Spannungsteiler mit Wirkwiderständen

Alle Gesetzmäßigkeiten gelten für Gleich- und Wechselspannung. Liegt Spannung an einer Reihenschaltung realer Widerstände, so ist an jedem einzelnen Widerstand eine Teilspannung messbar. Die Aufteilung der angelegten Spannung erfolgt im Verhältnis der Widerstandswerte.

Kennliniendiagramm eines unbelasteten Spannungsteilers

In einem Strom-Spannungs-Diagramm kann mit den im Labor ermittelten Messwerten für jeden der beiden Widerstände die Kennlinie gezeichnet werden. Die Spannungsachsen haben die gleiche Unterteilung, zählen aber gegenläufig. Allgemein wird nur eine Spannungsachse mit der Teilung für die anliegende Gesamtspannung gezeichnet. Abgelesen werden die Teilspannungen im gemeinsamen Schnittpunkt beider Kennlinien.

Die Eingangsspannung liegt an der Reihenschaltung der beiden Widerstände. In einer Reihenschaltung fließt in jedem Punkt stets derselbe Strom. Nach dem Ohm'schen Gesetz sind folglich die Spannungen proportional zu den Widerständen an denen sie gemessen werden: \[\begin{array}{l} {U_{R1}} \propto {R_1}\;\;\,{U_{R2}} \propto {R_2}\;\;\,{U_o} \propto {R_1} + {R_2}\\ {{\rm{U}}_o}{\rm{ = }}{{\rm{U}}_{R1}}{\rm{ + }}{{\rm{U}}_{R2}} \end{array}\] Zur Berechnung der Teilspannungen gelten die Formeln: \[\begin{array}{l} \frac{{{U_{R1}}}}{{{U_o}}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}\quad \Rightarrow \quad {U_{R1}} = {U_o} \cdot \frac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}\\ \frac{{{U_{R2}}}}{{{U_o}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}\quad \Rightarrow \quad {U_{R2}} = {U_o} \cdot \frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} \end{array}\]

Reale Spannungsquelle

Die Spannungsquelle Uo ist ebenso wie der unbelastete Spannungsteiler ein Idealmodell. Jede reale Spannungsquelle hat einen normalerweise kleinen Innenwiderstand Ri. Für den bisher betrachteten Ohm'schen Spannungsteiler ist es R1. Der Innenwiderstand ist ein virtueller Widerstand. Sein Widerstandswert macht sich erst bemerkbar, wenn an die Klemmen der realen Quelle der Teilerwiderstand R2 angeschlossen wird. Durch ihn ist der Stromkreis geschlossen und es kann die Teilspannung U2 gemessen werden. Die beiden Ohm'schen Widerstände bilden wie zuvor die Reihenschaltung des Spannungsteilers. Die Quellenspannung Uo und ihr Innenwiderstandswert bleiben konstant für jeden angeschlossenen R2. Die zuvor hergeleiteten Formeln gelten weiterhin.

An den Anschlussklemmen kann eine Klemmenspannung gemessen werden. Dabei sollte das Spannungsmessgerät einen so hohen Eingangswiderstand haben, dass der Strom praktisch vernachlässigbar ist. Die Quelle wird als unbelastet bezeichnet und befindet sich im sogenannten Leerlauf. Die Leerlaufspannung ist dann gleich der konstant definierten Uo. Fließt ein größerer Strom, so wird der Spannungsfall U1 am Innenwiderstand der Quelle größer. Um diesen Wert wird dann die Klemmenspannung U2 kleiner.

Mit den Widerstandswerten aus dem Diagramm oben errechnet sich für die Quellenspannung Uo = 10 V \[\begin{array}{l} {U_{R1}} = 10\,V \cdot \frac{{1\,k\Omega }}{{1\,k\Omega + 2\,k\Omega }} = 3,33..\,V\\ {U_{R2}} = 10\,V \cdot \frac{{2\,k\Omega }}{{1\,k\Omega + 2\,k\Omega }} = 6,66..\,V \end{array}\] Die Messung der Leerlaufspannung mit einem hochohmigen Spannungsmessgerät R2 = 10 MΩ ergibt: \[{U_{R2}} = 10\,V \cdot \frac{{10\,M\Omega }}{{1\,k\Omega + 10\,M\Omega }} = 9,999\,V\]

Belasteter Spannungsteiler

Nachfolgend sind die Schaltungen an eine ideal angenommene Spannungsquelle angeschlossen. Die Teilerwiderstände R1 und R2 haben einen festgelegten Wert. Die Teilspannung U2 wird durch eine Folgeschaltung mit dem Eingangswiderstand RLast belastet. Im Verbindungspunkt, dem Stromknoten, teilt sich der Strom auf. Durch R2 fließt ein um den Laststrom verringerter Strom. Er wird oft als Querstrom Iq bezeichnet, da er parallel (quer) zum Laststrom IL fließt. Die Parallelschaltung hat einen kleineren Gesamtwiderstandswert Rers. Mit kleinerem RLast-Wert nimmt die Belastung der Ausgangsspannung zu und wird kleiner.

\[\begin{array}{l} {U_1} \propto {\mkern 1mu} {R_1}\quad {U_2} \propto {R_{ers}}\quad {R_{ers}} = \frac{{{R_2}{\mkern 1mu} {R_{Last}}}}{{{R_2} + {R_{Last}}}}\\ U = {U_1} + {U_2}\quad I = {I_q} + {I_{Last}}\\ {U_2} = I \cdot {R_{ers}} = I \cdot \frac{{{R_2}{\mkern 1mu} {R_{Last}}}}{{{R_2} + {R_{Last}}}} \end{array}\] Bei einem Kurzschluss mit RLast = 0 Ω gibt es keine Ausgangsspannung. Die belastete Ausgangsspannung U2 = Ua ist proportional zum Parallelwiderstand Rers. Soll sich bei Belastung U2 nur unwesentlich verringern, dann muss der Laststrom klein im Vergleich zum Querstrom sein. Die Forderung ist erfüllt, wenn für den Querstrom Iq > (5 ... 10)·IL gilt. RLast ist dann 5 bis 10mal größer als R2.

Übertragungsfaktor des Spannungsteilers

Der Übertragungsfaktor eines belasteten Spannungsteilers ist das Verhältnis der Ausgangsspannung Ua zur Eingangsspannung Ue. Die Spannungen sind direkt proportional zu den Widerständen an denen sie gemessen werden. Solange der Lastwiderstand keinen Kurzschluss darstellt und größer null ist gilt für den Übertragungsfaktor: \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{{{R_2}||{R_{Last}}}}{{{R_1} + {R_2}||{R_{Last}}}} = \frac{{{R_{ers}}}}{{{R_1} + {R_{ers}}}}\] Der Übertragungsfaktor einer passiven Schaltung ist immer ≤1. Für die normierte Übertragungsfunktion wird durch den Zählerausdruck dividiert: \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{1}{{\frac{{{R_1}}}{{{R_{ers}}}} + 1}} = \frac{1}{{{R_1}\left( {\frac{{{R_2} + {R_{Last}}}}{{{R_2}\,{R_{Last}}}}} \right) + 1}}\] \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{1}{{\frac{{{R_1}}}{{{R_{Last}}}} + \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} + 1}}\] Ist der Lastwiderstand sehr groß oder nicht vorhanden, dann handelt es sich um einen unbelasteten Spannungsteiler mit dem Teilerverhältnis: \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{1}{{\frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} + 1}}\quad wenn\quad {R_1} = {R_2}\quad \Rightarrow \quad {U_a} = 0,5 \cdot {U_e}\]

Potenziometer

Potenziometer (Potentiometer) sind einstellbare Widerstände für ein kontinuierlich variables Teilerverhältnis. Auf der gesamten Widerstandsbahn zwischen Anfang und Ende befindet sich ein beweglicher Schleifkontakt S der mit dem dritten Anschlusspol verbunden ist. Die Widerstandsbahn kann als Schichtwiderstand oder Widerstandsdrahtwendel ausgeführt sein. Sind die Kontakten A und B mit einer Spannungsquelle verbunden, dann ist je nach Schleiferstellung S zum Widerstandsende A oder E eine Teilspannung messbar. Die folgenden Beschreibungen beziehen sich auf die Ausgangsspannung U2 = USE am Teilerwiderstand R2.

Bei einem homogenen Widerstandswerkstoff verläuft die Kennlinie des unbelasteten Potenziometers (Poti) linear. Bei einem Poti mit positiv logarithmischer Eigenschaft ändert sich der Wert des Teilerwiderstands bis ungefähr 40% des unteren Einstellbereichs langsam zunehmend und erst danach stark zunehmend. Ein Poti mit antilogarithmischer oder negativ logarithmischer Kennlinie verhält es sich umgekehrt.

Sind die Steigungen der Kennlinien ausgeprägter, wurden (werden) die Eigenschaften als positiv oder negativ exponentiell bezeichnet. Für Spezialanwendungen gab (gibt) es Potis mit S-förmigem Kennlinienverlauf. Die Bezeichnungen positiv oder negativ beziehen sich auf den Verlauf der Eigenschaftsänderung und nicht auf die bekannten mathematischen Exponential- oder Logarithmusfunktionen.

Jeder Widerstand und jedes Potenziometer ist entsprechend der Bauart für eine maximale Belastbarkeit PN ausgelegt. Der Hersteller gibt im Datenblatt die Verlustleistung für den Bahnwiderstand R an. Aus den Angaben kann mit \({I_{\max }} = \sqrt {{P_N}/R} \) der maximal zulässige Strom errechnet werden. Er darf unbelastet und belastet an keiner Stelle der Widerstandsbahn überschritten werden.

Belastetes Potenziometer

Der folgende Videoclip zeigt die Auswirkungen verschiedener Belastungen auf ein Potenziometer mit linearer Kennlinie. Der Maximalstrom für das Poti beträgt 3,2 mA. Der Bahnwiderstand des Potenziometers ist in die beiden Teilwiderstände R1 und R2 geteilt. Der untere Teilwiderstand R2 wird durch parallel geschaltete Lastwiderstände RLast mehr oder weniger belastet. Für die Übertragungsfunktion gelten die zuvor beschriebenen mathematischen Zusammenhänge. Im praktischen Einsatz ist der Lastwiderstand der Eingangswiderstand einer Folgeschaltung. Mit der einblendbaren Controlleiste kann das Video individuell gesteuert werden.

Lineares Poti mit logarithmischer Kennlinie

In der Audiotechnik werden oft Potis mit logarithmischem Kennlinienverlauf eingesetzt. Das steht im Zusammenhang mit der nichtlinearen Hörkurve unserer Ohren. Die Auswahl logarithmischer Potis ist geringer als die mit linearer Kennlinie. Käufliche Potis mit logarithmischer Kennlinie haben oft einen abgestuften Kennlinienverlauf. Ihr Bahnwiderstand ist eine Abfolge von drei oder vier Abschnitten mit unterschiedlich linearem Verlauf.

Muss ein logarithmisches Poti ersetzt werden, so kann es durch ein lineares Poti mit identischem Bahnwiderstand ersetzt werden. Diesem Poti muss parallel zum einstellbaren Teilwiderstand ein Wirkwiderstand geschaltet werden. Von diesem Widerstandswert abhängig entsteht ein nachgebildeter positiv logarithmischer Verlauf. Wird der Zusatzwiderstand zum anderen Ende des Potis geschaltet, dann ergibt sich ein negativ logarithmischer Verlauf. Der Eingangswiderstand der Folgestufe sollte groß genug sein, damit das Teilerverhältnis nicht zusätzlich belastet wird.

Ein lineares Poti mit dem Bahnwiderstand 10 kΩ zeigt den Verlauf der hellgrünen Ausgangsspannung für jeweils 10% Änderungen der Schleiferstellung. Wird parallel zum Schleifer der Wirkwiderstand R3 = 22 kΩ geschaltet, so ändert sich am linearen Verlauf der dunkelgrünen Ausgangsspannung erwartungsgemäß fast nichts. Wird der Wert auf R3 = 2 kΩ verkleinert, so zeigt die Ausgangspannung mit rotem Verlauf eine in Richtung gehende positiv logarithmische Eigenschaft. Wird der Widerstandswert auf R3 = 1 kΩ verkleinert, so ist der simulierte logarithmische Verlauf noch ausgeprägter.

Neben den hier vorgestellten Spannungsteilern mit Wirkwiderständen gibt es kapazitive Spannungsteiler. Sie werden in der Wechselspannungs- und Signaltechnik benötigt. Vielfach sind es abgestimmte RC-Kombinationen. Die Berechnung von Mischschaltungen mit Wechselstromwiderständen sollte mithilfe der komplexen Wechselstromrechnung mit der Normal-(Komponenten)form durchgeführt werden. Nähere Hinweise dazu sind im Kapitel Operatoren der Widerstände und Leitwerte zu finden. Für eine RC-Phasenschieberkette wird die ausführliche Berechnung nach diesem Schema gezeigt.