Passive RC- und RL-Tiefpässe

Im Gegensatz zum idealen Ohm'schen Wirkwiderstand R ist der ideale Blindwiderstand eines Kondensators (Kapazität) XC und der einer Spule (Induktivität) XL von der Frequenz der angelegten Spannung abhängig. Dieses Kapitel beschreibt das Verhalten passiver RC- und RL-Reihenschaltungen an sinusförmiger Spannung. Die Schaltungen haben die Eigenschaft frequenzabhängiger Spannungsteiler. Mit dem kapazitiven oder induktiven Widerstand haben sie ein unabhängiges Speicherglied und werden als passive Filter 1. Ordnung bezeichnet. Auf der Seite Integrierverstärker sind entsprechende aktive Filterschaltungen beschrieben.

Die passiven Bauteile R, L und C haben zusätzliche parasitäre Eigenschaften. Sie machen sich zunehmend erst im hohen Frequenzbereich oberhalb 10 MHz bemerkbar. In den folgenden Beschreibungen werden die Bauteile idealisiert und frei von parasitären Eigenschaften angenommen. Die Wirkwiderstände R sind von der Frequenz unabhängig. Mit zunehmender Frequenz nimmt der Wert XC ab und der Wert XL zu. Am RC-Spannungsteiler ist die Ausgangsspannung parallel zum Kondensator bei tiefen Frequenzen groß und bei hohen Frequenzen klein. An einer RL-Reihenschaltung wird der gleiche Effekt erzielt, wenn die Ausgangsspannung parallel zum Wirkwiderstand gemessen wird. Für die folgenden Betrachtungen ist die Amplitude der AC-Eingangsspannung für alle Frequenzen konstant und von der angeschlossenen Belastung unabhängig.

In der Elektronik werden Baugruppen entsprechend ihrer Funktion oft durch Blocksymbole dargestellt. Die Darstellungsform, allgemein als Vierpol bezeichnet, ist für diese Schaltungen ein Zweitor. Links ist das Eingangstor und rechts das Ausgangstor Als Zweitor haben beide Tore ein gemeinsames Massepotenzial, das als ein Bezugspol dargestellt werden kann.

In empfindlichen elektronischen Geräten finden Tiefpass-Schaltungen eine breite Anwendung. Sie unterdrücken hochfrequente Störungen und ermöglichen eine gute Signalverarbeitung. Insbesondere in industriellen oder feuchten Umgebungen können externe Einflüsse wie Feuchtigkeit, Staub oder mechanische Belastungen jedoch zu Störungen oder Funktionsausfällen führen.

Eine bewährte Schutzmaßnahme für Tiefpass-Schaltungen ist das Vergießen mit Gießharz für Elektronik. Durch den Einsatz von Epoxid- oder Polyurethan-Gießharzen lassen sich die Schaltungen elektrisch isolieren, mechanisch stabilisieren und vor Umwelteinflüssen schützen. Besonders in der Leistungselektronik ist es wichtig, die thermische Ausdehnung der Bauteile zu berücksichtigen, da sich unterschiedliche Materialien bei Erwärmung unterschiedlich verhalten können.

Zusätzlich reduziert das Gießharz die Feuchtigkeitsaufnahme, wodurch die Kapazitätsstabilität des Kondensators erhalten bleibt und unerwünschte Frequenzänderungen vermieden werden. Gerade bei Präzisionsmessgeräten oder langlebigen industriellen Anwendungen trägt der Verguss entscheidend zur Funktionssicherheit bei.

Zeigerdiagramme

Am idealen Ohm'schen Widerstand, der Realkomponente R sind Strom und Spannung mit φ = 0° in Phase. Am idealen kapazitiven Blindwiderstand, der Imaginärkomponente XC eilt der Strom um den Phasenwinkel φ = +90° der Spannung voraus. Am idealen induktiven Blindwiderstand XL eilt der Strom um den Phasenwinkel φ = -90° der Spannung nach. Im rechtwinkligen Koordinatensystem kann für jede RC- oder RL-Reihenschaltung das Zeigerdiagramm gezeichnet werden. Die Horizontalachse ist die Realwertachse Re, die Vertikalachse ist die Imaginär-(Blindwert)achse Im. In einer Reihenschaltung fließt durch alle Bauteile derselbe Strom. Er wird als Bezugsgröße mit φ = 0° in Richtung der Horizontalachse gezeichnet.

Das Bild zeigt für einen RC- und RL-Tiefpass die Zeigerdiagramme. Beim RC-Tiefpass liegt die Ausgangsspannung parallel zum Kondensator. Beim RL-Tiefpass liegt die Ausgangsspannung parallel zum Wirkwiderstand. Die AC-Eingangsspannung ue liegt an der gesamten Reihenschaltung und teilt sich in uR und uX auf. Wegen des Phasenwinkels von φ = |90;deg;| zwischen beiden ergibt nur die geometrische Addition der beiden Teilspannungen die AC-Quellenspannung ue: \[{u_e} = \sqrt {u_R^2 + u_C^2} \quad und\quad {U_e} = \sqrt {U_R^2 + U_L^2} \] Es gilt weiterhin die Proportionalität zwischen einem Widerstand und seiner Teilspannung. Der Gesamtwiderstand, die Impedanz berechnet sich ebenfalls nur durch die geometrische Addition der Einzelwiderstände: \[Z = \sqrt {{R^2} + X_C^2} \quad und\quad Z = \sqrt {{R^2} + X_L^2} \] Zwischen der Ausgangs- und Eingangsspannung gibt es einen Phasenwinkel φ. Bei der Bestimmung mit einem Oszillographen wird die Eingangsspannung mit φ = 0° als Bezugsspannung gesetzt. Aus dem Zeigerdiagramm kann er mithilfe des Arcustangens bestimmt werden. Sind die Teilspannungen oder die Widerstände bekannt oder berechnet, so gilt für den RC-Tiefpass: \[\varphi = \arctan \frac{{{u_R}}}{{{u_a}}} = \arctan \frac{R}{{{X_c}}}\] Für den RL-Tiefpass gilt: \[\varphi = \arctan \frac{{{u_L}}}{{{u_R}}} = \arctan \frac{{{X_L}}}{R}\]

Die Grenzfrequenz

Bei den Tiefpässen ist nur der Blindwiderstand von der Frequenz abhängig. Für eine bestimmte Frequenz, der Grenzfrequenz fg sind beide Widerstandswerte gleich groß und die Zeigerlängen im Zeigerdiagramm sind gleich lang. Der Phasenwinkel hat bei fg den Wert φ = |45°|. Für die beiden Tiefpässe gilt: \[R = {X_C} = \frac{1}{{2\,\pi \,{f_g}\,C}}\quad \Rightarrow \quad {f_g} = \frac{1}{{2\,\pi \,R\,C}}\] \[R = {X_L} = 2\,\pi \,{f_g}\,L\quad \Rightarrow \quad {f_g} = \frac{R}{{2\,\pi \,L}}\]

Übertragungsfunktion für einen RC-Tiefpass

Für sinusförmige Eingangsspannungen kann mit der Übertragungsfunktion, dem Verhältnis der Ausgangsspannung bezogen auf die Eingangsspannung das von der Frequenz abhängige Verhalten der Schaltung sehr gut beurteilt werden. Um unterschiedlich dimensionierte Schaltungen einfacher vergleichen zu können, wird das Spannungsverhältnis auf die Ausgangsspannung normiert deren Wert dann ≤1 ist. \[\frac{{{u_a}}}{{{u_e}}} = \frac{{{X_C}}}{Z} = \frac{{{X_C}}}{{\sqrt {{R^2} + X_C^2} }} = \frac{1}{{\frac{1}{{{X_C}}}\sqrt {{R^2} + X_C^2} }}\] \[\frac{{{u_a}}}{{{u_e}}} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{X_C^2}}({R^2} + X_C^2)} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{R}{{{X_C}}}} \right)}^2}} }}\] Wird die Formel für den Blindwiderstand eingesetzt, gilt für den RC-Tiefpass: \[\frac{{{u_a}}}{{{u_e}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{(2{\mkern 1mu} \pi {\mkern 1mu} f{\mkern 1mu} R{\mkern 1mu} C)}^2}} }}\quad (1)\] Bei der Grenzfrequenz fg haben R und XC den gleichen Widerstandswert. Die Amplitude der Ausgangsspannung beträgt knapp 71% der Eingangsspannung: \[\frac{{{u_a}}}{{{u_e}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\quad \Rightarrow \quad {u_a} \approx 0,707 \cdot {u_e}\] Grenzwertbetrachtungen für die Frequenz mit der Gl.(1) ergeben: \[\begin{array}{l} f \to 0\quad {(2{\mkern 1mu} \pi {\mkern 1mu} f{\mkern 1mu} R{\mkern 1mu} C)^2} \to 0\quad \frac{{{u_a}}}{{{u_e}}} \to 1\\ f \to \infty \quad {(2{\mkern 1mu} \pi {\mkern 1mu} f{\mkern 1mu} R{\mkern 1mu} C)^2} \to \infty \quad \frac{{{u_a}}}{{{u_e}}} \approx \frac{1}{{\sqrt \infty }} \approx 0 \end{array}\] Sehr niedrige Signalfrequenzen ist die Ausgangsamplitude fast ungedämpft. Für sehr hohe Signalfrequenzen ist die Ausgangsamplitude stark gedämpft.

Übertragungsfunktion mit komplexer Wechselstromrechnung

Oft sind Herleitungen mithilfe der komplexen Wechselstromrechnung einfacher und übersichtlicher. In diesem Webprojekt sind Beschreibungen zum komplexen Achsensystem und zur komplexen Rechnung ebenso wie die Zusammenhänge zwischen den Blindwiderständen und ihren Operatoren und Leitwerten im Bereich der Fachmathematik zu finden.

Die Übertragungsfunktion G(jω) oder G(s), auch als H(jω) oder H(s) geschrieben wird mit den Operatoren aufgestellt. Komplexen Größen werden mit einem Unterstrich gekennzeichnet. Wie zuvor wird auf die Ausgangsspannung normiert, sodass im Zähler der Wert 1 steht. In Veröffentlichungen und Formelsammlungen gibt es unterschiedliche Vereinfachungen. Anstelle von R·C wird die Zeitkonstante \(\tau = R \cdot C\) verwendet. Für den Faktor j·ω wird \(s = j \cdot \omega \) geschrieben. Sehr oft wird auf die Grenzfrequenz normiert, sodass die Frequenzachse jetzt Werte für \(\Omega = f/{f_g} = \omega /{\omega _g}\) den Bereich 0 ... ∞ durchläuft und bei der Grenzfrequenz den Wert Ω = 1 hat. Es folgt die Herleitung für einen RC-Tiefpass. \[\underline G (j\omega ) = \frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{{\frac{1}{{j\omega C}}}}{{R + \frac{1}{{j\omega C}}}}\] Mit der Normierung und je nach Wahl der vereinfachenden Ersetzung folgt: \[\underline G (j\omega ) = \frac{1}{{1 + j\,\omega \,R\,C}}\;\quad \underline G (s) = \frac{1}{{1 + s\,R\,C}}\] Mit \(R\,C = 1/{\omega _g}\) und \(\omega = \Omega \,{\omega _g}\) eingesetzt folgt: \[\underline G (j\omega ) = \frac{1}{{1 + j\,\Omega }} = \frac{{1 - j\,\Omega }}{{(1 + j\,\Omega )(1 - j\,\Omega )}} = \frac{{1 - j\,\Omega }}{{1 + {\Omega ^2}}}\] Getrennt in die Real- und Imaginärkomponente geschrieben: \[\underline G (j\omega ) = \frac{1}{{1 + {\Omega ^2}}} - \left( {\frac{\Omega }{{1 + {\Omega ^2}}}} \right) \cdot j\] Der Amplituden-Frequenzgang berechnet sich wie folgt: \[|\underline G (j\omega )| = \sqrt {{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} }^2} + {{{\mathop{\rm Im}\nolimits} }^2}} \] \[|\underline G (j\omega )| = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{1 + {\Omega ^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - \Omega }}{{1 + {\Omega ^2}}}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{1 + {\Omega ^2}}}{{{{(1 + {\Omega ^2})}^2}}}} \] \[|\underline G (j\omega )| = \frac{1}{{\sqrt {1 + {\Omega ^2}} }}\] Bei der Grenzfrequenz ist Ω = 1. Die Signalamplitude der Ausgangsspannung beträgt |G|≈0,707... Für den Phasenfrequenzgang gilt: \[\varphi (j\omega ) = \arctan \left( {\frac{{{\mathop{\rm Im}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm Re}\nolimits} }}} \right) = \arctan \left( {\frac{{\frac{{ - \Omega }}{{1 + {\Omega ^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + {\Omega ^2}}}}}} \right)\] \[\varphi (j\omega ) = - \arctan (\Omega )\] Beim RC-Tiefpass ist der Phasenwinkel negativ und bei der Grenzfrequenz mit Ω = 1 beträgt der Winkel φ = -45°.

Übertragungsfunktion für einen RL-Tiefpass

Die Eingangsspannung liegt an der Impedanz Z der Reihenschaltung aus R und L. Beim RL-Tiefpass wird Ausgangsspannung parallel zum Wirkwiderstand abgegriffen. Die nicht komplexe mathematische Herleitung der Übertragungsfunktion entspricht angepasst den Schritten wie beim RC-Tiefpass. \[\begin{array}{l} \frac{{{u_a}}}{{{u_e}}} = \frac{R}{Z} = \frac{R}{{\sqrt {{R^2} + X_L^2} }}\\ \frac{{{u_a}}}{{{u_e}}} = \frac{1}{{\frac{1}{R}\sqrt {{R^2} + X_L^2} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{R^2}}}({R^2} + X_L^2)} }} \end{array}\] \[\frac{{{u_a}}}{{{u_e}}} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{{X_L}}}{R}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\left( {\frac{{2\,\pi \,f\,L}}{R}} \right)}^2}} }}\quad (2)\] Die Grenzwertbetrachtungen für den Frequenzbereich für Gl.(2) ergeben: \[\begin{array}{l} f \to 0\quad \frac{{2\,\pi \,f\,L}}{R} \to 0\quad \frac{{{u_a}}}{{{u_e}}} \to 1\\ f \to \infty \quad \frac{{2\,\pi \,f\,L}}{R} \to \infty \quad \frac{{{u_a}}}{{{u_e}}} \approx \frac{1}{\infty } \approx 0 \end{array}\] Im Bereich niedriger Signalfrequenzen ist die Ausgangsamplitude wenig gedämpft. Für sehr hohe Signalfrequenzen ist die Ausgangsamplitude sehr klein. Das entspricht dem Tiefpassverhalten.

In der doppelt logarithmischen Darstellung des Amplituden-Frequenzgangs hat die Vertikalachse mit dem Pegelmaß eine lineare Teilung. Im Sperrbereich weit genug oberhalb der Grenzfrequenz ist der Kurvenverlauf linear fallend. Das Dämpfungsmaß kann aus der Steigung abgelesen werden. Beim passiven Tiefpass 1. Ordnung beträgt der charakteristische Wert 6 dB pro Oktave. Die Oktave entspricht einer Frequenzverdoppelung. Im linearen Abschnitt und dem Zehnfachen des Frequenzbereichs beträgt das Dämpfungsmaß 20 dB pro Dekade.

Beim RC-Tiefpass wird die Ausgangsspannung am Kondensator abgegriffen.
Beim RL-Tiefpass wird die Ausgangsspannung am Widerstand abgegriffen.
Im niedrigen Frequenzbereich ist die Ausgangsamplitude praktisch ungedämpft und fast gleich der Eingangsamplitude.
Im hohen Frequenzbereich wird die Ausgangsamplitude stetig kleiner.
Bei der Grenzfrequenz fg gilt ua = 0,707·Ue. Die Dämpfung beträgt 3 dB, die Verstärkung −3 dB.
Bei fg ist das Ausgangssignal um φ = −45° zum Eingangssignal phasenverschoben.
Im linearen Sperrbereich beträgt die Dämpfung 6 dB/Oktave das entspricht 20 dB/Dekade.

Herleitung mit komplexer Wechselstromrechnung

Auch diese Herleitung entspricht angepasst den Schritten des RC-Tiefpasses. Das Ausgangssignal wird am Wirkwiderstand abgenommen und das Eingangssignal liegt an der Impedanz, der Reihenschaltung aus dem induktiven Blindwiderstand und dem Wirkwiderstand. Es wird auf das Ausgangssignal normiert, sodass der Zähler den Wert 1 hat. \[\underline G (j\omega ) = \frac{{{{\underline u }_a}}}{{{{\underline u }_e}}} = \frac{R}{{R + j\,\omega \,L}} = \frac{1}{{1 + j\,\omega \,\frac{L}{R}}}\] Mit \({\omega _g} = R/L\) und \(\Omega = f/{f_g} = \omega \,L/R\) eingesetzt und den Nenner konjugiert komplex erweitert ergibt: \[\underline G (j\omega ) = \frac{1}{{1 + j\,\Omega }} = \frac{{1 - j\,\Omega }}{{(1 + j\,\Omega )(1 - j\,\Omega )}} = \frac{{1 - j\,\Omega }}{{1 + \,{\Omega ^2}}}\] Trennung in die Real- und Imaginärkomponente ergibt: \[\underline G (j\omega ) = \frac{1}{{1 + \,{\Omega ^2}}} - j \cdot \left( {\frac{\Omega }{{1 + \,{\Omega ^2}}}} \right)\] Für den Amplituden- und Phasenfrequenzgang folgen die Beziehungen: \[|\underline G (j\omega )| = \frac{1}{{\sqrt {1 + \,{\Omega ^2}} }}\quad und\quad \varphi (j\omega ) = - \arctan (\Omega )\]

Die hergeleiteten Eigenschaften gelten für einen unbelasteten Pass, wo der Innenwiderstand der Signalquelle und der Eingangswiderstand einer Folgestufe praktisch vernachlässigbar sind. In einer mehrstufigen Schaltung kann das durch vor- und nachgeschaltete Impedanzwandler erreicht werden. Sie werden zumeist als Pufferverstärker (engl. Buffer) bezeichnet. Ohne die Vernachlässigungen oder Entkopplung wird der Pass belastet. Die maximal erreichbare Ausgangsspannung ist geringer und die zuvor berechnete Grenzfrequenz nimmt einen anderen Wert an. Auf der Seite zum belasteten RC-Pass werden diese Einflüsse mit mathematischen Herleitungen beschrieben.