Informations- und Kommunikationstechnik

Passive RC- und RL-Tiefpässe

Im Gegensatz zum ohmschen Widerstand ist der Blindwiderstandswert eines Kondensators (Kapazität) oder einer Spule (Induktivität) von der Frequenz der angelegten Spannung abhängig. Dieses Kapitel beschreibt das Verhalten passiver RC- und RL-Reihenschaltungen an sinusförmiger Spannung. Es handelt sich um frequenzabhängige Spannungsteiler. Entsprechende aktive Schaltungen sind an anderer Stelle als Integrierverstärker beschrieben. Beide Schaltungen haben mit dem kapazitiven oder induktiven Widerstand ein unabhängiges Speicherglied und werden als passive Filter 1. Ordnung bezeichnet.

Im niedrigen Frequenzbereich unterhalb 1 MHz können die meisten Bauformen ohmscher Widerstände (Wirkwiderstände) als von der Frequenz unabhängig angenommen werden. Mit zunehmender Betriebsfrequenz verringern sich die Werte kapazitiver Blindwiderstände während sich die Werte induktiver Blindwiderstände vergrößern. Am RC-Spannungsteiler ist daher die Spannung parallel zum Kondensator bei tiefen Frequenzen groß und bei hohen Frequenzen klein. An einer RL-Reihenschaltung wird der gleiche Effekt erzielt, wenn die Ausgangsspannung parallel zum Wirkwiderstand gemessen wird. In den folgenden Betrachtungen ist die Amplitude der Eingangsspannung für den gesamten Frequenzbereich konstant.

Tiefpässe

In der Elektronik werden Baugruppen entsprechend ihrer Funktion oft als Blocksymbole dargestellt. Die Darstellungsform, ehemals als Vierpol bezeichnet, nennt sich derzeit Zweitor. Links ist das Eingangstor mit zwei Eingangspolen, rechts sind die zwei Pole des Ausgangstors. Bilden die unteren Pole die gemeinsame Signalmasse, so können sie als ein Bezugspol dargestellt werden. Die eingetragenen Buchstaben oder Symbole kennzeichnen die Eigenschaften des Vierpols.

Die Grenzfrequenz

Im Zeigerdiagramm ist der Phasenwinkel zwischen der ideal angenommenen Wirk- und Blindkomponente immer 90°. Die Eingangsspannung liegt an beiden Widerständen, der Gesamtimpedanz an. Ihr Zeiger entspricht der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit den beiden Widerstandszeigern als Katheten. Nur bei einer bestimmten Frequenz haben beide Widerstände den gleichen Wert und die Zeiger sind gleich lang. Wird für diese Länge der Wert 1 gesetzt, dann errechnet sich die Länge der Hypotenuse durch geometrische Addition der Teilwerte mit dem Ergebnis √2. Wird der Eingangsgröße der Wert 1 zugeordnet, dann müssen beide Kathetenwerte durch Wurzel 2 dividiert werden. Die Längen der Widerstands- oder Spannungszeiger haben dann den Wert 0,707. Der rechte Winkel wird zu je 45° geteilt. Für diese gleichen Widerstands- und Spannungsverhältnisse und beim absoluten Phasenwinkel φ = 45° ist die Lage der Grenzfrequenz genau definiert.

Mathematische Herleitungen

Beim Tiefpass wird der Frequenzbereich unterhalb der Grenzfrequenz als Durchlass- und darüber als Sperrbereich bezeichnet. Mithilfe der Übertragungsfunktion, dem Verhältnis der Ausgangsspannung bezogen auf die Eingangsspannung kann das Verhalten einer Schaltung schnell beurteilt werden. Für den RC- und RL-Tiefpass werden die Übertragungsfunktionen zuerst ohne komplexe Rechnung hergeleitet.

Die Übertragungsfunktionen

Übertragungsfunktion für einen RC-Tiefpass

Die Eingangsspannung Ue liegt an der Reihenschaltung beider Widerstände, der Impedanz Z. Die Ausgangsspannung Ua wird beim RC-Tiefpass parallel zum Blindwiderstand Xc des Kondensators abgenommen. Durch eine Normierung des Spannungsverhältnisses auf die Ausgangsspannung kann ihr Maximalwert nicht größer als 1 werden und Schaltungsvergleiche sind einfacher möglich. Die Übertragungsfunktion leitet sich mit wenigen Umformungen aus dem Spannungsverhältnis her.

Übertragungsfunktion zum RC-TP

Übertragungsfunktion mit komplexer Wechselstromrechnung

Oft ist die Berechnungen mithilfe der komplexen Wechselstromrechnung einfacher durchzuführen, daher ist sie in vielen Veröffentlichungen zu diesem Themenkreis zu finden. Nähere Beschreibungen zum komplexen Achsensystem und zur komplexen Rechnung sind ebenso wie die Zusammenhänge zwischen den Blindwiderständen und ihren Operatoren und Leitwerten im Bereich der Fachmathematik zu finden.

Die Übertragungsfunktion G(jω) oder G(s) wird auch als H(jω) oder H(s), geschrieben und mit den Operatoren aufgestellt. Die komplexen Größen sind mit einem Unterstrich gekennzeichnet. Die Normierung auf die Ausgangsspannung bleibt, sodass im Zähler der Wert 1 steht. In Veröffentlichungen gibt es unterschiedliche Vereinfachungen. Anstelle von RC wird die Zeitkonstante τ = R·C eingesetzt oder der Faktor j·ω wird durch s = j·ω ersetzt. Sehr oft wird auf die Grenzfrequenz normiert, sodass die Frequenzachse jetzt Werte für Ω = f / fg den Bereich 0 ... ∞ durchläuft und bei Grenzfrequenz fg den Wert Ω = 1 hat.

komplexe Übertragungsfunktion des RC-TP

Für Ω = 0 hat die Amplitude ihren Maximalwert 1 und der Phasenwinkel beträgt φ = 0°. Bei der Grenzfrequenz mit Ω = 1 hat die Ausgangsamplitude den Wert 0,707 der Eingangsamplitude oder −3 dB erreicht. Der Phasenwinkel zwischen Ausgangs- und Eingangssignal beträgt φ = -45°. Für sehr hohe Frequenzen strebt Ω gegen unendlich und die Übertragungsfunktion gegen null und der Phasenwinkel gegen −90°. Das sind die charakteristischen Eckwerte einer RC-Tiefpassschaltung, die sich sehr leicht mithilfe der Übertragungsfunktion bestimmen lassen.

Übertragungsfunktion für einen RL-Tiefpass

Die Eingangsspannung liegt an der Gesamtimpedanz Z der Reihenschaltung aus R und L an. Die Ausgangsspannung wird beim RL-Tiefpass parallel zum ohmschen Widerstand abgegriffen. Die nicht komplexe mathematische Herleitung der Übertragungsfunktion erfolgt wie weiter oben, nur entsprechend angepasst.

Übertragungsfunktion zum RL-TP

Bei der Darstellung des Amplituden-Frequenzgangs wird anstelle des Spannungsverhältnisses oftmals das Pegelmaß verwendet. Ausreichend entfernt oberhalb der Grenzfrequenz ist dann der Kurvenverlauf im Sperrbereich linear fallend. Das Dämpfungsmaß errechnet sich aus der Steigung. Der charakteristische Wert für einen passiven Tiefpass 1. Ordnung beträgt 6 dB bei Frequenzverdoppelung entsprechend einer Oktave. Wird der Wert bei zehnfacher Frequenz angegeben, so beträgt das Dämpfungsmaß 20 dB pro Dekade.

Bodediagramm mit Pegelmaß beim LR-TP

Beim RC-Tiefpass wird die Ausgangsspannung am Kondensator abgegriffen.
Beim RL-Tiefpass wird die Ausgangsspannung am Widerstand abgegriffen.
Eingangssignale mit tiefen Frequenzen durchlaufen die Schaltung fast ungehindert.
Mit steigender Eingangsfrequenz wird die Ausgangsamplitude stetig kleiner.
Bei der Grenzfrequenz fg gilt Ua = 0,707·Ue. Die Dämpfung beträgt 3 dB, die Verstärkung −3 dB.
Bei fg ist das Ausgangssignal um φ = −45° zum Eingangssignal phasenverschoben.
Bei f » fg beträgt die Dämpfung 6 dB/Oktave das entspricht 20 dB/Dekade.

Übertragungsfunktion mit komplexer Wechselstromrechnung

Das Ausgangssignal wird am ohmschen Widerstand abgenommen und das Eingangssignal liegt an der Impedanz, der Reihenschaltung aus dem induktiven Blindwiderstand und dem Wirkwiderstand. Die Schritte der Herleitung sind vergleichbar zum RC-TP. Es wird auf das Ausgangssignal normiert, sodass der Zähler den Wert 1 hat. Es kann auf die Grenzfrequenz normiert werden, wodurch in den Diagrammen die Frequenzachse durch die dimensionslosen Werten für Ω geteilt wird.

komplexe Übertragungsfunktion des RL-TP

Die hergeleiteten Eigenschaften gelten einen unbelasteten Pass, wo praktisch weder der Innenwiderstand der Signalquelle noch der Eingangswiderstand einer Folgestufe berücksichtigt werden muss. In einer mehrstufigen Schaltung kann das durch vor- und nachgeschaltete Impedanzwandler erreicht werden. Sie werden zumeist als Pufferverstärker (engl. Buffer) bezeichnet. Ohne diese Entkopplung wird der Pass belastet, wobei die maximal erreichbare Ausgangsspannung geringer ist und die zuvor berechnete Grenzfrequenz einen anderen Wert annimmt. Auf der Seite zum belasteten RC-Pass werden diese Einflüsse mit mathematischen Herleitungen beschrieben.