Spannungsteiler mit Wirkwiderständen

Alle Gesetzmäßigkeiten gelten für Gleich- und Wechselspannung. Liegt Spannung an einer Reihenschaltung realer Widerstände, so ist an jedem einzelnen Widerstand eine Teilspannung messbar. Die Aufteilung der angelegten Spannung erfolgt im Verhältnis der Widerstandswerte.

Kennliniendiagramm eines unbelasteten Spannungsteilers

In einem Strom-Spannungs-Diagramm kann mit den im Labor ermittelten Messwerten für jeden der beiden Widerstände die Kennlinie gezeichnet werden. Die Spannungsachsen haben die gleiche Unterteilung, zählen aber gegenläufig. Allgemein wird nur eine Spannungsachse mit der Teilung für die anliegende Gesamtspannung gezeichnet. Abgelesen werden die Teilspannungen im gemeinsamen Schnittpunkt beider Kennlinien.

Die Eingangsspannung liegt an der Reihenschaltung der beiden Widerstände. Die Spannungen sind proportional zu den Widerständen an denen sie gemessen werden: \[\begin{array}{l} {U_o} = {U_{R1}} + {U_{R2}}\\ {U_{R1}} \propto {R_1}\quad {U_{R2}} \propto {R_2}\quad {U_o} \propto {R_1} + {R_2} \end{array}\] Zur Berechnung der Teilspannungen gelten die Formeln: \[\begin{array}{l} \frac{{{U_{R1}}}}{{{U_o}}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}\quad \Rightarrow \quad {U_{R1}} = {U_o} \cdot \frac{{{R_1}}}{{{R_1} + {R_2}}}\\ \frac{{{U_{R2}}}}{{{U_o}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}}\quad \Rightarrow \quad {U_{R2}} = {U_o} \cdot \frac{{{R_2}}}{{{R_1} + {R_2}}} \end{array}\] Der unbelastete Spannungsteiler ist ein Idealmodell. Praktisch ist an einem der Widerstände eine Folgeschaltung angeschlossen. Eine der Teilspannungen wird zur Quellenspannung für die belastende Folgeschaltung und wird die Spannungen des unbelasteten Spannungsteilers beeinflussen. Ist der vom Lastwiderstand benötigte Strom sehr klein im Vergleich zum Strom des Spannungsteilers, dann sind die Änderungen der Teilspannungen praktisch vernachlässigbar.

Belasteter Spannungsteiler

Bei Belastung soll U2 am Teilerwiderstand R2 zur Quellenspannung für eine nachfolgende Schaltung sein. Der Lastwiderstand RLast liegt parallel zum R2. Am Anschlusspunkt teilt sich der Strom auf und durch R2 fließt ein geringerer Strom als zuvor. Er wird oft als Querstrom Iq bezeichnet, da er parallel (quer) zur Belastung fließt. Die Parallelschaltung hat einen kleineren Widerstandswert und die Ausgangsspannung ist kleiner als im unbelasteten Zustand. Die von der Last abhängige Teilspannung U2 kann errechnet werden, wenn zuvor der Ersatzwiderstand Rers der Parallelschaltung bestimmt wird.

\[\begin{array}{l} {U_1} = I\,{R_1}\quad \quad {U_2} = I \cdot \frac{{{R_2}\,{R_{Last}}}}{{{R_2} + {R_{Last}}}} = I \cdot {R_{ers}}\\ \frac{{{U_2}}}{U} = \frac{{{R_{ers}}}}{{{R_1} + {R_{ers}}}}\quad \quad {U_2} = U \cdot \frac{{{R_{ers}}}}{{{R_1} + {R_{ers}}}} \end{array}\] Die Ausgangsspannung des unbelasteten Spannungsteilers entspricht dem Verhältnis der Teilerwiderstände. Wird U2 belastet und sollte sich nur unwesentlich verringern, dann muss der Querstrom groß genug sein. Die Forderung ist erfüllt, wenn für den Querstrom Iq = (5 ... 10)·IL gilt. Der Lastwiderstand muss dann 5 bis 10mal größer als der durch ihn belastete Teilerwiderstand sein.

Übertragungsfaktor des Spannungsteilers

Spannungen sind direkt proportional zu den Widerständen, an denen sie gemessen werden. Ströme müssen nicht berechnet werden. Verglichen wird das Verhältnis der Ausgangsspannung Ua zur Eingangsspannung Ue mit dem Widerstandsverhältnis, wo die Spannungen gemessen werden. Das Ergebnis ist ein benennungsloser Übertragungsfaktor kleiner 1. In aktiven Schaltungen wird das Verhältnis als Spannungsverstärkung bezeichnet. In passiven Schaltungen ist der Wert kleiner 1 und kennzeichnet eine Abschwächung. Ist die Übertragungsfunktion normiert, dann hat der Zähler der rechten Formelseite immer den Wert 1. \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{{{R_2}||{R_{Last}}}}{{{R_1} + {R_2}||{R_{Last}}}} = \frac{{\frac{{{R_2}\,{R_{Last}}}}{{{R_2} + {R_{Last}}}}}}{{{R_1} + \frac{{{R_2}\,{R_{Last}}}}{{{R_2} + {R_{Last}}}}}}\] Normieren, indem durch den Zähler dividiert wird: \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{1}{{\frac{{{R_2} + {R_{Last}}}}{{{R_2}\,{R_{Last}}}}\left( {{R_1} + \frac{{{R_2}\,{R_{Last}}}}{{{R_2} + {R_{Last}}}}} \right)}}\] \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{1}{{1 + \frac{{{R_1}\,({R_2} + {R_{Last}})}}{{{R_2}\,{R_{Last}}}}}}\]

Potenziometer

Potenziometer sind einstellbare Widerstände und ermöglichen ein variables Teilerverhältnis. Auf der gesamten Widerstandsbahn zwischen Anfang und Ende, oft als Schichtwiderstand oder Widerstandsdrahtwendel ausgeführt, ist ein beweglicher Schleifkontakt S vorhanden. Liegt Spannung an der gesamten Widerstandsbahn zwischen A und B an, dann ist zwischen dem Schleifer S und einem Widerstandsende A oder E eine einstellbare Teilspannung messbar. Das Teilerverhältnis der Spannungen ist von der Schleiferstellung und weiteren Eigenschaften des Bahnwiderstands abhängig. Die folgenden Beschreibungen beziehen sich auf die Ausgangsspannung U2 = USE am Teilerwiderstand R2. Entlang des nutzbaren Bahnwiderstands soll sich die Schleiferstellung linear von 0% bei E bis 100% bei A ändern.

Ist das Widerstandsmaterial homogen, dann verläuft die Kennlinie des unbelasteten Potenziometers (Poti) linear. Beim logarithmischen Poti, auch als positiv logarithmisch bezeichnet, ändert sich der Wert des Teilerwiderstands in der unteren Hälfte des Einstellbereichs langsam zunehmend und erst im oberen Bereich stark zunehmend. Ein Poti mit antilogarithmischem auch als negativ logarithmisch bezeichnetem Kennlinienverlauf verhält es sich umgekehrt. Im unteren Einstellbereich sind die Änderungen sehr groß und im oberen Bereich flacht die Steigung der Kennlinie zunehmend ab.

Sind die Steigungen der Kennlinien noch ausgeprägter, wurden (werden) die Eigenschaften als positiv oder negativ exponentiell bezeichnet. Für Spezialanwendungen gibt es Potis mit S-förmigem Kennlinienverlauf. Die Bezeichnungen positiv oder negativ beziehen sich auf den Verlauf der Eigenschaftsänderung und nicht auf die bekannten mathematischen Exponential- oder Logarithmusfunktionen.

Jeder Widerstand und jedes Potenziometer ist entsprechend der Bauart für eine maximale Belastbarkeit PN ausgelegt. Der Hersteller gibt im Datenblatt die Verlustleistung für den Bahnwiderstand R an. Aus den Angaben kann mit \({I_{\max }} = \sqrt {{P_N}/R} \) der maximal zulässige Strom errechnet werden, der an keiner Stelle der Widerstandsbahn überschritten werden darf.

Belastetes Potenziometer

Der folgende Videoclip zeigt die Auswirkungen unterschiedlicher Belastungen auf ein Potenziometer mit linearer Kennlinie. Der Maximalstrom für das Poti beträgt 3,2 mA. Das Verhalten wird für verschiedene zunehmende Belastungen gezeigt. Mit der einblendbaren Controlleiste kann das Video individuell gesteuert werden.

In der Potenziometerschaltung ist der Bahnwiderstand in die beiden Teilwiderstände R1 und R2 geteilt. Der untere Teilwiderstand R2 soll durch R3 = RLast belastet werden. Oft ist das der Eingangswiderstand einer Folgeschaltung. Die anfangs hergeleitete Übertragungsfunktion kann übersichtlicher geschrieben werden. Der Bahnwiderstand des Potis ist gleich der Summe der Teilwiderstände. Der variable und belastete Widerstand ist R2. \[{R_{Poti}} = {R_1} + {R_2}\quad \Rightarrow \quad {R_1} = {R_{Poti}} - {R_2}\] \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{1}{{\frac{{{R_2}\,{R_{Last}} + {R_1}\,({R_2} + {R_{Last}})}}{{{R_2}\,{R_{Last}}}}}}\] Wird in der Übertragungsfunktion der Widerstand R1 ersetzt, bleibt als einzige Variable der eingestellte Widerstand des Potis, mit der angeschlossenen konstanten Belastung übrig: \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{1}{{\frac{{{R_2}\,{R_{Last}} + ({R_{Poti}} - {R_2})({R_2} + {R_{Last}})}}{{{R_2}\,{R_{Last}}}}}}\] \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{1}{{\frac{{{R_{Poti}}\,{R_2} + {R_{Poti}}\,{R_{Last}} - {R_2} \cdot {R_2}}}{{{R_2}\,{R_{Last}}}}}}\] Den Nenner in Einzelbrüche zerlegen und kürzen: \[\frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{1}{{\frac{{{R_{Poti}}}}{{{R_{Last}}}} + \frac{{{R_{Poti}}}}{{{R_2}}} - \frac{{{R_2}}}{{{R_{Last}}}}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{1}{{\frac{{{R_{Poti}}}}{{{R_2}}} + \frac{{{R_{Poti}} - {R_2}}}{{{R_{Last}}}}}}\]

Lineares Poti mit logarithmischer Kennlinie

In der Audiotechnik werden oft Potis mit logarithmischem Kennlinienverlauf eingesetzt. Das steht im Zusammenhang mit der nichtlinearen Hörkurve unserer Ohren. Die Auswahl logarithmischer Potis ist geringer als die mit linearer Kennlinie. Wird dem linearen Poti parallel zum einstellbaren Teilerwiderstand ein Wirkwiderstand geschaltet, dann zeigt die Übertragungsfunktion einen nachgebildeten logarithmischen Verlauf. Das ist auch schon im Video des belasteten Potis erkennbar, nur dass jetzt der Parallelwiderstand nicht der Eingangswiderstand der Folgeschaltung ist. Käufliche Potis mit logarithmischer Kennlinie haben sehr oft einen gestuften Kennlinienverlauf. Der Bahnwiderstand ist eine Abfolge von drei oder vier Abschnitten mit unterschiedlich linearem Verlauf.

Im Versuch wurde ein lineares Poti mit dem Bahnwiderstand 10 kΩ am Schleifer mit einem Parallelwiderstand belastet. Liegt dessen Wert bei 20% des Bahnwiderstands, so entspricht die Kennlinie recht gut der eines logarithmischen Potis. Mit einem noch kleineren Parallelwiderstand 10% zeigt die Kennlinie einen positiv exponentiellen Verlauf. Wird in der letzten hergeleiteten Übertragungsfunktion für den konstanten Bahnwiderstand Rpot = 1 und für R3 = 0,2 gesetzt, dann kann als einzige variable Größe der Teilerwiderstand R2 schrittweise zwischen 0 bis 1 variiert werden. Ein mathematisches Programm mit graphischer Darstellung der Funktionsgleichung zeigt die zugehörige Kennlinie. Das gleiche Ergebnis wird auch mit passend definierten Widerstandswerten und einstellbarer linearer Teilung erhalten.

Neben den hier vorgestellten Spannungsteilern mit Wirkwiderständen gibt es kapazitive Spannungsteiler. Sie werden in der Wechselspannungs- und Signaltechnik benötigt. Vielfach sind es abgestimmte RC-Kombinationen. Die Berechnung von Mischschaltungen mit Wechselstromwiderständen sollte mithilfe der komplexen Wechselstromrechnung mit der Normal-(Komponenten)form durchgeführt werden. Nähere Hinweise dazu sind im Kapitel Operatoren der Widerstände und Leitwerte zu finden. Für eine RC-Phasenschieberkette wird die ausführliche Berechnung nach diesem Schema gezeigt.