Differenzialrechnung

Die Differenzialrechnung (Differentialrechnung) ist eine mathematische Methode mit der viele Eigenschaften mathematischer Funktionen und deren grafischen Darstellungen bestimmt werden können. Zu diesen Eigenschaften gehören die Steigung und das Steigungsverhalten, Extremalpunkte, Wende- und Sattelpunkte, der Krümmungsverlauf und das Monotonieverhalten. Im Mathematikunterricht wird in diesem Zusammenhang auch die Bestimmung von Nullstellen, das sind Schnitt- oder Berührpunkte mit der horizontalen x-Achse und der Schnittpunkt mit der y-Achse behandelt. Die ebenfalls behandelte Punkt- und Achsensymmetrie kommen ohne Differenzialrechnung aus, sind aber Teil der späteren Kurvendiskussion.

Der Funktionsbegriff

Die bildliche Darstellung mathematischer Zusammenhänge erfolgt in den meisten Fällen in einem ebenen oder räumlichen rechtwinkligen Achsensystem. Der Funktionsgraph, die bildliche Darstellung der Funktion kann zwischen den Achsenebenen verlaufen, sie schneiden oder berühren. In der Mathematik wird die vertikale Achse meistens als y-Achse und die horizontale Achse als x-Achse bezeichnet. Andere Problemstellungen nutzen ihre eigenen Achsenbezeichnungen, wie beispielsweise ein Weg-Zeit-Diagramm oder Strom-Spannungs-Diagramm. Die horizontale x-Achse bestimmt den Definitionsbereich der Funktion und wird auch als Abszissenachse bezeichnet. Die vertikale y-Achse ist die Ordinatenachse mit dem Wertebereich der Funktion. Im räumlichen Achsensystem steht die z-Achse senkrecht auf der Ebene, die von der x- und y-Achse aufgespannt wird. Auf dieser Seite werden nur ebene Funktionen mit einer Variablen (x) und der Ordinate (y) beschrieben.

Ein ausgewählter Koordinatenwert auf der Abszisse (Abschnitt) bestimmt den zugehörigen Wert im Ordinatenbereich (Zuordnung). Eine beliebige Funktionsgleichung kann daher als \(y = f(x)\) geschrieben werden mit der Bedeutung, dass y eine Funktion von x ist. Ist diese Zuordnung umkehrbar, dann ist ihre Eigenschaft eineindeutig. Nicht jede grafische (graphische) Darstellung im ebenen Achsenkreuz kann durch eine Funktionsgleichung beschrieben werden. In der Mathematik ist die Funktion mit der Variablen (x) die Vorschrift, die jedem Wert x aus dem Definitionsbereich \(D\,(x \in D)\) genau ein Wert y aus dem Wertebereich \(W\,(y \in W)\) zuordnet. Die unabhängige und veränderliche Variable ist x. Die davon abhängige veränderliche Variable ist y als Funktionswert. Im Folgenden sollen nur reelle Werte betrachtet werden. Für Kreise, Ellipsen oder Spiralen gibt es daher keine mathematischen Funktionen, die diese Vorschrift erfüllen.

Nullstellen

Schneidet oder berührt der Funktionsgraph die x-Achse, dann ist der Funktionswert y = 0. Es liegt eine Nullstelle oder für bestimmte Funktionsgleichungen ein Berührpunkt, eine Doppelnullstelle vor. Ist die Funktionsgleichung bekannt so wird zur Berechnung der Nullstelle(n) der Funktionswert \(y = f(x) = 0\) gesetzt. Die Funktionsgleichung wird zur Bestimmungsgleichung für die x-Koordinate(n). Am einfachsten gilt das für Geraden- und Parabelfunktionen. Für Funktionen höherer Ordnung ist der Rechenaufwand entsprechend größer.

y-Achsenabschnitt

Schneidet der Funktionsgraph die y-Achse, dann ist immer die x-Koordinate (x-Wert) des Schnittpunkts null. Hat die gegebene Funktion ein von x unabhängiges lineares Glied, so ist sein Wert gleich dem y-Achsenabschnitt.

Symmetrien

Im schulischen Bereich wird nur die Achsen- und Punktsymmetrie betrachtet. Ist eine Funktion spiegelsymmetrisch zur y-Achse, dann dürfen nur geradzahlige Exponenten der unabhängigen Variablen x in der Funktionsgleichung vorkommen. Für alle x gilt dann \(x \in D \Leftrightarrow - x \in D\). Der mathematische Nachweis muss die Gleichung \(f( - x) = f(x)\) erfüllen.

Wird in die Funktionsgleichung des linken Funktionsbilds für die Variable x der positive oder negative Wert eingesetzt, dann ist das Ergebnis gleich und es besteht Achsensymmetrie. \[\begin{array}{l} y = f(x) = a\,x_1^2 - b\\ f({x_1}) = a\,x_1^2 - b\\ f( - {x_1}) = a\,( - x_1^2) - b = a\,x_1^2 - b\\ f( - {x_1}) = f({x_1}) \end{array}\] Im Bildteil rechts gibt es in der Funktionsgleichung nur ungeradzahlige Exponenten der x-Variablen. Das Funktionsbild ist zum Koordinatenursprung punktsymmetrisch. Die Funktionsgleichung darf kein absolutes Glied haben, denn dieses hätte mit \({x^0}\) einem geraden Exponenten. Ohne absolutes Glied gilt für alle x \(x \in D \Leftrightarrow - x \in D\). Für die Punktsymmetrie gilt: \[\begin{array}{l} y = f(x) = a\,{x^3} - b\,x\\ f({x_1}) = a\,x_1^3 - b\,{x_1}\\ f( - {x_1}) = a\,( - x_1^3) + b\,{x_1} = - (a\,x_1^3 - b\,{x_1})\\ f( - {x_1}) = - f({x_1}) \end{array}\]

Monotonie

Der Funktionsverlauf kann bei positiver Steigung monoton wachsend oder bei negativer Steigung monoton fallend sein. Da im Funktionsverlauf die Steigung auch gleich bleiben kann, wird das Verhalten der Monotonie durch den Zusatz streng noch genauer spezifiziert. Für alle x-Werte des Definitionsbereichs mit \({\rm{x1 \lt x2}}\) ist die Funktion monoton wachsend, wenn \(f({x_1}) \le f({x_2})\) gilt. Bei einer streng monoton wachsenden Funktion gilt: \(f({x_1}) \lt f({x_2})\). Bei einer monoton fallenden Funktion ist \(f({x_1}) \ge f({x_2})\) erfüllt und für streng monoton fallend muss \(f({x_1}) > f({x_2})\) sein. Die Monotonie kann für die gesamte Funktion gelten oder wird für einzelne Funktionsabschnitte bestimmt.

Vom Differenzen- zum Differenzialquotient

Der Funktionsgraph einer Geraden wird durch eine Funktionsgleichung beschrieben, in der die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt. Die Funktionsgleichung wird als Polynom 1. Grades bezeichnet. Für jeden gewählten Abschnitt des Funktionsbilds ist die Steigung konstant. Im Kapitel über die Gerade wird gezeigt, wie die Steigung aus dem Differenzenquotienten Δy / Δx ermittelt werden kann. Funktionen höherer Ordnung haben in jedem Punkt ihres Funktionsbilds fast immer unterschiedliche Steigungswerte. Zeichnerisch (grafisch) kann die Steigung für einen bestimmten Kurvenpunkt durch das Anlegen und Zeichnen einer Tangente bestimmt werden. Die Tangentensteigung ist durch ihren Differenzenquotienten bestimmbar.

Die grafisch weniger genaue Bestimmung wird durch die Differenzialrechnung zur optimalen Methode. Mit ihr lassen sich Steigungen für jeden Kurvenpunkt auch nicht linearer Funktionsbilder direkt und genau bestimmen, wenn die gegebene Funktion differenzierbar ist. Die Gerade, die durch zwei nahe beieinanderliegende Kurvenpunkte geht, heißt Sekante. Ihre Steigung ist aus dem Differenzenquotienten unter Verwendung der beiden Kurvenpunktkoordinaten bestimmbar. Wandert ein Punkt P entlang des Funktionsgraphen auf einen feststehenden Kurvenpunkt P1 zu, so geht die Sekante beim Erreichen von P1 in die Tangente über.

Die Tangente im Kurvenpunkt P1 wird als Grenzlage verstanden. Die Sekanten durch den festen Punkt P1 und einem weiteren Kurvenpunkt P, der sich P1 nähert, verändern ihre Steigung. Fallen beide Punkte zusammen, dann sind Sekanten- und Tangentensteigung in P1 als Grenzwert gleich. Im folgenden Videoclip wird dieser Übergang nacheinander für vier Kurvenpunkte schrittweise dargestellt. Eine individuelle Steuerung ist nur mithilfe der einblendbaren Controlleiste möglich.

Es ist vorstellbar, dass sich zu einem ausgewählten Kurvenpunkt P1 Sekanten zeichnen lassen, deren zweiter Kurvenpunkt rechts oder links von P1 liegt. Die Steigungen der Sekanten stehen für einen Mittelwert zum gesuchten momentanen Wert der Steigung für die Tangente für P1. Ergeben beide Steigungsfolgen der Sekanten von rechts und links kommend beim Grenzübergang, wo der Differenzenquotient in den Differenzialquotienten übergeht, den gleichen Grenzwert, so ist die betrachtete Funktion an der Stelle P1 differenzierbar.

Die Funktion f(x) ist im Definitionsbereich stetig. Sie ist an jeder Stelle differenzierbar, wenn für jeden Kurvenpunkt der rechts- und linksseitige Grenzwert gleich der Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt ist. Für f(x) existiert eine Ableitungsfunktion f ' (x), die den Wert der Steigung für jeden Kurvenpunkt bestimmt.

Grenzwertbestimmung

Die folgende Darstellung zeigt den Ausschnitt eines Funktionsgraphen. Die Tangentensteigung im Punkt P(xo/yo) wird durch den Übergang vom Differenzen- zum Differenzialquotienten bestimmt. Dazu ist oberhalb von P ein weiterer Punkt Q eingezeichnet, der um den x-Achsenabschnitt Δx entfernt liegt. Mit diesem Wert errechnet sich der Funktionswert zu f(xo + Δx). An der Stelle P ist der Funktionswert f(xo). Durch die Punkte P und Q verläuft die Sekante mit der Steigung Δy/Δx, die sich aus dem Steigungsdreieck ergibt. Nähert sich der Punkt Q dem Punkt P, so wird das mathematisch mithilfe der Grenzwertbildung durch den Limes, wo Δx gegen null strebt, beschrieben.

Für die Steigung der Sekante durch P und Q sowie die Steigung der Tangente im P gelten: \[m = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\quad \quad m = \frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}}\] Wird der Differenzialquotient durch den Limes geschrieben, dann gilt: \[\frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\] Das folgende Beispiel zeigt die Anwendung der Grenzwertbildung für die Funktionsgleichung einer Geraden. Ihre Steigung ist in allen Kurvenpunkten konstant und entspricht somit auch dem Differenzenquotienten. Im Term des Differenzialquotienten kürzt sich Δx heraus, sodass die Grenzwertbildung nicht mehr notwendig wird: \[\begin{array}{l} y = f(x) = 3\,x + 5\\ \frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{3\,({x_0} + \Delta x) + 5 - (3\,{x_0} + 5)}}{{\Delta x}}\\ \frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{3\,{x_0} + 3\,\Delta x + 5 - 3\,{x_0} - 5}}{{\Delta x}}\\ \frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}} = f'({x_0}) = 3 \end{array}\]

Der Rechenweg gilt auch für Funktionen höherer Ordnung. Das folgende Beispiel zeigt die Grenzwertbildung für eine Parabelfunktion, ein Polynom 2. Grades: \[\begin{array}{l} y = f(x) = 2\,{x^2} - 3\,x + 2\\ \frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\\ \frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\,{{({x_0} + \Delta x)}^2} - 3\,({x_0} + \Delta x) + 2 - (2\,x_0^2 - 3\,{x_0} + 2)}}{{\Delta x}}\\ \frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\,x_0^2 + 4\,{x_0}\Delta x + 2\,\Delta {x^2} - 3\,{x_0} - 3\,\Delta x + 2 - 2\,x_0^2 + 3\,{x_0} - 2}}{{\Delta x}}\\ \frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{4\,{x_0}\Delta x + 2\,\Delta {x^2} - 3\,\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 4\,{x_0} + 2\,\Delta x - 3\\ \frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}} = f'({x_0}) = 4\,{x_0} - 3 \end{array}\]

Im Videoclip ist der im 1. Quadranten verlaufende Ast der Hyperbel mit der Funktionsgleichung f(x) = 10/x dargestellt. Die Ableitfunktion für diese Stammfunktion kann ebenso ermittelt werden wie in den vorangegangenen Beispielen. Ein Vergleich mit den im Video ermittelten Tangentensteigungen und den mit der folgenden Ableitgleichung errechenbaren Werten für den ausgewählten Punkt zeigt die Richtigkeit des Verfahrens: \[\begin{array}{l} y = f(x) = \frac{{10}}{x}\\ \frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}\\ \frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\frac{{10}}{{{x_0} + \Delta x}} - \frac{{10}}{{{x_0}}}}}{{\Delta x}} = \frac{{10\,{x_0} - 10\,\,({x_0} + \Delta x)}}{{{x_0}\,({x_0} + \Delta x)}} \cdot \frac{1}{{\Delta x}}\\ \frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - 10\Delta x}}{{(x_0^2 + {x_0}\,\Delta x)\,\Delta x}}\\ \frac{{dy}}{{dx}}{|_{x = {x_o}}} = f'({x_0}) = - \frac{{10}}{{x_0^2}} \end{array}\]

Die Steigungsfunktion mithilfe der Grenzwertbildung zu berechnen ist umständlich, denn ein Vergleich zwischen der Polynomfunktion mit ihrer Ableitfunktion ist eine Bildungsregel zu erkennen. Für die gegebene Funktion wird der Exponent der Variablen als Faktor vor die Variable geschrieben und der Exponent um 1 erniedrigt. Da jede Konstante formal mit \({x^0} = 1\) multipliziert werden kann, ist das Ergebnis der Ableitung einer Konstante gleich null. Beispielhaft wird das für die quadratische Funktion gezeigt: \[\begin{array}{*{20}{l}} {f(x) = 2{\mkern 1mu} {x^2} - 3{\mkern 1mu} x + 2 = 2{\mkern 1mu} {x^2} - 3{\mkern 1mu} x + 2 \cdot {x^0}}\\ {f'(x) = 2{\mkern 1mu} \cdot 2{x^{2 - 1}} - 1 \cdot 3{\mkern 1mu} {x^{1 - 1}} + 0 \cdot 2{x^{0 - 1}} = 4{\mkern 1mu} x - 3{x^0} + 0}\\ {f'(x) = 4{\mkern 1mu} x - 3} \end{array}\] Für die 1. Ableitung gilt allgemein: \[f(x) = y = a\,{x^n}\quad \Rightarrow \quad f'(x) = y' = n\,a\,{x^{n - 1}}\]

Mit der Ableitungsfunktion kann an jeder Stelle x aus dem Definitionsbereich eines differenzierbaren Funktionsintervalls der Wert der Tangentensteigung für den Funktionswert ermittelt werden. Der Differenzialoperator d/dx angewendet auf die Ausgangsfunktion f(x) ergibt als 1. Ableitung der Ausgangsfunktion ihre Steigungsfunktion f'(x) = y'. Sollen zeitabhängige Funktionen in der Physik nach der Zeit als Variable abgeleitet werden, so wird die abgeleitete Größe sehr oft mit einem darüberstehenden Punkt und nicht wie in der Mathematik mit einem ' (Hochkomma) geschrieben.

Höhere Ableitungen

Hat die 1. Ableitung noch Potenzen von x (als Variable) größer null, so kann der Differenzialoperator erneut angewendet werden. Das Ergebnis ist die 2. Ableitung und somit die Steigungsfunktion der 1. Ableitung. Dieser Prozess kann wiederholt werden, solange in der höheren Ableitung die abzuleitende Variable noch enthalten ist. Durch mehrfaches Ableiten können die Eigenschaften von Funktionen höheren Grades eindeutig beschrieben werden. \[\begin{array}{l} 1.\,Ableitung\quad y' = f'(x) = \frac{{d\,y}}{{dx}} = \frac{d}{{dx}}[f(x)]\\ 2.\,Ableitung\quad y'' = f''(x) = \frac{{{d^2}y}}{{d{x^2}}} = \frac{d}{{dx}}[f'(x)]\\ 3.\,Ableitung\quad y''' = f'''(x) = \frac{{{d^3}y}}{{d{x^3}}} = \frac{d}{{dx}}[f''(x)] \end{array}\]

Ableitungsregeln

Faktor- und Potenzregel

Die Faktorregel besagt, dass beim Differenzieren der konstante Faktor einer Variablen unverändert erhalten bleibt. Ein von der Variablen unabhängiger konstanter Wert wird beim Differenzieren zu null: \[y = f(x) = a \cdot g(x) + b\quad \Rightarrow \quad y' = f'(x) = a \cdot g'(x)\] Die Potenzregel besagt, dass der Exponent der Variablen als Faktor vor die Variable geschrieben wird. Der neue Exponent der Variable wird um 1 verkleinert. \[y = f(x) = a \cdot {x^n} + b\quad \Rightarrow \quad y' = f'(x) = n \cdot a \cdot {x^{n - 1}}\] \[\begin{array}{l} y = f(x) = \sqrt {5\,x} = \sqrt 5 \cdot \,{x^{\frac{1}{2}}}\quad \Rightarrow \\ y' = f'(x) = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \cdot {x^{\frac{1}{2}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} \cdot \frac{1}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt 5 }}{{2\,\sqrt x }} \end{array}\]

Summen- und Differenzregel

Ist die gegebene Funktion eine endliche Summe oder Differenz von Teilfunktionen, so wird jedes Glied nach der Faktor- und Potenzregel einzeln differenziert. Diese Methode findet ihre Anwendung bei Polynomfunktionen. Sie können als Linearkombination einzelner Funktionen mit der gleichen Variablen verstanden werden. \[\begin{array}{l} y = f(x) = g(x) \pm h(x) \pm \ldots \pm u(x)\\ y' = f'(x) = g'(x) \pm h'(x) \pm \ldots \pm u'(x) \end{array}\] Dazu ein einfaches Beispiel: \[\begin{array}{l} y = f(x) = a\,{x^3} + b\,{x^2} - \frac{c}{x} = a\,{x^3} + b\,{x^2} - c\,{x^{ - 1}}\\ y' = f'(x) = 3\,a\,{x^2} + 2\,b\,x - ( - 1)\,c\,{x^{ - 2}}\\ y' = f'(x) = 3\,a\,{x^2} + 2\,b\,x + \frac{c}{{{x^2}}} \end{array}\]

Produktregel

Diese Regel ist anzuwenden, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert sind. Ein fast selbsterklärendes Beispiel ist die Multiplikation zweier unterschiedlicher Potenzen für dieselbe Variable x. Hier kann vor der Ableitung das Potenzgesetz angewendet werden, indem die Exponenten addiert werden. Die Ergebnisfunktion kann dann einfach nach der Potenzregel abgeleitet werden: \[\begin{array}{l} y = f(x) = a\,{x^n} \cdot b\,{x^m}\quad \Rightarrow \quad y = f(x) = a\,b\,{x^{n + m}}\\ y' = f'(x) = a\,b\,(n + m)\,{x^{n + m - 1}}\quad \end{array}\] Mit einem Zahlenbeispiel: \[y = f(x) = 5{x^3} \cdot 2{x^2} = 10\,{x^5}\quad \Rightarrow \quad y' = f'(x) = 50\,{x^4}\] Die eigentliche Produktregel wird zur Ableitung einer Funktion verwendet, bei der nicht zusammenfassbare aber differenzierbare Teilfunktionen multipliziert sind. Die Ableitung ist die Summe aus der abgeleiteten ersten Teilfunktion multipliziert mit der zweiten nicht abgeleiteten Teilfunktion und der abgeleiteten zweiten Teilfunktion mit der ersten nicht abgeleiteten Teilfunktion: \[\begin{array}{l} y = f(x) = u(x) \cdot v(x)\\ y' = f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + v'(x) \cdot u(x) \end{array}\] Wird nach dieser Methode das vorige Beispiel abgeleitet, so sind beide Ergebnisse gleich: \[\begin{array}{l} y = f(x) = 5\,{x^3} \cdot 2\,{x^2}\quad \quad u(x) = 5\,{x^3}\quad v(x) = 2\,{x^2}\\ y' = f'(x) = u' \cdot v + v' \cdot u = 15\,{x^2} \cdot 2\,{x^2} + 4\,x \cdot 5\,{x^3}\\ y' = f'(x) = 30\,{x^4} + 20\,{x^4} = 50\,{x^4} \end{array}\] Die Produktregel angewendet auf ein Beispiel nicht zusammenfassbarer Funktionen: \[\begin{array}{l} y = f(x) = a\,{x^n} \cdot b\,\sin (x)\quad \quad u(x) = a\,{x^n}\quad v(x) = b\,\sin (x)\\ y' = f'(x) = n\,a\,{x^{n - 1}} \cdot b\,\sin (x) + b\,\cos (x) \cdot a\,{x^n}\\ \end{array}\] Die Produktregel allgemein angewendet auf drei Faktorfunktionen: \[y = f(x) = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)\] \[y' = u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + v'(x) \cdot u(x) \cdot w(x) + w'(x) \cdot u(x) \cdot v(x)\]

Quotientenregel

Die Quotientenregel ist anzuwenden, wenn eine gebrochen rationale Funktion abgeleitet werden soll, bei der die Variable im Zähler und Nenner in nicht zusammenfassbaren Teilfunktionen vorkommt: \[y = f(x) = \frac{{u(x)}}{{v(x)}}\quad \quad v(x) \ne 0\] \[y' = f'(x) = \frac{{u'(x) \cdot v(x) - v'(x) \cdot u(x)}}{{{{[v(x)]}^2}}}\] Dazu ein Beispiel: \[y = f(x) = \frac{{2\,{x^2} - 3\,x}}{{\sin (x)}}\quad \quad u = 2\,{x^2} - 3\,x\quad v = \sin (x)\] \[y' = f'(x) = \frac{{(4x - 3) \cdot \,\sin (x) - (2\,{x^2} - 3\,x) \cdot \cos (x)}}{{{{\sin }^2}(x)}}\]

Kettenregel

Die gegebene Funktion ist nicht elementar differenzierbar und stellt die Funktion einer anderen Funktion dar. Es handelt sich um miteinander verkettete Funktionen \(y = f(x) = F(u(x))\). Die gegebene Ausgangsfunktion wird durch eine Substitution \(u = u(x)\) in eine von u abhängige elementare Funktion \(F(u)\) umgewandelt. Die Substitution \(u(x)\) wird als innere Funktion und die damit gebildete Funktion \(F(u)\) als äußere Funktion bezeichnet. Beide Funktionen müssen nach ihrer unabhängigen Variablen differenzierbar sein. Die gesuchte Ableitfunktion ist die Multiplikation der äußeren und inneren Ableitung mit anschließender Rücksubstitution von u. \[\begin{array}{l} y = f(x) = F(u(x))\\ y' = f'(x) = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}} = F'(u) \cdot u'(x) \end{array}\] Die folgende Funktion kann natürlich auch auf anderem Weg abgleitet werden, ist aber für die Kettenregel sehr einfach nachvollziehbar. Wird die gegebene Funktion mithilfe des Binomischen Lehrsatzes nicht aufgelöst, dann ist eine direkte Ableitung nicht möglich. Der Klammerausdruck wird substituiert und ist die innere Funktion. Es entsteht die neue direkt ableitbare äußere Funktion F(u). Sie und die innere Funktion werden nach der Kettenregel differenziert: \[\begin{array}{l} y = f(x) = {({x^2} + 2\,x)^2}\quad \quad u = u(x) = {x^2} + 2\,x\\ y = F(u) = {u^2}\quad \Rightarrow \quad y' = \frac{{dy}}{{du}} = 2\,u \end{array}\] Die Substitution wird rückersetzt und das Ergebnis zur gesuchten Ableitung der Ausgangsfunktion nach x ausgerechnet: \[\begin{array}{l} y' = 2\,({x^2} + 2\,x) \cdot (2x + 2) = 2\,(2{x^3} + 2{x^2} + 4{x^2} + 4x)\\ y' = f'(x) = 4\,{x^3} + 12\,{x^2} + 8\,x \end{array}\] Anstelle der Kettenregel wäre auch die Summenregel ein Lösungsweg gewesen, falls wie oben erwähnt die Funktion zuvor aufgelöst worden wäre: \[\begin{array}{l} y = f(x) = {({x^2} + 2\,x)^2} = {x^4} + 4\,{x^3} + 4\,{x^2}\\ y' = f'(x) = 4\,{x^3} + 12\,{x^2} + 8\,x \end{array}\]

Die Kettenregel kann auch auf mehrfach verkettete Ausgangsfunktionen angewendet werden. Im folgenden Beispiel muss eine zweimalige Substitution durchgeführt werden, um elementar differenzierbare Teilfunktionen zu erhalten. Vorangestellt ist das allgemeine Lösungsverfahren: \[\begin{array}{l} y = f(x) = F(v(u(x)))\\ y' = f'(x) = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{dv}} \cdot \frac{{dv}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}} = F'(v) \cdot v'(u) \cdot u'(x) \end{array}\] Angewendet auf das folgende Beispiel. Die Substitutionen erfolgen von innen nach außen: \[\begin{array}{l} y = {\sin ^2}({x^2} + x)\\ u = {x^2} + x\quad \Rightarrow \quad y = {\sin ^2}(u) = {\left( {\sin (u)} \right)^2}\\ v = \sin (u)\quad \Rightarrow \quad y = {v^2} \end{array}\] Es werden die Ableitungen gebildet: \[\frac{{dy}}{{dv}} = 2\,v\quad \quad \frac{{dv}}{{du}} = \cos (u)\quad \quad \frac{{du}}{{dx}} = 2x + 1\] Rücksubstituieren und wenn möglich vereinfachen: \[\begin{array}{l} y' = \frac{{dy}}{{dx}} = 2\,\sin (u) \cdot \cos ({x^2} + x) \cdot (2x + 1)\\ y' = \frac{{dy}}{{dx}} = 2\sin ({x^2} + x) \cdot \cos ({x^2} + x) \cdot (2\,x + 1)\\ y' = \frac{{dy}}{{dx}} = (4\,x + 2) \cdot \sin ({x^2} + x) \cdot \cos ({x^2} + x) \end{array}\]

Ableiten von elementaren Exponentialfunktionen

Bei der einfachen e-Funktion \(y = f(x) = {e^x}\) steht die Variable als Exponent zur Basis e = 2,71828..., der Eulerschen Zahl. Diese Exponentialfunktion ist eine elementare Funktion, deren erste Ableitung ebenso lautet: \[y = f(x) = {e^x}\quad \quad y' = f'(x) = {e^x}\] Ist auch der Exponent eine Funktion von x, dann erfolgt die Ableitung nach der Kettenregel oder einfacher gesagt, die e-Funktion bleibt erhalten und wird mit der (inneren) Ableitung des Exponenten multipliziert: \[y = f(x) = {e^{({x^2} + 2x)}}\quad \quad y' = f'(x) = (2x + 2) \cdot {e^{({x^2} + 2x)}}\] Ist die e-Funktion mit einer anderen Funktion der gleichen Variablen (im Beispiel ist es die Zeit t) multipliziert, dann werden die Produktregel und Kettenregel angewendet: \[\begin{array}{l} y = f(t) = 5\,t \cdot {e^{ - k\,t}}\quad \Rightarrow \quad y = f(t) = u(t) \cdot v(t)\\ y' = f'(x) = u'(t) \cdot v + v'(t) \cdot u\\ y' = f'(x) = 5 \cdot {e^{ - k\,t}} - k \cdot {e^{ - k\,t}} \cdot 5\,t\\ y' = f'(x) = 5\,(1 - k\,t)\,{e^{ - k\,t}} \end{array}\] Hat die elementare Exponentialfunktion eine andere Basis, so gilt: \[y = f(x) = {a^x}\quad \quad y' = f'(x) = {a^x} \cdot \ln (a)\]

Ableiten von ln-Funktionen

Für die 1. Ableitung der einfachen elementaren Funktion des natürlichen Logarithmus (der Logarithmus zur Basis 2) gilt: \[\begin{array}{l} y = f(x) = \ln (x)\quad \quad y' = f'(x) = \frac{1}{x}\\ y = f(x) = a \cdot \ln (x)\quad \quad y' = f'(x) = \frac{a}{x} \end{array}\] Hat die Logarithmusfunktion eine andere Basis, so wird zusätzlich durch den natürlichen Logarithmus der anderen Basis dividiert: \[\begin{array}{l} y = f(x) = {\log _a}(x)\quad \quad y' = f'(x) = \frac{1}{{\ln (a) \cdot x}}\\ y = f(x) = c \cdot {\log _a}(x)\quad \quad y' = f'(x) = \frac{c}{{\ln (a) \cdot x}} \end{array}\] Steht im Klammerausdruck des Logarithmus eine Funktion der Variablen, so muss wie bei der e-Funktion noch mit der inneren Ableitung der Funktion multipliziert werden. Die Ableitung erfolgt somit nach der Kettenregel: \[\begin{array}{l} y = f(x) = a \cdot \ln (b \cdot x)\quad \Rightarrow \quad u = b \cdot x\\ y = f(x) = a \cdot \ln (u)\quad \Rightarrow \quad y' = f'(x) = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}}\\ y' = f'(x) = \frac{a}{u} \cdot b = \frac{a}{{b \cdot x}} \cdot b\quad \Rightarrow \quad y' = f'(x) = \frac{a}{x} \end{array}\] Dazu ein weiteres Beispiel: \[y = f(x) = \ln ({x^2} - 2\,x + 5)\quad \Rightarrow \quad u = {x^2} - 2\,x + 5\] \[y' = f'(x) = \frac{{dy}}{{du}} \cdot \frac{{du}}{{dx}} = \frac{1}{{{x^2} - 2\,x + 5}} \cdot (2\,x - 2)\]