Der Kondensator im Gleichstromkreis

An Schulen wird im Fach Elektrophysik das Verhalten des Plattenkondensators im Gleichstromkreis beschrieben. Seine einfache Bauweise besteht aus zwei gegeneinander isolierten und parallel angeordneten Metallflächen, deren Abstand verändert werden kann. Anfangs ist die Isolierung Luft und kann später durch Einfügen anderer Isolierwerkstoffe erweitert werden. Ein an den Platten angeschlossenes hochohmiges Multimeter sollte keine Spannung und im Widerstandsmessbereich eine hochohmige Unterbrechung anzeigen. Bei einem entladenen Kondensator haben die beiden Elektroden keine messbaren Ladung da das Elektrodenmaterial, z. B. Aluminium in den Atomen ebenso viele positive Kernladungen wie negative Elektronen besitzt. Der Werkstoff ist nach außen hin elektrisch neutral.

Aus dem Physikunterricht ist ebenfalls bekannt, dass sich verschiedene Nichtleiter durch mechanisches Reiben aneinander nach der Trennung elektrisch unterschiedlich aufgeladen haben. Dieser Vorgang wird Reibungselektrizität genannt. Jede Ladungsart, entweder positiv oder negativ, kann durch abstreifendes Berühren auf eine der Kondensatorelektroden übertragen werden. Vorteilhaft ist es, wenn die Gegenelektrode mit Erdpotenzial, dem definierten 0 Volt Massepotenzial verbunden ist. Parallel zum Kondensator ist dann eine Spannung messbar. Durch mehrfache Ladungsübertragungen nimmt die Spannung zu und kann an Ende einige tausend Volt betragen. Die Ladungen bleiben über eine lange Zeit auf dem Kondensatorelektroden. Sie können sich zwischen den Elektroden nicht ausgleichen, da es keinen geschlossenen Stromkreis gibt.

Um im Labor- oder Simulationsversuch das normalerweise zu schnelle Aufladen eines ungeladenen Kondensators an einer DC-Quelle quantitativ nachvollziehbar zu untersuchen, werden die Messungen an einer RC-Reihenschaltung vorgenommen. Zum Zeitpunkt t = 0 s wird der Stromkreis eingeschaltet. Für nachfolgende Zeitabstände werden die Spannungswerte am Wirkwiderstand und am Kondensator zeitgleich gemessen. Das folgende Diagramm zeigt für einen Simulationsversuch die Spannungskurven bei der Aufladung eines Kondensators der Kapazität C = 100 μF über einen 1 kΩ Wirkwiderstand an konstanten U = 10 V.

Direkt nach dem Einschalten ist die Spannung UR am Vorwiderstand gleich der Quellenspannung Uo = 10 V. Parallel zum Kondensator ist mit Uc = 0 V kein Spannungsfall messbar. Von der DC-Quelle werden elektrische Ladungen auf die eine Kondensatorelektrode und in gleicher Anzahl von der anderen Elektrode zur Spannungsquelle zurück transportiert. Zwischen beiden Elektroden findet wegen der Isolierung kein Ladungsaustausch statt. Nach ausreichend langer Ladezeit strebt die Spannung am Vorwiderstand gegen null Volt, während sich die Spannung am Kondensator dem Wert der DC-Quellenspannung annähert. Wird bei unveränderten R- und C-Werten die Quellenspannung variiert, so erreicht der Kondensator nach Ablauf der gleichen Ladezeit praktisch immer den Wert der angelegten Ladespannung.

Während der Aufladung werden negative elektrische Ladungen transportiert. Elektrischer Strom I ist der Ladungstransport pro Zeiteinheit, daher fließt in der RC-Reihenschaltung für eine gewisse Zeit ein Ladestrom. Er ist direkt proportional zur Änderung der Spannung am Ohm'schen Widerstand. Die am negativen Pol der DC-Quelle verbundene Kondensatorelektrode erhält Elektronen. Sie üben eine abstoßende Kraft auf die freien Elektronen der metallischen Gegenelektrode des Kondensators aus. Die Isolation zwischen den Platten verhindert den direkten Ladungstransport zur Gegenelektrode. Der positiv geladene Pol der DC-Quelle zieht den Anteil der abgestoßenen freien Elektronen von der Gegenelektrode ab. Auf ihr bleiben weniger negative Ladungen gespeichert, folglich wird sie positiv geladen. Die unterschiedlich geladenen Kondensatorelektroden haben unterschiedliche elektrische Potenziale. Die Potenzialdifferenz wird als Spannung Uc gemessen. Zwischen den Elektrodenplatten könnte mit einem geeigneten Versuchsaufbau ein homogenes elektrisches Feld gemessen werden.

Die Reihenschaltung aus Wirkwiderstand und Kondensator bilden mit der DC-Quelle einen Stromkreis oder geschlossene Masche. Nach der 2. Kirschhoff-Regel kann die Maschengleichung für die Spannungen aufgestellt werden. Direkt nach dem Einschalten ist die Spannung am Kondensator null Volt und die Spannung am Widerstand kann durch das Produkt UR·I geschrieben werden: \[ - {U_o} + {U_R} + {U_c} = 0\;\;\, \Rightarrow \;\;\,{U_c} = {U_o} - I \cdot R\] Da die Kondensatorladung zeitabhängig zunimmt, ändern sich die gemessenen Spannungen ebenso zeitabhängig. Wird die Gleichung rechts nach der Zeit differenziert, so wird die 1. Ableitung der konstanten Uo = 0 und das Ergebnis ist: \[\frac{{d{U_c}}}{{dt}} = - R \cdot \frac{{dI}}{{dt}}\] Die Ladung des Kondensators ist das Produkt seiner Kapazität und der Spannung an ihm. Der sich zeitlich ändernde Ladestrom verändert proportional die Ladung des Kondensators. Somit gilt: \[Q = C \cdot U\quad \quad \frac{{dQ}}{{dt}} = I = C \cdot \frac{{d{U_c}}}{{dt}}\] Mit der Gleichung zuvor folgt aufgelöst nach dem Strom I: \[I = - R \cdot C \cdot \frac{{dI}}{{dt}}\quad \quad \tau = R \cdot C\]

Die Zeitkonstante

Das Produkt R·C hat die Dimension der Zeit in [s] und wird als Zeitkonstante τ bezeichnet. Sie ist unabhängig von Strom und Spannung und sagt etwas über die Geschwindigkeit aus, mit der die Ladevorgänge eines Kondensators in der RC-Reihenschaltung erfolgen. Bei vorgegebener Kapazität dauert die Aufladung umso länger, je größer der Widerstandswert ist. Ebenso dauert der Ladevorgang bei einem größeren Kapazitätswert aber unverändertem Vorwiderstand länger. Die Lade- und zugehörigen Entladevorgänge können im folgenden Videoclip für drei unterschiedliche R-C-Kombinationen betrachtet werden.

Die Halbwertzeit

Im ersten Diagramm der Seite sind zwei Bereiche farbig markiert. Die Spannungskurven haben bei 50% der konstanten Quellenspannung einen Schnittpunkt. Bis zu diesem Punkt kann der zeitlich nicht lineare Verlauf recht gut durch eine lineare Näherung (Approximation) ersetzt werden. Wird vom Schnittpunkt das Lot auf die Zeitachse gefällt, dann entspricht im orangenen rechtwinkligen Dreieck die horizontale Kathete der Zeit th = 70 ms. Diese Zeit wird als Halbwertzeit bezeichnet. Nach weiteren 70 ms und gleicher linearer Näherung kann das gelbe rechtwinklige Dreieck gezeichnet werden. Der Spannungswert am Widerstand hat sich halbiert und beträgt 25% der angelegten Quellenspannung. Der Kondensator hat sich dann auf 75% der Spannung aufgeladen. Wird die lineare Näherung mit der Halbwertzeit fortgesetzt, dann halbiert sich bei jedem Schritt der Prozentwert der Spannung am Vorwiderstand. Nach dem siebenten Schritt wären knapp 0,8% und nach dem zehnten Schritt 0,1% der Quellenspannung messbar. Der Kondensator hat sich dann auf 99,9%, also praktisch vollständig aufgeladen. Zwischen der Zeitkonstante und der Halbwertzeit besteht ein mathematischer Zusammenhang: \[{t_h} = \ln 2 \cdot R \cdot C = \ln 2 \cdot \tau \quad \quad \ln 2 \approx 0,693\] Kurvenzüge mit gleich großen Halbwertzeiten werden mathematisch durch natürliche Funktionen, den Exponentialfunktionen (e-Funktionen), beschrieben. Viele Naturvorgänge, wie z. B. der radioaktive Zerfall, Erwärmungs- und Abkühlungsprozesse und biologisches Zellwachstum folgen solchen e-Funktionen.

Das Diagramm und das Video zeigen, dass beim noch ungeladenen Kondensator nach dem Einschalten der maximale Strom fließt und am Kondensator keine Spannung messbar ist. Nach dem Ohm'schen Gesetz verhält sich der Kondensator wie ein Kurzschluss oder Widerstand mit vernachlässigbarem Wert. Nach fünf Zeitkonstanten τ hat sich der Strom praktisch auf null verringert und der Kondensator gilt als aufgeladen. Im Gleichstromkreis verhält er sich dann wie ein Widerstand mit extrem hohem Wert, vergleichbar mit einer Unterbrechung. Die Zeit von 5 · τ zur Auf- oder Entladung wird als Einschalt- oder Ausschaltzeit eines RC-Glieds bezeichnet. Der Lade- und Entladevorgang wird durch e-Funktionen beschrieben. Die Halbwertzeit beträgt th = ln2·τ. Das Verhalten eines Kondensators im Wechselstromkreis und sein Wechselstromwiderstand werden in einem eigenständigen Kapitel beschrieben.

Reihenschaltung von Kondensatoren

Werden zwei Kondensatoren gleicher Bauart in Reihe geschaltet, so sind in der Mitte beide Plattenflächen direkt leitend verbunden und haben keine Verbindung zum äußeren Stromkreis. Der wirksame Ersatzkondensator hat den doppelten Plattenabstand.

Werden an einer DC-Quelle Kondensatoren unterschiedlicher Kapazität in Reihe geschaltet, so kann für die Spannungen der 2. Kirchhoff'sche Maschensatz aufgestellt werden: \[{U_o} = {U_{c1}} + {U_{c2}} + \ldots + {U_{cn}}\] Alle Kondensatoren können sich auf nur einen Ladungswert aufladen, der vom Kondensator mit der kleinsten Kapazität bestimmt wird. Er ist nach fünf Zeitkonstanten praktisch aufgeladen und die anderen Kondensatoren können keine weiteren Ladungen mehr aufnehmen. Mathematisch gilt: \[{C_{ges}} = \frac{Q}{{{U_o}}} = \frac{Q}{{\frac{Q}{{{U_1}}} + \frac{Q}{{{U_2}}} + \ldots + \frac{Q}{{{U_n}}}}}\] \[{C_{ges}} = \frac{Q}{{Q \cdot \left( {\frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}} + \ldots + \frac{1}{{{C_n}}}} \right)}}\] \[\frac{1}{{{C_{ges}}}} = \frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}} + \ldots + \frac{1}{{{C_n}}}\] Für zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren gilt: \[\frac{1}{{{C_{ges}}}} = \frac{1}{{{C_1}}} + \frac{1}{{{C_2}}}\quad \Rightarrow \quad {C_{ges}} = \frac{{{C_1} \cdot {C_2}}}{{{C_1} + {C_2}}}\]

Für in Reihe geschaltete Kondensatoren ist die Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten gleich dem Kehrwert der Gesamtkapazität. Die Gesamtkapazität in Reihe geschalteter Kondensatoren ist stets kleiner als die kleinste Einzelkapazität.

Als DC-Spannungsteiler ist die Reihenschaltung von Kondensatoren ungeeignet. Im Wechselstromkreis funktioniert sie als kapazitiver Spannungsteiler und wird dort mit einigen Beispielen näher beschrieben.

Parallelschaltung von Kondensatoren

Sind zwei Kondensatoren gleicher Bauart parallel geschaltet dann hat der Ersatzkondensator die doppelte Elektrodenfläche während der Plattenabstand und das Dielektrikum gleich bleiben. Die Gesamtkapazität ist proportional zur gesamten Elektrodenfläche und errechnet sich durch Addition der einzelnen Kapazitätswerte. Die Skizze verdeutlicht diese Aussage.

In der Parallelschaltung teilt sich der Strom in die einzelnen Ladeströme auf. Somit kann sich jeder Kondensator auf die gleiche anliegende Spannung aufladen. Die aufgenommene Gesamtladung entspricht der Summe der Einzelladungen. \[\begin{array}{*{20}{l}} {{Q_{ges}} = {Q_1} + {Q_2} + ... + {Q_n}}\\ {{C_{ges}} \cdot {U_o} = {U_o} \cdot ({C_1} + {C_2} + ... + {C_n})}\\ {{C_{ges}} = {C_1} + {C_2} + ... + {C_n}} \end{array}\]

Die Gesamtkapazität parallel geschalteter Kondensatoren ist die Summe der Einzelkapazitäten.

Sicherheitshinweise

Ein geladener Kondensator ist ein Energiespeicher. Im ersten Moment der Entladung fließt der maximale Strom und zu diesem Zeitpunkt gleicht der Kondensator einer idealen Spannungsquelle. Die Entladung durch Kurzschluss sollte vermieden werden. Kondensatoren großer Kapazität und entsprechend großer Ladungsmenge können beim Kurzschluss einen Stromimpuls einiger hundert bis tausend Ampere liefern, der zur Zerstörung des Bauteils führen kann. Folgende Sicherheitsvorkehrungen sind zu beachten:

Kondensatoren großer Kapazität sollten strombegrenzt über einen Widerstand aufgeladen werden.
Geladene Kondensatoren sollten nicht frei berührbar liegen gelassen werden.
Kondensatoren großer Kapazität sollten über einen Lastwiderstand strombegrenzt entladen werden.
Beim Ein- oder Ausbau in Schaltungen sollten Kondensatoren immer entladen sein.

Mathematische Herleitungen der Lade- und Entladefunktionen

In Formelsammlungen zur Elektronik sind die Lade- und Entladefunktionen eines Kondensators an Gleichspannung angegeben. Die Berechnung der zeitabhängigen Spannungs- und Stromwerte erfolgt mit der Zeitkonstante \(\tau = R \cdot C\) der Reihenschaltung. Der Kondensator wird über einen Ohm'schen Vorwiderstand von einer konstanten DC-Spannungsquelle geladen. Die Ladung eines Kondensators ist proportional zu seiner Spannung \({Q_c} = C \cdot {U_c}\). Für den zeitlichen Verlauf der Aufladung gelten die Formeln: \[{U_c}(t) = {U_o} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{t}{{R{\mkern 1mu} C}}}}} \right)\quad \quad {I_c}(t) = \frac{{{U_o}}}{R} \cdot {e^{ - \frac{t}{{R{\mkern 1mu} C}}}}\] Bei der Entladung fließt der Entladestrom in die entgegengesetzte Richtung des Ladestroms. Für den zeitlichen Verlauf der Entladung gelten die Formeln: \[{U_c}(t) = {U_o} \cdot {e^{ - \frac{t}{{R{\mkern 1mu} C}}}}\quad \quad {I_c}(t) = - \frac{{{U_o}}}{R} \cdot {e^{ - \frac{t}{{R{\mkern 1mu} C}}}}\]

Die Herleitungen der e-Funktionen sind selten im Lehrplan der gymnasialen Elektrophysik und der beruflichen dualen Ausbildung zum Elektroniker zu finden. Notwendig sind Kenntnisse zur Differenzial- und Integralrechnung und der Umgang mit Differenzialgleichungen (DGL). Die folgenden Herleitungen sollten noch gut nachvollziehbar sein.

Aufladung eines Kondensators

Die RC-Reihenschaltung bildet mit der konstanten DC-Quelle eine Masche. Nach dem 2. Kirchhoff-Gesetz gilt für den geschlossenen Maschenumlauf, dass die Summe aller auftretenden Spannungen null ist: \[{U_R} + {U_C} - {U_o} = 0{\mkern 1mu} \;\;\, \Rightarrow \quad {U_R} = {U_o} - {U_c}\] Wird die Spannung am Widerstand durch R·I ersetzt und die Gleichung nach I aufgelöst, so folgt: \[R \cdot I = {U_o} - {U_c}\quad \Rightarrow \quad I = \frac{{{U_o}}}{R} - \frac{{{U_c}}}{{R\,}}\quad (1)\] Die Spannung am Kondensator ist proportional zur aufgenommenen Ladung Q: \[Q = C \cdot {U_c}\quad \quad I = \frac{{{U_o}}}{R} - \frac{1}{{RC\,}} \cdot Q\] Da während des Ladevorgangs ein sich zeitlich ändernder Strom I fließt, ist die Gleichung nach der Zeit abzuleiten. Der Quotient Uo/R ist ein konstanter Wert und von der Zeit unabhängig. Die Ableitung dieses Terms ergibt null. Die Ableitung der Ladung Q nach der Zeit ergibt den Strom I: \[\frac{{dI(t)}}{{dt}} = 0 - \frac{1}{{R\,C}} \cdot \frac{{dQ}}{{dt}}\quad \Rightarrow \quad \frac{{dI(t)}}{{dt}} = - \frac{1}{{R\,C}} \cdot I(t)\] Wird die Gleichung nach ihren Variablen getrennt, können für beide Seiten einfach zu lösende Integrale geschrieben werden: \[\frac{1}{{I(t)}}\,dI = - \frac{1}{{R\,C}}\,dt\quad \Rightarrow \quad \int\limits_{{I_o}}^I {\frac{1}{{I(t)}}\,dI = \int\limits_o^t { - \frac{1}{{R\,C}}\,dt} } \] Das Integral links hat als Stammfunktion den natürlichen Logarithmus. Für das Integral rechts kann der Quotient als Konstante vor das Integral geschrieben werden und die Stammfunktion ist die Zeit t. Die Integrationskonstanten müssen nicht beachtet werden. Für die angegebenen Integrationsgrenzen ergeben sich die Lösungen: \[\ln (I) - \ln ({I_o}) = - \frac{1}{{R\,C}} \cdot t\quad \Rightarrow \quad \ln \left( {\frac{{I(t)}}{{{I_o}}}} \right) = - {\textstyle{t \over {R\,C}}}\] Das Ergebnis wird als e-Funktion, der Umkehrfunktion oder inversen Funktion der ln-Funktion geschrieben und nach I aufgelöst: \[\frac{{I(t)}}{{{I_o}}} = {e^{ - {\textstyle{t \over {R\,C}}}}}\quad \Rightarrow \quad I(t) = {I_o} \cdot {e^{ - {\textstyle{t \over {R\,C}}}}}\quad (2)\] Diese Gleichung steht für den Ladestromverlauf eines Kondensators in einer RC-Reihenschaltung der von einer DC-Quelle konstanter Spannung geladen wird. Wird die Gl.(2) in die Gl.(1) eingesetzt und umgeformt, so ist das Ergebnis der Spannungsverlauf am Kondensator bei der Aufladung an einer konstanten DC-Quelle: \[\begin{array}{l} {I_o} \cdot {e^{ - {\textstyle{t \over {R\,C}}}}} = \frac{{{U_o}}}{R} - \frac{{{U_c}}}{{R\,}}\quad \Rightarrow \quad R \cdot {I_o} \cdot {e^{ - {\textstyle{t \over {R\,C}}}}} = {U_o} - {U_c}\\ R \cdot {I_o} = {U_o}\quad \Rightarrow \quad {U_o} \cdot {e^{ - {\textstyle{t \over {R\,C}}}}} = {U_o} - {U_c}\\ {U_c} = {U_o} - {U_o} \cdot {e^{ - {\textstyle{t \over {R\,C}}}}}\quad \Rightarrow \quad {U_c}(t) = {U_o}\left( {1 - {e^{ - {\textstyle{t \over {R\,C}}}}}} \right) \end{array}\]

Entladung eines Kondensators

Die mathematischen Herleitungen der Entladeformeln verlaufen ähnlich. In der RC-Reihenschaltung ist der auf UC geladene Kondensator die einzige DC-Quelle und wird über den Widerstand R entladen. Seine Spannung UC ist proportional zum Ladungsbetrag. \[{U_C}(t) = - {U_R}(t)\;\quad \quad {U_C}(t) = \frac{{Q(t)}}{C}\] Die 1. Ableitung der Ladung Q nach der Zeit ist der Entladestrom I(t), der die proportionale Spannung UR erzeugt. Im Maschensatz sind die Spannungswerte gleich und unterscheiden sich nur im Vorzeichen: \[I(t) = \frac{{dQ(t)}}{{dt}}\quad \Rightarrow \quad \frac{{Q(t)}}{C} + R \cdot I(t) = 0\quad (3)\] Da der Term Q(t) und davon mit I(t) die 1. Ableitung im Ergebnis auftreten handelt es sich um eine lineare homogene Differentialgleichung. Der Lösungsansatz kann eine Exponentialfunktion sein: \[Q(t) = {Q_o} \cdot {e^{ - k{\mkern 1mu} t}}\] Ihre Ableitung ist gleich der Funktion erweitert um die innere Ableitung: \[\frac{{dQ(t)}}{{dt}} = - k \cdot {Q_o} \cdot {e^{ - k{\mkern 1mu} t}}\] Durch Einsetzen in die DGL (3) und Umformen kann k bestimmt werden: \[\frac{1}{C}{Q_o} \cdot {e^{ - k{\mkern 1mu} t}} = - R \cdot \frac{{dQ(t)}}{{dt}}\] \[\frac{1}{{R{\mkern 1mu} C}} \cdot {Q_o} \cdot {e^{ - k{\mkern 1mu} t}} = - \left( { - k \cdot {Q_o} \cdot {e^{ - k{\mkern 1mu} t}}} \right)\quad \, \Rightarrow \quad k = \frac{1}{{R{\mkern 1mu} C}}\] Einsetzen von k in die Funktion Q(t) ergibt mit den Proportionalitäten zur Spannung U die Entladefunktion: \[Q(t) = {Q_o} \cdot {e^{ - \frac{t}{{R{\mkern 1mu} C}}}}\quad \Rightarrow \quad {U_C}(t) = {U_o} \cdot {e^{ - \frac{t}{{R{\mkern 1mu} C}}}}\] Zum Beginn der Entladung hat bei t = 0 s der Kondensator als Spannungsquelle die Ladespannung Uo. Der Entladestrom fließt durch den Widerstand entgegengesetzt zum Ladestrom: \[{I_c}(t) = - \frac{{{U_o}}}{R} \cdot {e^{ - \frac{t}{{R{\mkern 1mu} C}}}}\]