Informations- und Kommunikationstechnik

Passive RC- und RL-Hochpässe

Ein passiver Hochpass unterscheidet sich vom ausführlich beschriebenen Tiefpass im Wesentlichen durch die vertauschte Anordnung der Bauteile. Es handelt es sich um frequenzabhängige Spannungsteiler. Beim RC-Hochpass liegt die Ausgangsspannung parallel am ohmschen Wirkwiderstand und beim RL-Hochpass parallel zum induktiven Blindwiderstand. Die folgenden Betrachtungen gelten für sinusförmige Eingangssignale mit konstanter Amplitude und variabler Frequenzen.

Der RC-Hochpass

Beim RC-Hochpass ist nur der kapazitive Blindwiderstand Xc von der Frequenz abhängig. Am ideal angenommenen Kondensator eilt der Strom um φ = 90° der Spannung voraus. In der Reihenschaltung ist der Strom die Bezugsgröße und zeigt im Zeigerdiagramm wie angedeutet horizontal nach rechts. Die Zeiger für die Spannung am Kondensator und der dazu proportionale Zeiger des Blindwiderstands zeigen folglich senkrecht nach unten.

Mit zunehmender Frequenz wird der Blindwiderstand des Kondensators kleiner. Die Zeigerlänge der an Xc proportionalen Spannung nimmt ab. Der zur konstanten Eingangsspannung u1 proportionale Zeiger Z der Impedanz bleibt in seiner Länge gleich und dreht sich in Richtung zur reellen Achse des ohmschen Wirkwiderstands. Daraus folgt, dass die Zeigerlänge der Ausgangsspannung u2 am Wirkwiderstand zunimmt. Der Phasenwinkel zwischen u2 an R und u1 an Z verändert sich von φ = +90° zu φ = 0°.

RC- und RL-Hochpass

Der RL-Hochpass

Beim RL-Hochpass ist nur der induktive Blindwiderstand XL von der Frequenz abhängig. Die Ausgangsspannung wird an der Spule abgenommen. Bei einer ideal angenommenen Induktivität eilt die Spannung um φ = 90° dem Strom voraus. Der Zeiger des Blindwiderstands zeigt senkrecht nach oben. Der Wert des induktiven Blindwiderstands nimmt zu höheren Frequenzen linear zu. Die Spannung an der Induktivität verhält sich direkt proportional zum Wert ihres Blindwiderstands.

Mit zunehmender Frequenz der Eingangsspannung dreht sich der dazu proportionale Zeiger Z mit konstanter Länge in Richtung der Vertikalen zum Spannungszeiger des induktiven Blindwiderstands. Der Wert der Ausgangsspannung u2 nähert sich dem der konstanten Eingangsspannung u1 an. Der Phasenwinkel zwischen der u2 und u1 verändert sich dabei von φ = +90° zu φ = 0°.

Bodediagramme

Für jeden Hochpass gibt es die definierte Grenzfrequenz fg. Bei ihr haben der Wirkwiderstand und der Blindwiderstand den gleichen Wert. Der Phasenwinkel zwischen der Ausgangsgröße in Bezug zur Eingangsgröße beträgt φ = +45°. Das Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangsgröße hat bei der Grenzfrequenz den charakteristischen Wert 0,707 entsprechend −3 dB.

Hochpässe mit nur einem Typ Blindwiderstand sind Pässe oder Filter 1. Ordnung. Die Ausgangsgröße hat die charakteristische Dämpfung von 6 dB pro Oktave oder 20 dB pro Dekade. Die Bestimmung muss im Kennliniendiagramm weit genug unterhalb der Grenzfrequenz im linearen Bereich der Kennlinie erfolgen. Die folgenden Bodediagramme zeigen für einen RC- und RL-Hochpass mit gleicher Grenzfrequenz den von der Frequenz abhängigen Amplituden- und Phasengang der Ausgangsspannung in Bezug zur Eingangsspannung.

AC-Analysediagramme vom RC- und RL-Hochpass

Die Übertragungsfunktionen

Übertragungsfunktion für einen RC-Hochpass

Die Bezugsgröße ist eine in der Amplitude konstante und in der Frequenz variable Eingangsspannung. Sie liegt an der Reihenschaltung von R und C, der Impedanz Z der Schaltung. Die Ausgangsspannung wird beim RC-Hochpass am ohmschen Widerstand abgegriffen. Die Übertragungsfunktion ist das Verhältnis der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße. Für den RC-Hochpass gilt das Spannungsverhältnis nach Gl.(1). Der Vergleich unterschiedlich dimensionierter Schaltungen ist mit einer normierten Übertragungsfunktion leichter möglich. Die Ausgangsgröße bei passiven Schaltungen kann maximal den Wert 1 oder 100% annehmen. Normiert wird die Gleichung Gl.(1) indem sie mit 1/R erweitert wird. Im Nenner kann der Faktor vor der Wurzel als quadratischer Faktor in die Wurzel einbezogen werden. Der Ausdruck unter der Wurzel wird ausmultipliziert. Das Ergebnis ist die normierte Übertragungsfunktion Gl.(2).

In der Gl.(2) ist nur der Wert des kapazitiven Blindwiderstands XC von der Frequenz abhängig. Bei der Grenzfrequenz fg sind die Widerstandswerte von R und XC gleich groß und die Amplitude der Ausgangsspannung erreicht rund 71% der Eingangsamplitude, siehe Gl.(3). Die Grenzwertbetrachtungen für niedrige und sehr hohe Signalfrequenzen zeigen das charakteristische Verhalten für einen Hochpass. An den Ausgang gelangen bevorzugt nur die hohen Frequenzen.

RC-Hochpass Übertragungsfunktion

Übertragungsfunktion mit komplexer Wechselstromrechnung

Die Herleitung erfolgt mit den Operatoren und der Normierung auf die Ausgangsgröße. Die Grenzwertbetrachtung für die so aufgestellte Übertragungsfunktion Gl.(4) zeigt, dass es sich beim Amplituden-Frequenzgang um einen Hochpass handelt. Bei der Grenzfrequenz ist im Nenner der Realanteil mit dem Wert 1 gleich dem Imaginäranteil, der dann auch den Wert 1 haben muss. Der Absolutwert des Nenners errechnet sich zu √2. Der Absolutwert der Übertragungsfunktion hat den Wert 1 / √2 = 0,707.

normierte komplexe Übertragungsfunktion für einen RC-Hochpass

Für den RC-Hochpass wird der normierte komplexe Ansatz Gl.(4) so umgeformt, dass der komplexe Nenner entfällt, um mit einer Real- und Imaginärkomponente für den Amplituden- und Phasen-Frequenzgang übersichtliche Bestimmungsgleichungen zu erhalten. Im komplexen Zeigerdiagramm kann für jeden Zeiger eine Real- und Imaginärkomponente gezeichnet werden. Der Tangens des Phasenwinkels ist das Verhältnis der Imaginär- zur Realkomponente und der Phasenwinkel ist der Arcustangens dieses Verhältnisses.

komplexe Übertragungsfunktion für einen RC-Hochpass

In Formelwerken und wissenschaftlichen Veröffentlichungen finden sich auch Herleitungen, die auf die Grenzfrequenz normiert sind. Mit der Definition von Ω, dem Verhältnis der Kreisfrequenz ω zur Grenzkreisfrequenz ωo hat die Übertragungsfunktion bei der Grenzfrequenz den Wert 1. Durch diese Normierung erscheinen die Formelterme übersichtlicher.

Grenzfrequenz normierte komplexe Übertragungsfunktion für einen RC-Hochpass

Bei der Grenzfrequenz mit Ω = 1 errechnet sich der Phasenwinkel zu φ = 45°. Nach Gl.(8) ist 1/Ω proportional zu 1/f. Für sehr kleine Frequenzen nimmt das Argument der Arcus-Tangensfunktion sehr große Werte an und er Phasenwinkel strebt gegen 90°. Für sehr hohe Frequenzen und sehr kleinen Werten im Argument strebt φ gegen null. Die Grenzbetrachtungen beschreiben das Verhalten einer Hochpassschaltung.

Übertragungsfunktion für einen RL-Hochpass

Die Ausgangsspannung beim RL-Hochpass liegt am induktiven Blindwiderstand, während die Eingangsspannung an der Reihenschaltung von R und L und somit an der Impedanz Z liegt. Die mathematische Herleitung der Übertragungsfunktion für den RL-Hochpass erfolgt entsprechend angepasst wie beim RC-Hochpass.

RL-Hochpass Übertragungsfunktion

Herleitung mit komplexer Wechselstromrechnung

Die Herleitungen für die auf die Grenzfrequenz Ω normierten komplexen Übertragungsfunktionen eines RL-Hochpasses sind vergleichbar mit den Schritten für den RC-Hochpass.

Grenzfrequenz normierte komplexe Übertragungsfunktion für einen RL-Hochpass

Beim RC-Hochpass wird die Ausgangsspannung am ohmschen Wirkwiderstand abgegriffen.
Beim LR-Hochpass wird die Ausgangsspannung am induktiven Blindwiderstand abgegriffen.
Eingangssignale mit hohen Frequenzen durchlaufen beide Schaltungen fast ungehindert.
Eingangssignale mit niedrigen Frequenzen werden stark gedämpft.
Bei der Grenzfrequenz fg (fo) gilt Uaus = 0,707·Uein. Die Dämpfung beträgt 3 dB, die Verstärkung −3 dB.
Bei f « fg beträgt die Dämpfung 6 dB/Oktave das entspricht 20 dB/Dekade.
Bei fg beträgt der Phasenwinkel der Ausgangsspannung bezogen auf die Eingangsspannung φ = 45°.

Diese Eigenschaften gelten nur für unbelastete Pässe, wo weder der Innenwiderstand der Signalquelle noch der Eingangswiderstand einer am Ausgang angeschlossenen Folgestufe zu berücksichtigen ist. Diese Verhältnisse lassen sich durch vor- und nachgeschaltete Impedanzwandler erreichen. Ohne diese sogenannten Pufferschaltungen verringert sich die maximal erreichbare Ausgangsspannung mit zunehmender Belastung und die Grenzfrequenz nimmt andere Werte an. Im Kapitel zum belasteten RC-Pass sind die entsprechenden Untersuchungen und Herleitungen mit komplexer Wechselstromrechnung beschrieben.