Informations- und Kommunikationstechnik

Äquivalente Reihen- und Parallelschaltungen

Ein Widerstandsnetzwerk aus Wirkwiderständen in gemischter Reihen- und Parallelschaltung kann schrittweise in eine reine Reihen- oder Parallelschaltung umgewandelt werden. Die Berechnung des Gesamtwiderstands ist mit der neuen gleichwertigen Schaltung sehr einfach. Bezogen auf Strom, Spannung und Gesamtwiderstand ist die neue Schaltung zum Ausgangsnetzwerk identisch. Das Kapitel einfache Widerstandsnetzwerke stellt die Umwandlung durch mehrfaches Umzeichnen dar.

Im Wechselstromkreis kann ein Netzwerk mit Wirk- und Blindwiderständen in gemischter Reihen- und Parallelschaltung ebenso auf einen Schaltungstyp umgerechnet werden. Das äquivalente (gleichwertige) Verhalten gilt dann für eine bestimmte Frequenz. Die beiden Schaltungstypen sind äquivalent, wenn ihr Gesamtwiderstand (Impedanz) als auch der Phasenwinkel zwischen der anliegenden Spannung und dem Gesamtstrom gleich sind.

Die Umrechnungen kann mithilfe der Zeigerdiagramme im rechtwinkligen, kartesischen Koordinatenkreuz vorgenommen werden. Für alle, die mit der komplexen Widerstandsberechnung einfacher und gemischter Wechselstromschaltungen vertraut sind, wird anschließend die mathematische Umwandlung für äquivalente Schaltungen unter Anwendung des Polarkoordinatensystems und der Gaußschen Zahlenebene erklärt.

Eigenschaften äquivalenter RC-Reihen- und Parallelschaltungen

In einer Reihenschaltung ist der Strom die Bezugsgröße. Im Zeigerdiagramm wird ihm der Phasenwinkel φ = 0° in horizontaler Richtung zugewiesen. Am Wirkwiderstand gibt es zwischen dem Spannungs- und Stromzeiger mit φ = 0° keine Phasenverschiebung. Im kartesischen Koordinatenkreuz liegen auf der horizontalen Achse die Realwerte. Der Spannungszeiger und der dazu proportionale Widerstandszeiger weisen horizontal in Richtung des Stromzeigers. Zur Konstruktion von Zeigerdiagrammen wird für Widerstände, Kondensatoren und Spulen ideales Verhalten definiert. Auf den Reihenstrom bezogen ist die Spannung am Kondensator mit Phasenwinkel φ = −90° nachlaufend. Die Zeiger der Blindwerte liegen auf der vertikalen Achse.

qualitative Reihen- und Parallel-Zeigerdiagramme

Bei der Reihenschaltung liegt parallel zur Impedanz Z (Gesamtwiderstand der Schaltung) die Gesamtspannung. Sie bildet mit dem in der Schaltung fließenden Reihenstrom einen von der Frequenz abhängigen Phasenwinkel φ. In einer Parallelschaltung ist die angelegte Spannung an allen Komponenten gleich groß und somit die Bezugsgröße mit φ = 0°. Am Wirkwiderstand sind Strom und Spannung immer gleichphasig. In der Parallelschaltung eilt im Kondensatorzweig der Teilstrom um φ = +90° der Spannung voraus. Während in einer Reihenschaltung bevorzugt mit Widerstandswerten gerechnet wird, bieten sich für eine Parallelschaltung eher die Leitwerte an. Es sind die mathematischen Kehrwerte der Widerstände. Der Gesamtleitwert einer Parallelschaltung ist die Admittanz oder Scheinleitwert Y. Im Zeigerdiagramm bildet er mit dem Bezugszeiger der Spannung den Phasenwinkel φ. \[R = \frac{u}{i} \Rightarrow R \propto u\quad \quad G = \frac{1}{R} \Rightarrow G \propto i\] \[X = \frac{u}{i} \Rightarrow X \propto u\quad \quad B = \frac{1}{X} \Rightarrow B \propto i\] \[Z = \frac{{{u_{ges}}}}{{{i_{ges}}}}\quad \quad Y = \frac{1}{Z} = \frac{{{i_{ges}}}}{{{u_{ges}}}}\]

Grafische Umwandlung einer RC-Reihenschaltung in ihre äquivalente Parallelschaltung

Der Betrag der Impedanz der RC-Reihenschaltung muss gleich dem Betrag der Impedanz der Parallelschaltung sein. In beiden Schaltungen muss der Phasenwinkel zwischen der Gesamtspannung und dem Gesamtstrom gleich sein. Ausgehend vom Zeigerdiagramm der Reihenschaltung kann die grafische Konstruktion mit Geodreieck und Lineal erfolgen. Das Geodreick liegt mit seinem rechten Winkel an der Zeigerspitze der Impedanz und sein Schenkel verläuft entlang des Zeigers. Ein Lineal wird an den zweiten rechtwinkligen Schenkel angelegt, sodass die Schnittpunkte auf der horizontalen und vertikalen Achse des Zeigerdiagramms bestimmt werden können.

Der Zeiger vom Koordinatenursprung bis zum Schnittpunkt auf der Horizontalen entspricht dem Wert des Parallelwiderstands Rpar. Auf der vertikalen Achse entspricht die Zeigerlänge dem Wert des parallelen Blindwiderstands Xc par. Die Verbindungslinie beider Zeigerendpunkte ist die Hypotenuse, deren Länge mithilfe des Satzes von Pythagoras für das blau gezeichnete große rechtwinklige Dreieck bestimmt werden kann.

gleichwertige Zeigerdiagramme

Auf dieser Hypotenuse, die gleichzeitig die Diagonale des großen Rechtecks ist, steht der Zeiger Z der Impedanz der Reihenschaltung senkrecht und ist damit die Höhe des großen Dreiecks deren Katheten den Widerstandswerten der Parallelschaltung entsprechen. Die blau umrandete Dreiecksfläche kann entweder mit der Diagonalen und der Höhe Z oder aus der halben Rechteckfläche berechnet werden. \[A = \frac{1}{2} \cdot Z \cdot \sqrt {R_{par}^2 + X_{c\,par}^2} \quad \quad A = \frac{1}{2} \cdot {R_{par}} \cdot {X_{c\,par}}\] Das Gleichsetzen beider Formeln ergibt die Formel für die Impedanz Z der äquivalenten Parallelschaltung. \[Z = \frac{{{R_{par}} \cdot {X_{c\,par}}}}{{\sqrt {R_{par}^2 + X_{c\,par}^2} }}\]

Der Zeiger der Impedanz Z ist die gemeinsame Kathete des grünen und des gelben Dreiecks. Nach dem Kathetensatz von Euklid ist in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und der Projektion dieser Kathete auf die Hypotenuse. Die Hypotenuse des grünen Dreiecks ist XCpar und die Projektion der Kathete Z auf diese Hypotenuse ist Xreih. Beim gelben Dreieck ist die Hypotenuse Rpar und die Projektion der Kathete Z darauf ist Rreih. Für das gelbe Dreieck folgt \({Z^2} = {R_{reih}} \cdot {R_{par}}\) und für das grüne Dreieck ist \({Z^2} = {X_{c\,reih}} \cdot {X_{c\,par}}\)

Gegenseitige Umrechnung äquivalenter Schaltungen

Mit den hergeleiteten Formeln ist die gegenseitige Umrechnung einer RC- oder RL-Reihenschaltung in die äquivalente RC- oder RL-Parallelschaltung und umgekehrt möglich. Ausgehend von einer gegebenen Reihenschaltung für eine bestimmte Frequenz größer null gelten die Formeln: \[Z = \sqrt {R_{reih}^2 + X_{\,reih}^2} \quad {R_{par}} = \frac{{{Z^2}}}{{{R_{reih}}}}\quad {X_{par}} = \frac{{{Z^2}}}{{{X_{reih}}}}\] Für den Wirkwiderstand folgt: \[{R_{par}} = \frac{{R_{reih}^2 + X_{\,reih}^2}}{{{R_{reih}}}}\] Für den Blindwiderstand folgt: \[{X_{par}} = \frac{{R_{reih}^2 + X_{\,reih}^2}}{{{X_{reih}}}}\] Ausgehend von einer gegebenen Parallelschaltung für eine bestimmte Frequenz größer null gelten die Formeln: \[Z = \frac{{{R_{par}} \cdot {X_{par}}}}{{\sqrt {R_{par}^2 + X_{par}^2} }}\quad {R_{reih}} = \frac{{{Z^2}}}{{{R_{par}}}}\quad {X_{reih}} = \frac{{{Z^2}}}{{{X_{par}}}}\] Für den Wirkwiderstand folgt: \[{R_{reih}} = \frac{{{R_{par}} \cdot X_{par}^2}}{{R_{par}^2 + X_{par}^2}}\] für den Blindwiderstand folgt: \[{X_{reih}} = \frac{{R_{par}^2 \cdot {X_{par}}}}{{R_{par}^2 + X_{par}^2}}\]

Mathematische Herleitung mithilfe der komplexen Wechselstromrechnung

Die Äquivalenzumformung ist nur möglich, wenn die Parallelimpedanz gleich der Reihenimpedanz oder der Parallelleitwert gleich dem Reihenleitwert ist. Für eine RC-Schaltung werden die entsprechenden Gleichungen aufgestellt und passend umgeformt. Die komplexen Formeln werden getrennt in ihren Real- und Imaginärteil geschrieben. Abschließend ergeben die Koeffizientenvergleiche die gesuchten Umrechnungsformeln. \[{\underline Z _{par}} = \frac{{{R_{par}} \cdot ( - jX{}_{C\,par})}}{{{R_{par}} + ( - jX{}_{C\,par})}}\] Es wird konjugiert komplex erweitert. \[{\underline Z _{par}} = \frac{{ - jX{}_{C\,par} \cdot {R_{par}} \cdot ({R_{par}} + jX{}_{C\,par})}}{{({R_{par}} - jX{}_{C\,par}) \cdot ({R_{par}} + jX{}_{C\,par})}}\] Die Klammerausdrücke werden ausgerechnet. Der Nennerausdruck wird dabei real. \[{\underline Z _{par}} = \frac{{{R_{par}} \cdot X_{C\,par}^2 - j \cdot R_{par}^2 \cdot X{}_{C\,par}}}{{R_{par}^2 + X_{C\,par}^2}}\] Die Formel wird in ihre Real- und Imaginärkomponente getrennt: \[{\underline Z _{par}} = \frac{{{R_{par}} \cdot X_{C\,par}^2}}{{R_{par}^2 + X_{C\,par}^2}} - j\frac{{R_{par}^2 \cdot X{}_{C\,par}}}{{R_{par}^2 + X_{C\,par}^2}}\] Es wird die komplexe Formel für die Reihenimpedanz geschrieben: \[{\underline Z _{reih}} = {R_{reih}} - j{X_{C\,reih}}\] Für die vorausgesetzt gleichen Impedanzen führt der Vergleich der Koeffizienten für die Real- und Imaginärausdrücke zu den Formeln der Äquivalenzumformung: \[{R_{reih}} = \frac{{{R_{par}} \cdot X_{C\,par}^2}}{{R_{par}^2 + X_{C\,par}^2}}\quad \quad {X_{C\,reih}} = \frac{{R_{par}^2 \cdot X{}_{C\,par}}}{{R_{par}^2 + X_{C\,par}^2}}\]

Mit einer entsprechenden Beispielrechnung wird eine RL-Reihenschaltung in ihre äquivalente Parallelschaltung umgerechnet. Auch hier gilt die Bedingung, dass die Impedanzen oder Leitwerte gleich bleiben. \[{\underline Y _{reih}} = \frac{1}{{{{\underline Z }_{reih}}}} = \frac{1}{{{R_{reih}} + j{X_{L\,reih}}}}\] \[{\underline Y _{reih}} = \frac{{{R_{reih}} - j{X_{L\,reih}}}}{{({R_{reih}} + j{X_{L\,reih}}) \cdot ({R_{reih}} - j{X_{L\,reih}})}}\] \[{\underline Y _{reih}} = \frac{{{R_{reih}}}}{{R_{reih}^2 + X_{L\,reih}^2}} - j\frac{{{X_{L\,reih}}}}{{R_{reih}^2 + X_{L\,reih}^2}}\] Für die Parallelschaltung gilt die komplex geschriebene Formel: \[{\underline Y _{par}} = \frac{1}{{{R_{par}}}} + \frac{1}{{j{X_{L\,par}}}} = \frac{1}{{{R_{par}}}} - j\frac{1}{{{X_{L\,par}}}}\] Der Koeffizientenvergleich ergibt die Formeln zur Äquivalenzumrechnung: \[{R_{par}} = \frac{{R_{reih}^2 + X_{L\,reih}^2}}{{{R_{reih}}}}\quad \quad {X_{L\,par}} = \frac{{R_{reih}^2 + X_{L\,reih}^2}}{{{X_{L\,reih}}}}\]

Die für eine RC- und RL-Schaltung getrennten Herleitungen ergeben identische Umrechnungsformeln. Die Indizierungen mit C und L sind nicht notwendig. Die Formeln sind identisch zu denen, die anfangs mithilfe des grafischen Ansatzes hergeleitet wurden.

Praktisches Beispiel

Die hergeleiteten Umrechnungsformeln werden auf eine R-L-C-Schaltung mit Parallel- und Reihenkomponenten angewendet. Ein Wirkwiderstand mit 4,7 kΩ bildet mit einer verlustfreien Spule von 100 mH eine Parallelschaltung. In Reihe dazu ist ein 4,7 nF Kondensator geschaltet. Die Schaltung wird in eine äquivalente Reihenschaltung umgewandelt. Die anliegende Betriebsspannung ist eine 10 V Sinus-Wechselspannung bei der Frequenz 5 kHz.

Die Blindwiderstände des Kondensators und der Spule werden berechnet. \[{X_c} = \frac{1}{{2\,\pi \,f\,C}} = \frac{1}{{2\,\pi \cdot 5 \cdot {{10}^3} \cdot 4,7 \cdot {{10}^{ - 9}}}}\;\Omega \quad {X_c} = 6,773\;k\Omega \] \[{X_L} = 2\,\pi \,f\,L = 2\,\pi \cdot 5 \cdot {10^3} \cdot 100 \cdot {10^{ - 3}}\;\Omega \quad {X_L} = 3,142\;k\Omega \] Die Werte der RL-Parallelschaltung werden mithilfe der Umrechnungsformeln in die Werte der äquivalenten Reihenschaltung umgerechnet. \[{R_{reih}} = \frac{{{R_{par}} \cdot X_{par}^2}}{{R_{par}^2 + X_{par}^2}} = \frac{{4,7 \cdot {{10}^3} \cdot {{(3,142 \cdot {{10}^3})}^2}}}{{{{(4,7 \cdot {{10}^3})}^2} + {{(3,142 \cdot {{10}^3})}^2}}}\;\Omega \] \[{R_{reih}} = 1,452\;k\Omega \] \[{X_{reih}} = \frac{{R_{par}^2 \cdot {X_{par}}}}{{R_{par}^2 + X_{par}^2}} = \frac{{{{(4,7 \cdot {{10}^3})}^2} \cdot 3,142 \cdot {{10}^3}}}{{{{(4,7 \cdot {{10}^3})}^2} + {{(3,142 \cdot {{10}^3})}^2}}}\;\Omega \] \[{X_{reih}} = 2,172\;k\Omega \] Mit diesen Werten ergibt sich für die gesamte Reihenschaltung die Impedanz Z zu: \[Z = \sqrt {R_{reih}^2 + {{({X_{Lreih}} - {X_C})}^2}} = \sqrt {{{(1452)}^2} + {{(2712 - 6773)}^2}} \;\Omega \] \[Z = 4,825\;k\Omega \] Mit der Impedanz und der anliegenden Spannung wird der Gesamtstrom berechnet: \[i = \frac{u}{Z} = \frac{{10}}{{4,825 \cdot {{10}^3}}}\;A\quad i = 2,073\;mA\] In der Reihenschaltung ist die Bezugsgröße der Strom zu dem die angelegte Spannung den gesuchten Phasenwinkel aufweist. Der Strom liegt in Phase zur Realkomponente. Die Gesamtspannung ist proportional zur Impedanz Z. Der Phasenwinkel kann entweder aus dem Arkuskosinus der Realkomponente dividiert durch die Impedanz oder aus dem Arkustangens der resultierenden Blindkomponente dividiert durch die Realkomponente berechnet werden. Im Zeigerdiagramm weist der resultierende Blindwiderstand nach unten, folglich zählt der Phasenwinkel negativ. \[arc\cos \varphi = \frac{{{R_{reih}}}}{Z} = \frac{{1452}}{{4825}} = 0,301\] \[arctan\varphi = \frac{{{X_c} - {X_{Lreih}}}}{{{R_{reih}}}} = \frac{{6773 - 2172}}{{1452}} = 3,169\] Beide Lösungswege ergeben den gleichen Winkelwert mit \(\varphi = - {72,5^ \circ }\)

Das Ergebnis kann im Labor oder mithilfe einer Schaltungssimulation bestätigt werden. Der Gesamtstrom wird mit einem Multimeter gemessen. Zur Bestimmung des Phasenwinkels zwischen Strom und Spannung mit einem Oszilloskop ist ein kleiner zusätzlicher 1 Ω Messwiderstand notwendig. Er liefert das zum Strom proportionale Spannungsäquivalent für das Oszilloskop. Getriggert wird auf die Stromkurve, da sie die Bezugsgröße in der Reihenschaltung ist. Die Ausgangsschaltung und die dazu gleichwertige Reihenschaltung zeigen gleiche Messergebnisse.

Äquivalenz-Schaltung