Informations- und Kommunikationstechnik

Passive RC- und RL-Hochpässe

Ein passiver Hochpass unterscheidet sich vom ausführlich beschriebenen Tiefpass im Wesentlichen durch die vertauschte Anordnung der Bauteile. Es handelt es sich um frequenzabhängige Spannungsteiler. Beim RC-Hochpass liegt die Ausgangsspannung parallel am ohmschen Wirkwiderstand und beim RL-Hochpass parallel zum induktiven Blindwiderstand. Die folgenden Betrachtungen gelten für sinusförmige Eingangssignale mit konstanter Amplitude und variabler Frequenzen.

Der RC-Hochpass

Beim RC-Hochpass ist nur der kapazitive Blindwiderstand Xc von der Frequenz abhängig. Am ideal angenommenen Kondensator eilt der Strom um φ = 90° der Spannung voraus. In der Reihenschaltung ist der Strom die Bezugsgröße und zeigt wie angedeutet horizontal nach rechts. Die Spannung am Kondensator und der dazu proportionale Zeiger des Blindwiderstands zeigen folglich senkrecht nach unten.

Nimmt die Frequenz der konstanten Eingangsspannung zu, so dreht sich der dazu proportionale Zeiger der Impedanz Z mit gleichbleibender Länge in Richtung zur reellen Achse des Wirkwiderstands. Die Zeigerlänge und die dazu proportionale Spannung am Kondensator nehmen stetig ab, daher muss die Zeigerlänge der Ausgangsspannung am ohmschen Widerstand größer werden. Der Phasenwinkel zwischen der Ausgangsspannung an R und der Eingangsspannung an Z verändert sich dabei von φ = +90° zu φ = 0°.

RC- und RL-Hochpass

Der RL-Hochpass

Beim RL-Hochpass ist nur der induktive Blindwiderstand von der Frequenz abhängig. Die Ausgangsspannung wird an der Spule abgenommen. Bei einer ideal angenommenen Induktivität eilt die Spannung um φ = 90° dem Strom voraus. Der Zeiger des Blindwiderstands zeigt senkrecht nach oben. Der Wert des induktiven Blindwiderstands nimmt zu höheren Frequenzen linear zu. Die Spannung an der Induktivität verhält sich direkt proportional zum Wert ihres Blindwiderstands.

Mit zunehmender Frequenz der Eingangsspannung dreht sich der Zeiger Z der Eingangsspannung in Richtung der Vertikalen zum Spannungszeiger des induktiven Blindwiderstands. Der Wert der Ausgangsspannung nähert sich dem der konstanten Eingangsspannung an. Der Phasenwinkel zwischen der Ausgangsspannung an der Induktivität und der Eingangsspannung an Z verändert sich dabei von φ = +90° zu φ = 0°.

Bodediagramme

Für jeden Hochpass gibt es nur eine Frequenz, bei der die Werte von Wirk- und Blindwiderstand gleich groß sind. Sie wird Grenzfrequenz genannt. Der Phasenwinkel zwischen der Ausgangsgröße in Bezug zur Eingangsgröße beträgt φ = +45°. Das Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangsgröße hat bei der Grenzfrequenz den charakteristischen Wert 0,707 entsprechend −3 dB.

Hochpässe mit nur einem Typ Blindwiderstand sind Pässe oder Filter 1. Ordnung. Sie haben eine charakteristische Dämpfung der Ausgangsspannung von 6 dB pro Oktave oder 20 dB pro Dekade. Die Bestimmung muss im Frequenzbereich erfolgen, der weit genug unterhalb der Grenzfrequenz im linearen Verlauf der Kennlinie liegt. Die folgenden Bodediagramme zeigen für einen RC- und RL-Hochpass mit gleicher Grenzfrequenz den von der Frequenz abhängigen Amplituden- und Phasengang der Ausgangsspannung in Bezug zur Eingangsspannung.

AC-Analysediagramme vom RC- und RL-Hochpass

Die Übertragungsfunktionen

Übertragungsfunktion für einen RC-Hochpass

Die Eingangsspannung als Bezugsgröße liegt parallel zur Reihenschaltung von R und C und somit an der Impedanz Z. Die Ausgangsspannung am RC-Hochpass wird parallel zum Widerstand abgegriffen. Damit kann das Spannungsverhältnis nach Gl.(1) aufgestellt werden. Übertragungsfunktionen werden allgemeingültig, normiert dargestellt. Der Ausgangswert im Zähler kann bei passiven Schaltungen maximal 100% oder 1 werden. Normiert wird die Gleichung Gl.(2) indem sie mit 1/R erweitert wird. Im Nenner kann der Faktor vor der Wurzel als quadratischer Faktor in die Wurzel einbezogen werden. Der Ausdruck unter der Wurzel wird ausmultipliziert und liefert als Ergebnis die Gleichung Gl.(3).

Der Wert des kapazitiven Blindwiderstands in Gl.(3) ist von der Frequenz abhängig. Bei der Grenzfrequenz fg sind beide Widerstandswerte gleich groß und die Ausgangsspannung hat den charakteristischen Wert von rund 71% der Eingangsspannung, siehe Gl.(4).

Der Nenner kann weiter aufgelöst werden und ergibt mit Gleichung Gl.(5) die Übertragungsfunktion einer beliebigen RC-Hochpass Schaltung. Die Ausgangsspannung ist als Funktion der Frequenz dargestellt. Mit den beiden Extremwertbetrachtungen zeigt sich das charakteristische Hochpassverhalten.

RC-Hochpass Übertragungsfunktion

Übertragungsfunktion mit komplexer Wechselstromrechnung

Die Herleitung erfolgt mit den Operatoren und der Normierung auf die Ausgangsgröße. Der Zähler wird dabei so erweitert, dass sein Wert 1 beträgt. Mit der Definition von Ω kann der Formelterm vereinfacht werden. Das ist eine Normierung auf die Grenzfrequenz. Bei der Grenzfrequenz mit Ω = 1 hat die Übertragungsfunktion den Wert √2 = 0,707 oder −3 dB. Für sehr niedrige Frequenzen strebt Ω gegen null, der Quotient unter der Wurzel gegen unendlich und der Wert der Übertragungsfunktion gegen null. Für sehr hohe Frequenzen kann der Quotient unter der Wurzel vernachlässigt werden und das Ergebnis der Übertragungsfunktion strebt gegen 1. Für die Übertragungsfunktion findet man gleichberechtigt sowohl das hier geschriebene G(jω) als auch H(jω).

komplexe Übertragungsfunktion für RC-Hochpass

Bei der Grenzfrequenz mit Ω = 1 errechnet sich der Phasenwinkel zu φ = 45°. Für niedrige Frequenzen strebt Ω gegen null und der Phasenwinkel gegen null. Für hohe Frequenzen und großen Werten von Ω strebt der Phasenwinkel gegen 90°. Die Grenzbetrachtungen beschreiben das Verhalten einer Hochpassschaltung.

Die Übertragungsfunktion beim RL-Hochpass

Die Ausgangsspannung beim RL-Hochpass liegt am induktiven Blindwiderstand, während die Eingangsspannung an der Reihenschaltung von R und L und somit an der Impedanz Z liegt. Die mathematische Herleitung der Übertragungsfunktion für den RL-Hochpass erfolgt entsprechend angepasst wie beim RC-Hochpass.

RL-Hochpass Übertragungsfunktion

Übertragungsfunktion mit komplexer Wechselstromrechnung

In der Herleitung unterscheiden sich nur die ersten Schritte von der für den RC-Hochpass.

komplexe Übertragungsfunktion für RL-Hochpass

Beim RC-Hochpass wird die Ausgangsspannung am ohmschen Wirkwiderstand abgegriffen.
Beim LR-Hochpass wird die Ausgangsspannung am induktiven Blindwiderstand abgegriffen.
Eingangssignale mit hohen Frequenzen durchlaufen beide Schaltungen fast ungehindert.
Mit zunehmender Eingangsfrequenz nimmt die Ausgangsamplitude zu.
Bei der Grenzfrequenz fg gilt Uaus = 0,707·Uein. Die Dämpfung beträgt 3 dB, die Verstärkung −3 dB.
Bei fg ist die Ausgangsspannung um φ = 45° zur Eingangsspannung phasenverschoben.
Bei f « fg beträgt die Dämpfung 6 dB/Oktave das entspricht 20 dB/Dekade.

Diese Eigenschaften gelten nur für unbelastete Pässe, wo weder der Innenwiderstand der Signalquelle noch der Eingangswiderstand einer am Ausgang angeschlossenen Folgestufe zu berücksichtigen ist. Diese Verhältnisse lassen sich durch vor- und nachgeschaltete Impedanzwandler erreichen. Ohne Pufferschaltungen verringert sich die maximal erreichbare Ausgangsspannung mit zunehmender Belastung und die Grenzfrequenz nimmt andere Werte an. Im Kapitel zum belasteten RC-Pass sind die entsprechenden Untersuchungen und Herleitungen mit komplexer Wechselstromrechnung beschrieben.