Informations- und Kommunikationstechnik

Äquivalente Reihen- und Parallelschaltungen

Ein Widerstandsnetzwerk, das nur ohmsche Widerstände in gemischter Reihen- und Parallelschaltung enthält, kann schrittweise in eine reine Reihen- oder Parallelschaltung umgewandelt werden. Das Berechnen des Gesamtwiderstands ist mit der neuen gleichwertigen Schaltung dann sehr einfach. Bezogen auf Strom, Spannung und Gesamtwiderstand entspricht die neue gleichwertige Schaltung immer dem Ausgangsnetzwerk. Im Kapitel einfache Widerstandsnetzwerke wird die Umwandlung durch mehrfaches Umzeichnen beispielhaft dargestellt.

Im Wechselstromkreis kann ein Netzwerk mit Wirk- und Blindwiderständen in gemischter Reihen- und Parallelschaltung ebenso auf einen Schaltungstyp umgerechnet werden. Das äquivalente Verhalten gilt nur für eine bestimmte Frequenz. Die beiden Schaltungstypen sind gleichwertig oder äquivalent, wenn sowohl ihre Impedanz als auch der Phasenwinkel zwischen der anliegenden Spannung und dem Gesamtstrom gleich sind.

In diesem Abschnitt werden die Umrechnungen mithilfe der Zeigerdiagramme im rechtwinkligen, kartesischen Koordinatenkreuz vorgenommen. Später wird die komplexe Widerstandsberechnung einfacher und gemischter Wechselstromnetzwerke sowie äquivalenter Schaltungen unter Anwendung des Polarkoordinatensystems und der Gaußschen Zahlenebene erklärt.

Eigenschaften äquivalenter RC-Reihen- und Parallelschaltungen

In einer Reihenschaltung ist immer der Strom die Bezugsgröße, dem der Phasenwinkel φ = 0° zugewiesen wird. Am ohmschen Widerstand (Wirkwiderstand) ist der Phasenwinkel zwischen dem Spannungs- und Stromzeiger immer 0°. Im Zeigerdiagramm liegen beide Zeiger aufeinander und weisen in die gleiche Richtung. Zur Konstruktion von Zeigerdiagrammen wird für Widerstände, Kondensatoren und Spulen ideales Verhalten definiert. Die Spannung am Kondensator ist auf den Reihenstrom bezogen nachlaufend und bildet mit ihm den Phasenwinkel φ = −90°. Spannungen sind direkt proportional zu den entsprechenden Widerständen, folglich können im Zeigerdiagramm die Spannungszeiger durch die entsprechenden Widerstandszeiger ersetzt werden.

qualitative Reihen- und Parallel-Zeigerdiagramme

Die an der Reihenschaltung anliegende Wechselspannung ist über dem Gesamtwiderstand, der Impedanz Z, messbar. Sie bildet mit dem in der Schaltung fließenden Strom einen von der Frequenz abhängigen Phasenwinkel φ. Der linke Bildteil zeigt die qualitative Zeigerdarstellung für die Widerstände.

In jeder Parallelschaltung liegt an allen Komponenten die gleiche Spannung, sodass sie zur Bezugsgröße mit φ = 0° wird. Am ohmschen Widerstand ist der Strom gleichphasig zur Spannung. Im Kondensatorzweig eilt der Strom um φ = +90° der Spannung voraus. Während in einer Reihenschaltung bevorzugt mit Widerstandswerten gerechnet wird, bieten sich für eine Parallelschaltung eher die Leitwerte an. Sie sind die mathematischen Kehrwerte der Widerstände. Der Gesamtleitwert einer Parallelschaltung ist der Scheinleitwert Y und bildet mit dem Spannungszeiger den Phasenwinkel φ. In den dargestellten Zeigerdiagrammen sind die Zeigerlängen nicht maßstabgerecht zu den Widerstandszeigern gezeichnet. Werden bestimmte Voraussetzungen erfüllt, dann kann für jede gewählte Frequenz eine Reihenschaltung in eine gleichwertige Parallelschaltung umgerechnet werden.

Die Gleichungen zur Umrechnung für äquivalente Schaltungen werden grafisch und rechnerisch hergeleitet. Das mit Leitwerten gezeichnete Zeigerdiagramm der Parallelschaltung (nicht maßstabsgerecht) wird an der Horizontalen gespiegelt und auf das Zeigerdiagramm der Reihenschaltung gelegt. Das Zeigerdiagramm der RC-Reihenschaltung bleibt unverändert. Die Widerstands- und Leitwertzeiger liegen jetzt ebenso aufeinander wie die Zeiger der Impedanz Z und des Scheinleitwerts Y, nur ihre tatsächlichen Längen sind unterschiedlich. Der Phasenwinkel φ der Reihenschaltung ist der gleiche für die Parallelschaltung.

Die Leitwerte der Parallelschaltung werden in Widerstandswerte umgerechnet und bilden das blau umrandete rechtwinklige Dreieck. Die Länge der Dreiecksgrundlinie (Hypotenuse) ist gleich der Wurzel aus der Summe der Kathetenquadrate. Die Zeiger der Impedanz Z steht senkrecht auf der Rechteckdiagonalen (Hypotenuse) und ist gleich der Höhe dieses Dreiecks.

Die rein grafische Konstruktion kann mit Geodreieck und Lineal erfolgen. Das Geodreick wird mit seinem rechten Winkel an den Z-Zeiger angelegt und mit dem Lineal der zweite Schenkel so weit verlängert, dass die Strecke die horizontale und vertikale Achse des Zeigerdiagramms schneidet. Der horizontale Schnittpunkt ist der Endpunkt für Rpar und der vertikale Schnittpunkt ist der Endpunkt für Rpar. Die Verbindungslinie ist die Hypotenuse des blauen Dreiecks, auf dem der Z-Zeiger senkrecht steht. Ebenso kann ein Lineal an die horizontale oder vertikale Achse angelegt werden und das daran angelegte Geodreieck so daran verschoben werden, dass seine Hypotenuse die Zeigerspitze des Z-Zeigers berührt. Die zu den Achsen verlängerte Hypotenuse des Geodreicks bildet die Schnittpunkte mit der Horizontalen und Vertikalen und somit die Endpunkte der Zeigerlängen Rpar und Rpar.

gleichwertige Zeigerdiagramme

Die Zeiger der Parallelwiderstände bilden das große Rechteck, dessen Diagonale sich wie angegeben berechnen lässt. Senkrecht darauf steht der Zeiger der Impedanz Z und ist die Höhe des großen Dreiecks. Die Dreiecksfläche kann entweder mit der Diagonalen und der Höhe Z oder aus der halben Rechteckfläche berechnet werden. Durch Gleichsetzen beider Formeln folgt für die Impedanz Z der Parallelschaltung die Gl.(1):

Flächenformeln

Die senkrechten Projektionen des Impedanzzeigers Z auf die Dreieckskatheten Rpar und XCpar enden an den Widerstandszeiger der RC-Reihenschaltung. Mithilfe von Z kann die Äquivalentumrechnung zwischen einer Reihen- und Parallelschaltung erfolgen, wobei das Verfahren für RC- und RL-Schaltungen gilt.

Der Zeiger der Impedanz Z ist die gemeinsame Kathete des grünen und des gelben Dreiecks. Nach dem Kathetensatz des Euklid ist in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse. Die Hypotenuse des grünen Dreiecks ist XCpar und die Projektion der Kathete Z ist Xreih. Beim gelben Dreieck ist die Hypotenuse Rpar und die Projektion der Kathete Z darauf ist Rreih. Es gelten die folgenden Beziehungen:
Flächenformeln Mit diesen Formeln und der Gl.(1) für die Impedanz der Parallelschaltung lassen sich die Umrechnungsformeln für die Reihenwiderstände der äquivalenten Reihenschaltung berechnen.

Gegenseitige Umrechnung äquivalenter Schaltungen

Wird die Umformung mit der Formel für die Impedanz der Reihenschaltung durchgeführt, erhält man die Umrechnungsformeln für die Parallelwiderstände.

Mit den Parallelwiderständen zur äquivalenten Reihenschaltung

Äquivalenzformeln

Mit den Reihenwiderständen zur äquivalenten Parallelschaltung

Äquivalenzformeln

Mathematische Herleitung mithilfe der komplexen Wechselstromrechnung

Soll eine RC-Parallelschaltung in ihre äquivalente RC-Reihenschaltung umgerechnet werden, so muss die Parallelimpedanz gleich der Reihenimpedanz oder der Parallelleitwert gleich dem Reihenleitwert sein. Man stellt die entsprechenden Gleichungen auf, formt sie passend um und führt einen Koeffizientenvergleich durch.

RC-Parallel in äquiv. RC-Reihe

Mit einer entsprechenden Umwandlung soll eine RL-Reihenschaltung in ihre äquivalente Parallelschaltung umgerechnet werden. Auch hier gilt die Bedingung, dass die Impedanzen oder Leitwerte gleich bleiben.

RL-Reihen in äquiv. RL-Parallel

Verallgemeinert man diese Umrechnungsgleichungen bei Wegfall der Indizierungen für C und L, so erkennt man die Übereinstimmung mit den Gleichungen, die mithilfe des grafischen Ansatzes weiter oben hergeleiteten wurden.

Praktisches Beispiel

An einer R-L-C-Schaltung mit Parallel- und Reihenkomponenten sollen die hergeleiteten Umrechnungsformeln überprüft werden. Ein ohmscher Widerstand mit 4,7 kΩ bildet mit einer verlustfreien Spule von 100 mH eine Parallelschaltung. In Reihe dazu ist ein 4,7 nF Kondensator geschaltet. Die Schaltung wird mit 10 V Sinus-Wechselspannung der Frequenz 5 kHz betrieben. Zur rechnerischen Bestimmung des Gesamtstroms und des Phasenwinkels zur Spannung muss die Parallelschaltung in ihre äquivalente Reihenschaltung umgerechnet werden.

Rechenbeispiel

Die Blindwiderstände des Kondensators und der Spule werden berechnet. Für die Parallelschaltung werden mithilfe der Umrechnungsformeln die Werte für den äquivalenten ohmschen Reihenwiderstand und äquivalenten induktiven Reihenblindwiderstand ermittelt. Zusammen mit dem Blindwiderstand des Kondensators wird die Impedanz der gesamten Reihenschaltung berechnet. Für die Impedanz gilt das ohmsche Gesetz, sodass der Gesamtstrom berechnet werden kann. Die Schaltung verhält sich kapazitiv und hat einen negativen Phasenwinkel. Er wird aus tan(φ), dem Verhältnis des resultierenden Gesamtblindwiderstands zum ohmschen Widerstand berechnet.

Das Ergebnis kann im Labor oder mithilfe einer Schaltungssimulation bestätigt werden. Der Gesamtstrom wird mit einem Multimeter gemessen. Zur Bestimmung des Phasenwinkels zwischen Strom und Spannung mit einem Oszilloskop ist ein kleiner zusätzlicher 1 Ω Messwiderstand notwendig. Er liefert das zum Strom proportionale Spannungsäquivalent für das Oszilloskop. Getriggert wird auf die Stromkurve, da die Bezugsgröße in der Reihenschaltung ist. Die gemischte Schaltung und die dazu gleichwertige Reihenschaltung zeigen gleiche Messergebnisse.

Äquivalenz-Schaltung