Der reale Kondensator im Wechselstromkreis

Der Kondensator im Wechselstromkreis

Wird ein ungepolter Kondensator im AC-Wechselstromkreis betrieben, dann werden die Elektrodenbeläge in jeder Periode einmal umgeladen. Während der ersten Halbperiode wird ein entladener Kondensator von null bis zum positiven Spitzenwert der Wechselspannung aufgeladen und wieder bis zum Anfangswert entladen. In der folgenden Halbperiode wird er umgekehrt auf die negative Spitzenspannung aufgeladen und bis zum Periodenende entladen.

Im Idealfall pendelt die Energie im Kondensator ohne Verluste hin und her. Im AC-Stromkreis können die zeitabhängigen Spannungs- und Stromwerte gemessen werden. Nach dem Ohm'schen Gesetz kann ein von der Frequenz f oder der Kreisfrequenz ω abhängiger Widerstandswert errechnet werden. Im Bereich einer Periode wird weder Wirkarbeit noch Wirkleistung umgesetzt. Der idealisierte Wechselstromwiderstand ist ein sogenannter Blindwiderstand XC. Im Kapitel zum kapazitiven Blindwiderstand gibt es einen mathematisch ausführlichen Zusammenhang: \[{X_c} = \frac{1}{{2\,\pi \,f\,C}} = \frac{1}{{\omega \,C}}\]

Eigenschaften des realen Kondensators

Im Gymnasium und der handwerklichen Berufsschule werden zur Funktionsbeschreibung elektronischer Schaltungen oft nur die Haupteigenschaften der einzelnen Bauteile und ihr Zusammenwirken betrachtet. Beim ideal angenommenen Kondensator ist es seine Kapazität und der Strom eilt um genau 90° der Spannung voraus. In erweiterten, spezielleren Anwendungen zeigt es sich, dass von den aktuellen Versuchsbedigungen zum Teil störende Eigenschaften in Erscheinung treten. Es gibt keine idealen Bauteile. Die Idealisierung ist eine der Situation angepasste vereinfachte Darstellung.

Die Anschlussdrähte eines Kondensators und die Kontaktstellen zu den Elektroden haben die Eigenschaft kleiner Wirkwiderstände. Bei ausreichend hohen Frequenzen wirken die Anschlussdrähte und die inneren Elektrodenflächen eines Kondensators mit zusätzlichen induktiven Eigenschaften. Im Frequenzbereich unter 30 MHz kann diese Induktivität vernachlässigt werden. Mit zunehmend höherer Betriebsfrequenz kann besonders bei Folien- und Rollkondensatoren sowie bei allen Alu-Elektrolytkondensatoren diese induktive Komponente das Verhalten der Schaltung negativ beeinflussen. Diese Induktivität ist oft kleiner 50 nH und wird als äquivalente Serieninduktivität, ESL (equivalent series inductivity) bezeichnet. In vielen Datenblättern sind keine direkten Werte zu finden. Die kapazitiven und induktiven Eigenschaften wirken zueinander entgegengesetzt. Bei sehr hohen Frequenzen kann es zur Reihenresonanz kommen und darüber hinaus überwiegt die induktive Komponente.

Im AC-Betrieb werden nicht nur die Elektroden periodisch umgeladen sondern im Dielektrikum müssen auch vorhandene Dipole dem elektrischen Wechselfeld folgen. Im molekularen Bereich wird Arbeit verrichtet und mit zunehmender Betriebsfrequenz erwärmen sich die Kondensatoren messbar. Die freigesetzte Wärmeenergie wird einem Wirkwiderstand zugerechnet, der mit dem Kondensator eine Reihenschaltung bildet. Dieser Widerstandswert erfasst auch die Anschluss- und Drahtwiderstände. In Datenblättern wird ein äquivalenter Serienwiderstand ESR (equivalent series resistance) angegeben.

Ein geladener Kondensator verliert außerhalb der Schaltung mit der Zeit seine Ladung. Das Dielektrikum ist extrem hochohmig aber kein idealer Isolator. Abhängig vom verwendeten Material verbleibt eine mehr oder weniger geringe Restleitfähigkeit, über die sich die Ladung langsam ausgleicht. Im Ersatzschaltbild ist der Isolationswiderstand Riso des Dielektrikums als Wirkwiderstand parallel zur Kapazität geschaltet. Mit zunehmender Frequenz verliert der Parallelstrom seinen Einfluss, da in der Parallelschaltung der kleinere Wert des Blindwiderstands des Kondensators zur bestimmenden Größe wird.

Beim Elektrolytkondensator fließt ein dauerhaft sehr kleiner Reststrom und wird vom äquivalenten Parallelwiderstand Rleak bestimmt. Sein Widerstandswert ist kleiner als der parallel liegende Rp. Nach Herstellerangaben sind konstante Restströme einiger Microampere (μA) möglich. Dieser geringe Strom formiert das wenige Molekülschichten dicke Dielektrikum aus Aluminium- oder Tantaloxid, sodass der Elektrolytkondensator funktionsfähig bleibt. Je länger ein Elektrolytkondensator an Gleichspannung angeschlossen bleibt, desto größer wird dieser Widerstandswert und der anfangs einige 100 μA hohe Reststrom nimmt deutlich messbar ab.

Das Ersatzschaltbild des realen Kondensators entspricht einem RCL-Reihenschwingkreis. Bei einer bestimmten Frequenz haben die beiden Blindkomponenten XC und XESL den gleichen Wert. Im Amplituden-Frequenzdiagramm muss ein Minimum auftreten und bei dieser Frequenz wirkt der Kondensator nur noch als Ohm'scher Widerstand. Im praktischen Laborbetrieb konnte ich im Gegensatz zur realen Spule keine Resonanzstelle erkennen. Es standen auch nur Messfrequenzen bis 10 MHz zur Verfügung.

Isolationswiderstand

Zwischen den Metallbelägen eines Kondensators befindet sich ein isolierendes Dielektrikum. Isolatoren haben mit ihrem endlichen Isolationswiderstand keine idealen Eigenschaften. Der Isolationswiderstand hat oft nichtlineare Eigenschaften und ist von der Temperatur und der Betriebsfrequenz abhängig. Der Widerstandswert wird in guter Näherung von der Fläche und der Dicke des Dielektrikums bestimmt und ist proportional zum Verhältnis von Dicke zur Fläche: Riso ∝ d / A. Die Kapazität C des Kondensators ist proportional zum Verhältnis Fläche zur Dicke. Der Isolationswiderstand entspricht dem Gleichstromwiderstand und wird bei Film- und Keramikkondensatoren für die Bezugstemperatur 20 °C fast immer in MΩ · μF  angegeben.

Der Isolationswiderstand bestimmt die Güte des Isoliermaterials. Beim Koaxialkabel ist es das Dielektrikum, das sich zwischen dem Leiter und dem leitenden Schirm befindet. Die genormte Isolationsmessung erfolgt nach IEC 60204–1. Die Werte sind für definierte Spannungsbereiche unterschiedlich und sollten ≥1 GΩ sein. Der Isolationswiderstand für Kabel wird in der Einheit MΩ · km oder GΩ · km angegeben. Der Wert ist zusätzlich von der Temperatur abhängig.

Viele Hersteller geben den Widerstand in Ohm an. Sie definieren den Isolationswert s mithilfe der Zeitkonstante (tau) als \(\tau = R \cdot C\). So können Kondensatoren unterschiedlicher Kapazitätswerte einfacher miteinander verglichen werden. Mit steigender Temperatur nimmt der Isolationswert ab. Dazu können folgende mathematische Zusammenhänge gefunden werden: \[{U_c} = {U_o} \cdot {e^{ - \frac{t}{\tau }}}\;\;\, \Rightarrow \;\;\,\ln \frac{{{U_c}}}{{{U_o}}} = - \frac{t}{{R{\mkern 1mu} C}}\] \[R{\mkern 1mu} \cdot C = \tau = s = - \frac{t}{{\ln \frac{{{U_c}}}{{{U_o}}}}}\;\left[ {M\Omega \cdot \mu F} \right]\]

Bei der experimentellen Bestimmung des Isolationswertes wird der Kondensator auf seinen Nennspannungswert aufgeladen. Er bleibt dann mit offenen Anschlüssen eine bestimmte Zeit t liegen. Nach dieser Zeit wird mit einem Spannungsmessgerät (Ri > 10 MΩ) die noch im Kondensator gespeicherte Ladung als Restspannung gemessen. Aus dieser Messung können der Isolationswert und der Isolationswiderstand errechnet werden.

Im Labor wurde ein älterer 10 μF Elektrolytkondensator auf seine Nennspannung Uo = 63 V aufgeladen. Nach der Wartezeit von t = 30 min betrug die Restspannung Uc = 30 V. Der Isolationswert errechnet sich zu s = τ = 2426 s, das entspricht einem Isolationswiderstand von fast Riso = 243 MΩ.

Für einen anderen im Labor vorhandenen Kondensator war der vom Hersteller im Datenblatt angegebene Isolationswert bekannt. Der Kondensator wurde auf seine Nennspannungs geladen und von der DC-Quelle getrennt. Nach Ablauf einer Zeitkonstante wurde die Restspannung gemessen. Der Wert lag über 37% der Ladespannung, folglich wurde der vom Hersteller angegebene Isolationswert eingehalten.

Der Verlustfaktor und die Güte

Kondensatoren im Wechselstromkreis werden periodisch umgeladen und die elektrischen Feldkräfte wirken auch auf das Dielektrikum. Die Elektronenhüllen der Festkörpermoleküle werden deformiert und sollten sie Dipolstrukturen ausbilden oder Dipolcharakter haben, so werden sie der Feldrichtung entsprechend umorientiert. Die Orientierungsarbeit im Dielektrikum wird zum Teil in Wärme umgewandelt. Mit zunehmender Frequenz nimmt die Wärmeentwicklung solange zu, bis die Molekulardipole der Erregerfrequenz nicht mehr folgen können. Die Permittivität (der relative Dielektrivitätswert) des Dielektrikums ist von der Betriebsfrequwenz abhängig.

Die dem Kondensator zugeführte elektrische Arbeit teilt sich in zwei Komponenten auf. Ein Teil erzeugt das E-Feld der ideal angenommenen Kapazität. Der zweite Teil wird in Wärme umgesetzt und einem zur Kapazität C parallel liegenden ohmschen Widerstand RP zugewiesen. Er ist weder mit einem Ohmmeter messbar noch identisch mit dem Isolationswiderstand des Dielektrikums. Das folgende Bild zeigt dazu eine einfache Ersatzschaltung und das Zeigerdiagramm. Im Zeigerdiagramm einer Parallelschaltung ist die anliegende Spannung die Bezugsgröße. Der kapazitive Blindstrom ix hat einen positiven 90° Phasenwinkel und der Wirkstrom iRp liegt zur Spannung in Phase.

Das folgende Diagramm (Quelle: Betz, Huber, Grundkenntnisse Elektrotechnik – Energietechnik / Nachrichtentechnik 1980) zeigt für verschiedene Kondensatortypen die Abhängigkeit des Verlustfaktors, dem Tangens des Verlustwinkels = tan(δ) von der Betriebsfrequenz. In vielen Datenblättern wird der Verlustfaktor für eine festgelegte Messfrequenzen, beispielsweise 800 Hz oder 1 MHz angegeben. Bei höheren Frequenzen können die Molekularstrukturen dem einwirkenden Wechselfeld weniger schnell folgen. Die verzögerte Umorientierung vergrößert den Verlustwinkel δ.

Beim realen Kondensator ist der messbare Schaltungsstrom bedingt durch den parallelen Wirkwiderstand zum idealen Blindwiderstand höher. Der Rp-Wert kann auch im Wechselstromkreis in seinen äquivalenten Reihenwiderstand umgerechnet werden. Der große Wert eines Parallelwiderstands hat als Serienwiderstand einen kleinen Wert und wird zu den kleinen Wirkwiderständen der Kontaktierungen und Anschlussdrähte des Kondensators addiert. Die Widerstandssumme wird als Ohm'scher Ersatzreihenwiderstand ESR (Equivalent Series Resistor) bezeichnet. Bei Kondensatoren mit aufgerollten Elektroden kommt zusätzlich eine induktive Komponente hinzu. Zu diesem Wert wird der induktive Anteil der Anschlussdrähte addiert und wird als ESL-Blindwiderstand (Equivalent Series L, L für Induktivität) bezeichnet.

Die derzeit übliche Bestimmung des Verlustfaktors d oder DF (Dissipation Factor) geht von der Reihenersatzschaltung des realen Kondensators mit seinen Verlustkomponenten aus. Für eine Reihenschaltung kann mit dem Strom als Bezugsgröße das Zeigerdiagramm der Spannungen erstellt werden. Der Tangens des Verlustwinkels δ ist das Verhältnis des Serienwiderstands zum Differenzwert beider Blindwiderstände XC − ESL. Der Gütefaktor Q ist der Kehrwert des Verlustfaktors d.

Die Spannungen sind proportional zu den Widerstandswerten. Es gelten die mathematischen Abhängigkeiten: \[\tan (\delta ) = \frac{{{u_{ESR}}}}{{{u_c} - {u_{ESL}}}} = \frac{{ESR}}{{{X_c} - ESL}}\] \[{X_c} \gg ESL\quad \Rightarrow \quad \tan (\delta ) \approx \frac{{{R_{ESR}}}}{{{X_c}}} = {R_{ESR}} \cdot \omega \,C\] \[d = \tan (\delta )\quad \quad Q = \frac{1}{d}\] Je kleiner der ESR-Wert ist, desto kleiner werden der Verlustwinkel und der Verlustfaktor. Die Phasenverschiebung von Spannung und Strom strebt dann gegen φ = 90° und der Kondensator hat ein nahezu ideales Verhalten. Viele Hersteller geben in den Datenblättern den Verlustfaktor tan(δ) an. ESR-Werte sind seltener zu finden, können aber aus den frequenzabhängigen Verlustfaktoren und der Kapazität berechnet werden. Übliche Messfrequenzen sind 1 kHz, 10 kHz, 100 kHz und 1 MHz. Direkt angegebene ESL-Werte sind fast nie zu finden. In ausführlichen Datenblättern sind oft Messkurven für einen Frequenzbereich oberhalb 10 MHz zu finden, aus denen ESL- und ESR-Werte abgelesen werden können.

In diesem Webprojekt sind auf der Seite Typübersicht bei Kondensatoren tabellarisch einige Werte aufgeführt. Für Al-Elektrolytkondensatoren ist die Messfrequenz mit 120 Hz recht niedrig. Die Verlustfaktoren haben Werte zwischen 0,2 bis 0,07. Für Tantal Elektrolytkondensatoren sind die Verlustfaktoren zwischen 0,1 bis 0,04 etwas kleiner. Die kleineren Werte werden eher bei Tantal-Sinterkondensatoren erreicht.

Die Verlustleistung eines Kondensators

Im Wechselspannungs- und Impulsbetrieb werden Kondensatoren spürbar warm. Die Verlustleistung, die im Dielektrikum eines Kondensators umgesetzt wird, kann bei Kenntnis des Verlustfaktors berechnet werden: \[\begin{array}{l} {P_v} = \frac{{{u^2}}}{{{R_p}}}\quad \quad {R_p} = \frac{{{X_c}}}{{\tan \,\delta }}\quad \quad {X_c} = \frac{1}{{\omega \,C}}\\ {R_p} = \frac{1}{{\omega \,C \cdot \tan \,\delta }}\quad \Rightarrow \quad {P_v} = {u^2} \cdot \omega \,C \cdot \tan \,\delta \end{array}\]

Eine Beispielrechnung zeigt, dass die auftretende Verlustleistung nicht vernachlässigbar klein ist. Ein Metall-Papierkondensator mit C = 1 μF wird in einer Schaltung mit 100 V bei einer Frequenz f = 5 kHz betrieben. Aus dem Diagramm oben kann ein Verlustfaktor zu tan(δ) = 0,01 abgelesen werden. Die Verlustleistung beträgt Pv ≈ 3 W.

Für hohe Frequenzen sollten Kondensatoren mit kleinem Verlustfaktor verwendet werden.
Kondensatoren mit großem Verlustfaktor sollten nur mit niedriger Wechselspannung betrieben werden.