Der Kondensator an Gleichspannung

Die einfachste Form eines Kondensators sind zwei parallel angeordnete, elektrisch isolierte Metallplatten. Diese beiden Elektroden sind im ungeladenen Zustand elektrisch neutral. An einer Gleichspannungsquelle angeschlossen erhalten die Elektroden eine unterschiedliche Ladungsverteilung. Die eine Elektrode wird zum positiven Pol und hat durch den Elektronenmangel ein positives Potenzial. Die Gegenelektrode wird zum negativen Pol und hat durch den Elektronenüberschuss ein negatives Potenzial. Die Differenz zwischen beiden Potenzialen entspricht der Gleichspannung DC-Quelle.

Ist ein Kondensator mit einer DC-Quelle verbunden, so lädt er sich auf. Zwischen den Platten bildet sich ein elektrisches Feld. Nach dem Entfernen der Spannungsquelle bleibt ohne leitende Verbindung das elektrische Feld des Kondensators bestehen. Mit einem hochohmigen Spannungsmessgerät kann parallel zum Kondensator eine Spannung gemessen werden. Die im Kondensator gespeicherte elektrische Energie kann bei Bedarf abgegeben werden.

Modellvorstellungen bei der Aufladung eines Kondensators

Gleichnamige negative oder positive Ladungen stoßen sich ab während sich ungleichnamige, positive und negative Ladungen anziehen. Beim Anschluss an die DC-Quelle beginnt die Aufladung. Die Elektrode, die im Vergleich zur DC-Quelle anfangs eine geringere negative Ladung hat, nimmt Elektronen auf. Die Elektronen in der Gegenplatte werden durch gleiche elektrische Ladungen in Richtung des positiven Pols der Spannungsquelle abgestoßen. Dieser Vorgang im Innenraum der Kondensatorplatte wird als Influenz (Beeinflussung) bezeichnet.

Eine im E-Feld vorhandene elektrische Ladung erfährt eine Kraft. Es gilt der folgende mathematische Zusammenhang: \[{\overrightarrow F _{el}} = \overrightarrow E \cdot Q\quad \quad \overrightarrow E = \frac{{{{\overrightarrow F }_{el}}}}{Q}\] Die Feldstärke ist der Quotient der elektrischen Kraft Fel dividiert durch die Ladung Q. Die Einheit der Kraft ist Newton (N) und für die Ladung Q ist es Coulomb (C = A·s). Wird der Bruch mit der Längeneinheit (m) erweitert, dann steht im Zähler die Einheit der Energie bzw. Arbeit in Joule (J = W·s): \[\frac{N}{C} = \frac{N}{{A\,s\,}} \cdot \frac{m}{m} = \frac{J}{{A\,s\,m}} = \frac{{W\,s}}{{A\,s\,m}}\] Die elektrische Leistung (W) kann durch Spannung U in (V) und Strom in (A) ersetzt werden. Nach dem Kürzen bleibt die Benennung für das statische elektrische Feld: \[\frac{{W\,s}}{{A\,s\,m}} = \frac{{V\,A\,s}}{{A\,s\,m}} = \frac{V}{m}\]

Die negativen Ladungen wandern zum positiven Pol der Quelle, während die positiven Kernladungen in den Platten ortsfest bleiben. Die Anzahl der positiven Kernladungen bleibt konstant, während die negativen Ladungen in der einen Elektrode zunehmen und in der anderen abnehmen. Der Kondensator ist vollständig aufgeladen, wenn der Potenzialunterschied zwischen den beiden Platten und der Spannungsquelle ausgeglichen ist. Bis zu diesem Zeitpunkt kann in den Verbindungsleitungen ein elektrischer Strom gemessen werden. Die folgende Abbildung eines Influenzversuchs im elektrostatischen Feld zeigt, wie Ladungen durch Influenz verschoben werden.

Elektrisches Feld und Flussdichte

Zwischen den isolierten Kondensatorelektroden gibt es keinen Ladungsaustausch. Beim elektrisch geladenen Kondensator kann zwischen den parallelen Platten ein nahezu homogenes elektrisches Feld (E-Feld) nachgewiesen werden. Wird die Kondensatorladung geändert, so kann durch einen gedachten elektrischen Verschiebungsfluss Ψ (griechischer Großbuchstabe Psi) der äußere Stromfluss anschaulicher erklärt werden.

Der elektrische Verschiebefluss ist keine materielle Transportgröße. Es wird die von einer elektrischen Ladung Q ausgehende Kraftwirkung übertragen. Das im Kondensator durch anfangs freie Ladungen erzeugte E-Feld wird als dielektrische Verschiebung D, meistens als Verschiebestromdichte einer Kondensatorplatte bezeichnet. Die elektrische Erregung oder elektrische Flussdichte D kann als Anzahl der Feldlinien pro Fläche gesehen werden. Es sind vektorielle Größen, die eine Richtung und Stärke haben. Beim parallelen Plattenkondensator zeigen sie in die Richtung der Flächennormalen. Für eine geschlossene Fläche gilt der mathematische Zusammenhang: \[\Psi = \oint\limits_A {\overrightarrow D \;d\overrightarrow A } = Q\quad \Rightarrow \quad |\overrightarrow D | = \frac{\Psi }{A} = \frac{Q}{A}\quad \left[ {\frac{{A\,s}}{{{m^2}}}} \right]\] Elektrische Felder wirken auch materiefrei im Vakuum. In physikalischen Vorlesungen und zugehöriger Fachliteratur ist der elektrische Fluss \(\Phi \) (griechischer Großbuchstab Phi) im Vakuum wie folgt definiert: \[\Phi = \frac{\Psi }{{{\varepsilon _o}}} = \int\limits_A {\overrightarrow E \;d\overrightarrow A } \quad \Rightarrow \quad \overrightarrow D = {\varepsilon _o} \cdot \overrightarrow E \quad \left[ {\frac{{A\,s}}{{V\,m}} \cdot \frac{V}{m} = \frac{{A\,s}}{{{m^2}}}} \right]\] Ausführliche Erklärungen zum statischen elektrischen Feld sind auf einer eigene Titelseite zu lesen.

Speichervermögen eines Kondensators

Mit einer DC-Quelle verbundenen lädt sich ein Kondensator auf. Die aufgenommene Ladung ist direkt proportional zur anliegenden Spannung. Der Proportionalitätsfaktor ist die Speicherfähigkeit auch Kapazität und hat das Formelzeichen C. Die Einheit wird zu Ehren des Physikers M. Farad mit dem Einheitenzeichen F für Farad gekennzeichnet. Mathematisch formuliert gilt: \[Q \propto U\quad \Rightarrow \quad Q = C \cdot U\quad \quad 1\,F = \frac{{1\,A\,s}}{{1\,V}}\] Beim geladenen Kondensator ist das statische E-Feld nur im Innenbereich messbar. Da die Ladungen das E-Feld verursachen, besteht eine direkte Proportionalität zur Ladungsmenge. Das absolute E-Feld ist direkt proportional zur Spannung des geladenen Kondensators. Die nach der Kapazität umgestellte Formel zeigt, dass für eine gegebene Kapazität und einer geringen Spannung eine große Spannung gespeichert werden kann.

Durch Kombination der weiter oben geschriebenen Formeln kann die Kapazität eines Kondensators wie folgt berechnet werden: \[C = \frac{Q}{U} = \frac{{D \cdot A}}{U} = \frac{{{\varepsilon _o} \cdot {\varepsilon _r} \cdot E \cdot A}}{U}\quad mit\quad E = \frac{U}{d}\;\left[ {\frac{V}{m}} \right]\] \[C = \frac{{{\varepsilon _o} \cdot {\varepsilon _r} \cdot U \cdot A}}{{U \cdot d}}\quad \Rightarrow \quad C = \frac{{{\varepsilon _o} \cdot {\varepsilon _r} \cdot A}}{d}\;\left[ {\frac{{As}}{V} = F} \right]\]

Ein Kondensator hat die Kapazität C = 1 F, wenn bei einem Strom von 1 A innerhalb einer Sekunde
parallel zu den Anschlüssen die Spannung um 1 V zunimmt.
Die Kapazität C ist direkt proportional zur Plattengröße A.
Die Kapazität C ist umgekehrt proportional zum Plattenabstand d.
Die Kapazität C ist direkt proportional zur Eigenschaft des Dielektrikums εr.

Historische Kapazitätswerte

In sehr alten Geräten sind Kapazitätswerte der Kondensatoren im nicht mehr gebräuchlichen CGS-System im cm-Maß angegeben. Die Umrechnung erfolgt mit dem Faktor 1,11 pF/cm. Der Zusammenhang, dass 10 pF ≈ 9 cm entsprechen, beruht auf der Kapazität \(C = 4\,\pi \,{\varepsilon _o}\,R\) einer geladenen Kugel, die sich im Zentrum einer gegen unendlich weit entfernten äußeren Kugel befindet. Für konzentrisch angeordnete Kugeln gelten die Gesetze eines inhomogenen elektrischen Felds. Dort nimmt die elektrische Feldstärke E mit dem Quadrat der Entfernung ab. Die mathematische Herleitung der Kapazität eines Kugelkondensators ergibt: \[\overrightarrow E = \overrightarrow E (r) = \frac{Q}{{4\,\pi \,\varepsilon \,{r^2}}}\quad \quad C = \frac{Q}{U}\] \[C = \frac{Q}{U} = \frac{Q}{{\int\limits_{{r_1}}^{{r_2}} {\overrightarrow E (r)\,dr} }} = \frac{Q}{{\frac{Q}{{4\,\pi \,\varepsilon \,}}\int\limits_{{r_1}}^{{r_2}} {\frac{1}{{{r^2}}}dr} }}\] \[C = 4\,\pi \,\varepsilon {\left( {\frac{1}{{{r_2}}} - \frac{1}{{{r_1}}}} \right)^{ - 1}}\] Ist dieser Kugelkondensator auf die Ladung Q aufgeladen, dann ist nur im Innenraum zwischen beiden Kugelflächen eine Spannung U messbar. Sie ist bei konstanter Ladung vom Abstand beider Kugelradien abhängig. Wird der Radius der äußeren Kugel gegen Unendlich vergrößert, dann ist die Kapazität der Innenkugel nur durch ihren Radius bestimmt. Der Kapazitätswert kann mit dem Streckenmaß angegeben werden. \[{r_1} \to \infty \quad \Rightarrow \quad C = 4\,\pi \,\varepsilon \cdot {r_2}\]

Mit dem mittleren Erdradius von 6371 km und der Annahme, dass über die weite Entfernung der äußeren Kugelschale in guter Näherung nur die Vakuum-Feldkonstante εo wirksam ist, errechnet sich die Kapazität der Erde zu rund 700 μF. Wird der Kapazitätswert durch den Radius dividiert, dann ist das Verhältnis gleich dem zuvor angegebenen Umrechnungsfaktor 1,1 pF/cm.

Spannungs- und Feldstärkeänderungen

Ist ein Plattenkondensator auf die Spannung Uo aufgeladen, dann trägt er die Ladungsmenge Qo. Bei Vernachlässigung des inhomogenen Streufeldes an den Plattenrändern ist Eo die Feldstärke zwischen den Platten. Bei anschließend abgetrennter Spannungsquelle und Änderung des Plattenabstands bleibt die Ladungsmenge des Kondensators konstant. Damit die Gleichung erfüllt bleibt, muss sich die Kondensatorspannung um den Betrag der Abstandsänderung ändert. Der Betrag des elektrischen Felds zwischen den Platten bleibt gleich: \[\begin{array}{l} C = \frac{Q}{U}\quad \quad C = {\varepsilon _o}{\varepsilon _r}A \cdot \frac{1}{d}\\ Q = const \cdot \frac{1}{d} \cdot U\\ Q = const\quad d \nearrow \Rightarrow U \nearrow \quad d \swarrow \Rightarrow U \swarrow \\ |\overrightarrow E | = \frac{U}{d} = const \end{array}\]

Eigenschaften des Dielektrikums

In der Formel zur Kapazität gibt es den Faktor ε = εo·εr. Darin ist εo die dielektrische Leitfähigkeit des Vakuums und wird als elektrische Feldkonstante oder Vakuum-Feldkonstante bezeichnet. Das Vakuum ist eine materialfreie Isolierung und wird vom elektrischen Feld durchdrungen. Es besteht ein Zusammenhang zur magnetischen Feldkonstanten μo und zur Lichtgeschwindigkeit co: \[\begin{array}{l} {\varepsilon _o} = \frac{1}{{{\mu _o}\,c_o^2}}\quad {\mu _o} = \frac{{4\,\pi }}{{{{10}^7}}}\left[ {\frac{H}{m} = \frac{{V\,s}}{{A\,m}}} \right]\quad {c_o} = 2,99792 \cdot {10^8}\left[ {\frac{m}{s}} \right]\\ {\varepsilon _o} = 8,8542 \cdot {10^{ - 12}}\left[ {\frac{F}{m} = \frac{{A\,s}}{{V\,m}}} \right] \end{array}\] Der benennungsfreie Teilfaktor εr ist die Permittivität eines Isolatorwerkstoffs zwischen den Kondensatorelektroden. Diese Materialien, als Dielektrika bezeichnet, werden in unterschiedlicher Stärke vom elektrischen Feld durchdrungen. Die früher übliche Bezeichnung Dielektrizitätskonstante sollte nicht mehr verwendet werden.

Dielektrika gibt es als unpolare und polare Werkstoffe. Bei Atomen und Molekülen unpolarer Werkstoffe können im elektrischen Feld Ladungsträger entsprechend der Feldrichtung etwas verschoben werden, sodass sich kleine Dipolmomente bilden. In polaren Werkstoffen werden die permanent vorhandenen aber statistisch ausgerichteten Dipole durch das E-Feld ausgerichtet. Die Vorgänge werden als dielektrische Polarisation bezeichnet und sind reversibel. Außerhalb eines elektrischen Felds nehmen die Werkstoffe ihren Anfangszustand wieder ein.

Links zeigt die Skizze einen auf U geladenen Kondensator mit Luft oder Vakuum als Dielektrikum. Im Kondensator entsteht ein elektrisches Feld E, das umgekehrt proportional zum Elektrodenabstand und proportional zur Spannung ist. Die Spannungsquelle wird abgetrennt und die Kondensatorladung und seine Spannung bleiben konstant. In diesen Kondensator ist rechts ein polarer Isolator eingefügt. Seine Dipole sind vom E-Feld ausgerichtet und bilden in der Summe ein dem ursprünglichen E-Feld entgegen gerichtetes Dipolfeld Epol. Die am Kondensator messbare Spannung Upol ist kleiner. Die Verhältnisse können mathematisch beschrieben werden: \[\begin{array}{l} U = E \cdot d\quad \quad {U_{pol}} = d \cdot (E - {E_{pol}})\\ Q = const\quad \Rightarrow \quad U > {U_{pol}}\\ U = \frac{Q}{C}\quad \quad {U_{pol}} = \frac{Q}{{{C_{pol}}}}\quad \Rightarrow \quad {C_{pol}} > C \end{array}\] Um die ursprüngliche Ladespannung zu erhalten, muss diesem Kondensator mehr Ladung zugeführt werden. Ein Kondensator mit zusätzlichem Dielektrikum bei sonst unveränderten Parametern hat eine höhere Kapazität. Der Wert der dimensionslose Permittivität εr gibt an, um welchen Faktor die Kapazität des Kondensators im Vergleich zum Vakuum (oder Luft) größer ist. Die folgende Tabelle zeigt für oft verwendete Dielektrika ihre durchschnittlichen εr-Werte.

Unpolare Dielektrika

In den Molekülstrukturen unpolarer Werkstoffe ist die Ladungsverteilung symmetrisch. Es bilden sich keine permanenten Dipole, die ein äußeres elektrisches Feld beeinflussen. Wirken starke elektrische Felder ein, kann es zur Verschiebungspolarisation kommen. Die Permittivität dieser Dielektrika, zu denen Polyethylen (PE), Polystyrol (PS) und Polytetrafluorethylen (PTFE), Teflon gehören, ist mit Werten unter 5 niedrig.

Polare Dielektrika

Die Moleküle polarer Dielektrika haben Ladungsschwerpunkte und bilden permanente Dipole. Sie sind im Molekülverband weitgehend statistisch ungeordnet ausgerichtet. Äußere elektrische Feldkräfte erzeugen eine zur Feldstärke proportionale Orientierungspolarisation. Die Orientierungsarbeit wird vom elektrischen Feld aufgebracht. Die molekularen Dipole folgen dem Feld nicht trägheitslos. Sie werden von den molekularen Bindungskräften, der Dichte und der Temperatur in ihrer Ausrichtung beeinflusst. Nach Ablauf der Relaxationszeit, die zur Ausrichtung aller Dipole notwendig ist, erreicht das Dielektrikum seine maximale Permittivität. Ändert sich das elektrische Feld periodisch, so können sich bei höheren Feldfrequenzen die Dipole nicht schnell genug umorientieren. Die Permittivität des Dielektrikums und die Kapazität des Kondensators nehmen ab.

Polare Dielektrika sind zum Beispiel Papier, Bakelit, ein Isolator aus Phenolharzen und Zellstoffpartikeln, Polyvinylchlorid (PVC), Polyester (PET, PBT), Mylar (BoPET) und Polycarbonat (PC) eine Veresterung mit Kohlensäure. In Tabellenwerken werden die Permittivitäten meist für niedrige Feldfrequenzen angegeben und sind mit εr <10 nicht besonders hoch.

Ferroelektrika

Ferroelektrika sind polare Dielektrika mit permanentem Dipolcharakter. Sie enthalten kein Eisen, nur die Namensgebung orientierte sich an den Eigenschaften ferromagnetischer Werkstoffe. Die Molekulardipole sind in kleineren Bereichen (Domänen) parallel zueinander ausgerichtet. Entlang der Bereichsgrenzen ist eine Ausrichtung durch anliegende elektrische Felder leicht möglich. Es gibt keine linearen Abhängigkeiten der Permittivitätswerte von der Feldstärke, der Temperatur und der Frequenz sich periodisch ändernder Feldstärke.

Bei einer bestimmten Temperatur, der Curie-Temperatur, bricht die Dipolausrichtung zusammen. Nach dem Abkühlen reorganisieren sich die Dipole und stellen den permanenten Dipolcharakter des Werkstoffs wieder her. Basiswerkstoffe sind Barium- und Strontiumtitanat, die zu den HDK-Keramiken zählen. Diese Dielektrika erreichen sehr hohe Permittivitäten mit Werten zwischen 1000 ... 20000.

Temperaturabhängigkeit eines Kondensators

Der Isolationswert des Dielektrikums ist von der Temperatur abhängig und beeinflusst den Kapazitätswert. Der Nennwert der Kapazität gilt normalerweise für δ = 20 °C. Der Hersteller gibt für einen bestimmten Temperaturbereich den Temperaturkoeffizienten TKC in 1/°C an. Der TKC-Wert kann positiv oder negativ sein und steht für eine auf den Nennwert bezogene Kapazitätsänderung bei der Temperaturänderung pro Grad Celsius. \[C(\delta ) = C({\delta _o})\,[1 + {\alpha _c}\,(\delta - {\delta _o})]\quad \quad T{K_C} = {\alpha _c} = \frac{{\Delta C}}{{C({\delta _o}) \cdot \Delta \delta }}\] Gute Werte liegen bei \(T{K_C} \approx 10 \cdot {10^{ - 6}}/^\circ C = 10\,ppm/^\circ C\). Abweichend von dieser Gleichung haben bei HDK-Keramikkondensatoren die Dielektrika mit besonders hoher Permittivität nichtlineare Temperaturabhängigkeiten mit einem Maximum nahe vor der Curie-Temperatur. In den meisten praktischen Anwendungen ist der TKC-Wert von untergeordneter Bedeutung. Wichtig ist seine Beachtung in speziellen Oszillatorschaltungen und Geräten zu Eichzwecken.

Energie des elektrischen Felds eines Kondensators

Ein geladener Kondensator speichert im elektrischen Feld elektrische Energie. Im geschlossenen Stromkreis verrichtet die Feldenergie elektrische Arbeit wobei der Kondensator entladen wird. Während des Vorgangs ändern sich in zeitlicher Abhängigkeit sowohl die Spannung am Kondensator als auch der Strom im Stromkreis. Ausführliche Informationen zur Auf- und Entladung mit mathematischem Hintergrund, Diagramm und Videoclip können im Kapitel Der Kondensator im Gleichstromkreis nachgelesen werden.

Mit den Formeln zur elektrischen Arbeit und den Zeitabhängigkeiten von Spannung und Strom bei der Entladung kann die mathematische Beziehung zur Energie des elektrischen Felds hergeleitet werden: \[\begin{array}{l} W = U \cdot Q = U \cdot I \cdot t\\ {u_c} = \frac{q}{C}\quad \quad {i_c} = \frac{{dq}}{{dt}}\\ dW = {u_c} \cdot {i_c} \cdot dt = \frac{1}{C} \cdot q \cdot dq \end{array}\] Die Integration in den Grenzen von 0 bis Q steht für den Energieinhalt des elektrischen Feldes: \[W = \frac{1}{C}\int\limits_0^Q {q \cdot dq} \quad \Rightarrow \quad W = \frac{1}{{2\,C}}{Q^2} = \frac{1}{2}C\,{U^2}\] Im Vergleich mit chemischen Elementen und Akkumulatoren ist ein Kondensator ein sehr schnell wirkender Energiespeicher mit relativ kurzen Lade- und Entladezeiten. Bevorzugt wird er zur Zwischenspeicherung von Spannungen und in Schaltungen der Informationsverarbeitung eingesetzt.

Zusätzliche Erläuterungen zum Kondensator

Im aktuellen Kapitel wurden die wichtigsten Merkmale am Beispiel des Plattenkondensators erklärt. Es gibt viele andere Bauarten von Kondensatoren. Das Grundprinzip bleibt immer gleich. Zwischen zwei gegeneinander isolierten Elektroden kann elektrische Energie gespeichert und wieder genutzt werden. Kondensatoren werden sowohl in Schaltkreisen mit Gleichstrom als auch mit Wechselstrom verwendet.

Im Gleichstromnetz haben sie ein fast ideales elektrisches Verhalten. Im Wechselstromnetz ist das nicht der Fall. Mit zunehmender Betriebsfrequenz führen sogenannte parasitäre Parameter des Kondensators zu unerwünschten elektrischen Effekten. Jeder reale Kondensator hat durch seine Bauweise bedingt parasitären Parameter. Sie werden im Kapitel Eigenschaften eines realen Kondensators genauer beschrieben.