallel zum induktiven Blindwiderstand. Die folgenden Betrachtungen gelten für sinusförmige Eingangssignale mit konstanter Amplitude und variabler Frequenzen.

Der RC-Hochpass

Beim RC-Hochpass ist nur der kapazitive Blindwiderstand Xc von der Frequenz abhängig. Am ideal angenommenen Kondensator eilt der Strom um φ = 90° der Spannung voraus. In der Reihenschaltung ist der Strom die Bezugsgröße und zeigt im Zeigerdiagramm wie angedeutet horizontal nach rechts. Die Zeiger für die Spannung am Kondensator und der dazu proportionale Zeiger des Blindwiderstands zeigen folglich senkrecht nach unten.

Mit zunehmender Frequenz wird der Blindwiderstand des Kondensators kleiner. Die Zeigerlänge der an Xc proportionalen Spannung nimmt ab. Da die Eingangsspannung u1 konstant hat der dazu proportionale Zeiger Z der Impedanz eine konstante Länge und dreht sich in Richtung zur realen Achse des Wirkwiderstands. Daraus folgt, dass die Zeigerlänge der Ausgangsspannung u2 am Wirkwiderstand zunimmt. Der Phasenwinkel zwischen u2 an R und u1 an Z verändert sich von φ = +90° zu φ = 0°.

Der RL-Hochpass

Beim RL-Hochpass ist nur der induktive Blindwiderstand XL von der Frequenz abhängig. Die Ausgangsspannung wird an der Spule abgenommen. Bei einer ideal angenommenen Induktivität eilt die Spannung um φ = 90° dem Strom voraus. Der Zeiger des Blindwiderstands zeigt senkrecht nach oben. Der Wert des induktiven Blindwiderstands nimmt zu höheren Frequenzen linear zu. Die Spannung an der Induktivität verhält sich direkt proportional zum Wert ihres Blindwiderstands.

Mit zunehmender Frequenz der Eingangsspannung dreht sich der dazu proportionale Zeiger Z mit konstanter Länge in Richtung der Vertikalen zum Spannungszeiger des induktiven Blindwiderstands. Der Wert der Ausgangsspannung u2 nähert sich dem der konstanten Eingangsspannung u1 an. Der Phasenwinkel zwischen der u2 und u1 verändert sich dabei von φ = +90° zu φ = 0°.

Bodediagramm

Für jeden Hochpass gibt es die definierte Grenzfrequenz fg. Bei ihr haben der Wirkwiderstand und der Blindwiderstand den gleichen Wert. Der Phasenwinkel zwischen der Ausgangsgröße in Bezug zur Eingangsgröße beträgt φ = +45°. Das Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangsgröße hat bei der Grenzfrequenz den charakteristischen Wert 0,707 entsprechend −3 dB.

Hochpässe mit nur einem Typ Blindwiderstand sind Pässe oder Filter 1. Ordnung. Die Ausgangsgröße hat die charakteristische Dämpfung von 6 dB pro Oktave oder 20 dB pro Dekade. Die grafische Bestimmung mit einem Steigungsdreieck muss im Kennliniendiagramm weit genug unterhalb der Grenzfrequenz im linearen Bereich der Kennlinie erfolgen. Die folgenden Diagramme zeigen für einen RC- und RL-Hochpass mit gleicher Grenzfrequenz den von der Eingangsfrequenz abhängigen Amplituden- und Phasenfrequenzgang der Ausgangsspannung in Bezug zur Eingangsspannung.

Die Übertragungsfunktionen

Übertragungsfunktion für einen RC-Hochpass

Die Bezugsgröße ist eine in der Amplitude konstante und in der Frequenz variable Eingangsspannung. Sie liegt an der Reihenschaltung von R und C und ist gleich der Impedanz Z, der geometrischen Addition der Widerstandswerte. Die Ausgangsspannung wird beim RC-Hochpass am Wirkwiderstand abgegriffen. Die Übertragungsfunktion ist das Verhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung. Um die Eigenschaften unterschiedlich dimensionierter Schaltungen leichter zu vergleichen wird die normierte Übertragungsfunktion verwendet. Es gelten die Beziehungen: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{R}{Z}\quad \quad Z = \sqrt {{R^2} + X_c^2} \quad \quad {X_c} = \frac{1}{{\omega \,C}} = \frac{1}{{2\,\pi \,f\,C}}\] Für den Erhalt der normierten Übertragungsfunktion wird mit dem Kehrwert des Zählerausdruck erweitert: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{R^2}}}\left( {{R^2} + X_c^2} \right)} }}\] Im Nenner wird der Klammerausdruck aufgelöst zu: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{{X_c}}}{R}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{{\omega \,R\,C}}} \right)}^2}} }}\;\;\,(1)\] In der Gl.(1) ist nur der Wert des kapazitiven Blindwiderstands XC von der Frequenz abhängig. Bei der Grenzfrequenz fg sind die Widerstandswerte von R und XC gleich groß und die Amplitude der Ausgangsspannung erreicht rund 71% der Eingangsamplitude: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \approx 0,707\quad (2)\] Werden mit Gl.(1) die Grenzbetrachtungen für die Frequenzen durchgeführt, so stimmen die Ergebnisse mit dem Kurvenverlauf im Bodediagramm überein. Signale mit hohen Frequenzen erreichen mit großen Amplituden den Ausgang: \[f \to 0\quad \Rightarrow \frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{0}} \right)}^2}} }} \approx \frac{1}{{\sqrt \infty }} \approx 0\quad \Rightarrow \frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} \to 0\] \[f \to \infty \quad \Rightarrow \frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} \approx \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{1}{\infty }} \right)}^2}} }} = 1\quad \Rightarrow \frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} \to 1\]

Übertragungsfunktion mit komplexer Wechselstromrechnung

Die Herleitung erfolgt mit den Operatoren und der Normierung auf die Ausgangsgröße, d. h. Zähler und Nenner werden durch R dividiert: \[\underline G (j\omega ) = \frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{R}{{\underline Z }} = \frac{R}{{R + \frac{1}{{j\,\omega \,C}}}}\] \[\underline G (j\omega ) = \frac{1}{{1 + \left( {\frac{1}{{j\,\omega \,R\,C}}} \right)}} = \frac{1}{{1 - j\left( {\frac{1}{{\omega \,R\,C}}} \right)}}\quad (3)\] Die Gl.(3) wird konjugiert komplex erweitert und in die Real- und Imaginärkomponente getrennt geschrieben: \[\underline G (j\omega ) = \frac{{1 + j\left( {\frac{1}{{\omega \,R\,C}}} \right)}}{{\left[ {1 - j\left( {\frac{1}{{\omega \,R\,C}}} \right)} \right]\left[ {1 + j\left( {\frac{1}{{\omega \,R\,C}}} \right)} \right]}} = \frac{{1 + j\left( {\frac{1}{{\omega \,R\,C}}} \right)}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{{\omega \,R\,C}}} \right)}^2}}}\] \[\underline G (j\omega ) = \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{1}{{\omega \,R\,C}}} \right)}^2}}} + j\left( {\frac{{\frac{1}{{\omega \,R\,C}}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{{\omega \,R\,C}}} \right)}^2}}}} \right)\] Umformung für eine bessere Übersicht: \[\underline G (j\omega ) = \frac{{{{(\omega \,R\,C)}^2}}}{{1 + {{(\omega \,R\,C)}^2}}} + j\left( {\frac{{\omega \,R\,C}}{{1 + {{(\omega \,R\,C)}^2}}}} \right)\] Für den Amplitudengang kann die Bestimmungsgleichung aufgestellt werden: \[|\underline G (j\omega )| = \sqrt {{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} }^2} + {{{\mathop{\rm Im}\nolimits} }^2}} \] \[\underline G (j\omega ) = \sqrt {{{\left( {\frac{{{{(\omega \,R\,C)}^2}}}{{1 + {{(\omega \,R\,C)}^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\omega \,R\,C}}{{1 + {{(\omega \,R\,C)}^2}}}} \right)}^2}} \] Beide Brüche quadrieren. Sie haben den gleichen Nenner. Wird im Zähler ausgeklammert, kann gegen den Nenner gekürzt werden: \[\underline G (j\omega ) = \sqrt {\frac{{{{(\omega \,R\,C)}^2}\left( {1 + {{(\omega \,R\,C)}^2}} \right)}}{{{{\left( {1 + {{(\omega \,R\,C)}^2}} \right)}^2}}}} \] \[\underline G (j\omega ) = \sqrt {\frac{{{{(\omega \,R\,C)}^2}}}{{\left( {1 + {{(\omega \,R\,C)}^2}} \right)}}} \] Den Bruch erweitern mit dem Kehrwert des Zählers und den Wurzelausdruck neu schreiben: \[\underline G (j\omega ) = \sqrt {\frac{1}{{1 + \frac{1}{{{{(\omega \,R\,C)}^2}}}}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{{(\omega \,R\,C)}^2}}}} }}\] Das Ergebnis ist identisch mit der Gl.(1).

Der Phasenwinkel errechnet sich mithilfe des Arcustangens, dem Verhältniss der Imaginär- zur Realkomponente: \[\varphi = \arctan \left( {\frac{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}} \right) = \frac{{\frac{{\omega \,R\,C}}{{1 + {{(\omega \,R\,C)}^2}}}}}{{\frac{{{{(\omega \,R\,C)}^2}}}{{1 + {{(\omega \,R\,C)}^2}}}}} = \frac{{\omega \,R\,C}}{{{{(\omega \,R\,C)}^2}}}\] \[\varphi = \arctan \left( {\frac{1}{{\omega \,R\,C}}} \right)\]

In Formelwerken und wissenschaftlichen Veröffentlichungen sind die Herleitungen oft auf die Grenzfrequenz normiert. Mit der Definition von Ω, dem Verhältnis der Kreisfrequenz ω zur Grenzkreisfrequenz ωg hat die Übertragungsfunktion bei ωg den Wert 1. Diese Normierung macht die Formelterme übersichtlicher. Die Gl.(3) für den RC-Hochpass kann geschrieben werden als: \[\underline G (j\omega ) = \frac{{j\,\omega \,R\,C}}{{1 + j\,\omega \,R\,C}}\] \[mit\quad \Omega = \frac{\omega }{{{\omega _g}}}\quad und\quad {\omega _g} = \frac{1}{{RC}}\] \[\underline G (j\omega ) = \frac{{j\,\Omega }}{{1 + j\,\Omega }}\] Es wird konjugiert komplex erweitert und in die Real- und Imaginarkomponente getrennt geschrieben: \[\underline G (\Omega ) = \frac{{{\Omega ^2}}}{{1 + {\Omega ^2}}} + j\left( {\frac{\Omega }{{1 + {\Omega ^2}}}} \right)\quad (4)\] Die Amplituden hat bei der Grenzfrequenz mit Ω = 1 den erwartete Wert 0,707 entsprechend −3 dB: \[\left| {\underline G (\Omega )} \right| = \sqrt {{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} }^2} + {{{\mathop{\rm Im}\nolimits} }^2}} \] \[\left| {\underline G (\Omega )} \right| = \sqrt {\frac{{{\Omega ^4} + {\Omega ^2}}}{{{{(1 + {\Omega ^2})}^2}}}} = \sqrt {\frac{2}{4}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \approx 0,707...\] Der Phasen-Frequenzgang berechnet sich zu: \[\varphi = \arctan \left( {\frac{{{\rm{Im}}}}{{{\rm{Re}}}}} \right)\quad \quad \varphi = \arctan \left( {\frac{1}{\Omega }} \right)\]

Bei der normierten Grenzfrequenz mit Ω = 1 beträgt der Phasenwinkel φ = 45°. Da 1/Ω proportional zu 1/f ist nimmt für sehr niedrige Frequenzen das Argument des Arcustangens sehr große Werte an. Der Phasenwinkel strebt gegen 90°. Für sehr hohe Frequenzen streben die Werte im Argument gegen null. Der Phasenwinkel strebt gegen 0°. Die hergeleiteten Beziehungen beschreiben das Verhalten einer RC-Hochpassschaltung.

Übertragungsfunktion für einen RL-Hochpass

Die Eingangsspannung beim RL-Hochpass liegt an der Impedanz Z der Reihenschaltung, während die Ausgangsspannung parallel zum induktiven Blindwiderstand liegt. Die mathematischen Herleitungen erfolgen entsprechend angepasst wie beim RC-Hochpass. \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{{{X_L}}}{Z} = \frac{{{X_L}}}{{\sqrt {{R^2} + X_L^2} }}\quad \quad {X_L} = \omega \,L\] Wird mit dem Kehrwert von XL erweitert, so ist das Ergebnis die normierte Übertragungsfunktion: \[\frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{R}{{{X_L}}}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{R}{{\omega \,L}}} \right)}^2}} }}\] Die Grenzbetrachtungen ergeben: \[R = \omega \,L\quad \Rightarrow \frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \approx 0,707\] \[\omega \to 0\quad \Rightarrow \frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{R}{0}} }} \approx \frac{1}{{\sqrt {1 + \infty } }} \to 0\] \[\omega \to \infty \quad \Rightarrow \frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{R}{\infty }} }} \approx \frac{1}{{\sqrt {1 + 0} }} \to 1\] Bei der Grenzfrequenz fg hat die Ausgangsspannung rund 71% der Eingangsspannung. Eingangssignale niedriger Frequenz ergeben stark gedämpfte Ausgangsamplituden. Eingangssignale hoher Frequenz passieren den RL-Hochpass mit großer Ausgangsamplitude.

Herleitung mit komplexer Wechselstromrechnung

Die Herleitungen für die normierte Übertragungsfunktion mit der normierten Grenzfrequenz Ω für einen RL-Hochpass ist vergleichbar mit den Schritten für den RC-Hochpass. \[\underline G (\Omega ) = \frac{{j\Omega }}{{1 + j\Omega }} = \frac{{{\Omega ^2} + j\Omega }}{{1 + {\Omega ^2}}}\] Aufgelöst in die Real- und Imaginärkomponente ergeben sich in übersichtlicher Form die Ausgangsgleichungen zur Berechnung des Amplituden- und Phasenfrequenzgangs: \[\underline G (\Omega ) = \frac{{{\Omega ^2}}}{{1 + {\Omega ^2}}} + j\left( {\frac{\Omega }{{1 + {\Omega ^2}}}} \right)\] \[\left| {\underline G (\Omega )} \right| = \frac{{\sqrt {{\Omega ^4} + {\Omega ^2}} }}{{1 + {\Omega ^2}}}\quad \quad \varphi = \arctan \left( {\frac{1}{\Omega }} \right)\]

Beim RC-Hochpass wird die Ausgangsspannung am Wirkwiderstand abgegriffen.
Beim LR-Hochpass wird die Ausgangsspannung am induktiven Blindwiderstand abgegriffen.
Eingangssignale mit hohen Frequenzen durchlaufen beide Schaltungen fast ungehindert.
Eingangssignale mit niedrigen Frequenzen werden stark gedämpft.
Bei der Grenzfrequenz fg (fo) gilt ua = 0,707·ue. Die Dämpfung beträgt 3 dB, die Verstärkung −3 dB.
Bei f « fg beträgt die Dämpfung 6 dB/Oktave das entspricht 20 dB/Dekade.
Bei fg beträgt der Phasenwinkel der Ausgangsspannung bezogen auf die Eingangsspannung φ = 45°.

Die Eigenschaften gelten nur für unbelastete Pässe, wo weder der Innenwiderstand der Signalquelle noch der Eingangswiderstand einer am Ausgang angeschlossenen Folgestufe berücksichtigt wird. Diese Verhältnisse können durch vor- und nachgeschaltete Impedanzwandler erreicht werden. Ohne sogenannte Pufferschaltungen verringert sich die maximal erreichbare Ausgangsspannung mit zunehmender Belastung und die Grenzfrequenz nimmt andere Werte an. Im Kapitel zum belasteten RC-Pass sind die entsprechenden Untersuchungen und Herleitungen mit komplexer Wechselstromrechnung beschrieben.