Informations- und Kommunikationstechnik

Die Spule im Gleichstromkreis

Eine Spule ist die Abfolge vieler in Reihe verbundener Drahtschleifen. Sie sind meistens auf einen mechanischen Träger, dem Spulenkörper, oft auch in mehreren Lagen übereinander aufgewickelt. Eine Spule besitzt immer einen ohmschen Widerstand. Er errechnet sich aus der der elektrischen Leitfähigkeit, des Leiterdrahts, der Drahtlänge und dem Leiterquerschnitt. Verglichen mit den Eigenschaften der Induktivität hat der ohmsche Anteil praktisch weniger Einfluss. Weitere allgemeine Eigenschaften einer Spule sind in einem eigenen Kapitel beschrieben.

Wird an eine Spule eine konstante Gleichspannung gelegt, können mit einem Zweikanaloszilloskop Spannungs- und Stromänderungen bildlich dargestellt werden. Für die Strommessung muss ein kleiner ohmscher Widerstand in Reihe geschaltet werden, um die Stromänderungen als proportionale Spannungsänderungen darzustellen. Bei vielen Oszilloskopen ist die Bezugsmasse der Kanäle identisch. Mit dem einen Kanal wird die Spannung an der Reihenschaltung und mit dem anderen Kanal nur die Spannung zusätzlichen am Messwiderstand erfasst. Dieser Strommesswiderstand sollte daher klein im Vergleich zum Drahtwiderstand der Spule sein. Die Auswertung ergibt anfangs einen nichtlinearen Verlauf beider Messgrößen. Nach einer bestimmten Zeit bleiben die Messwerte konstant. Das Verhalten einer Spule im Gleichstromkreis ist somit vergleichbar mit dem Aufladen eines Kondensators an einer Gleichspannungsquelle. Im Unterschied zum Kondensator speichert die Spule die zugeführte Energie im Magnetfeld und der Kondensator im elektrischen Feld.

Schaltdiagramme im Gleichstromkreis

Der folgende Videoclip zeigt für drei verschiedene Induktivitäten die Ein- und Ausschaltvorgänge. Der Drahtwiderstand der Spule ist im Vorwiderstand enthalten. Für den Einschaltprozess ist die DC-Quelle konstant. Der Ausschaltprozess beginnt mit dem maximalen Magnetfeld der Spule. Für jede Induktivität hat der Vorwiderstand im Vergleich zum Einschaltprozess den doppelt Widerstandswert für den Ausschaltprozess. Der Videoclip kann nur mithilfe der einblendbaren Controlleiste gesteuert werden.

Mit dem Schließen des Stromkreises nimmt der Strom von null ausgehend nur langsam zu. Das scheint für eine Schaltung mit einem ohmschen Drahtwiderstand ungewöhnlich zu sein. Jede reale Spule ist eine Reihenschaltung, die ihre beiden Eigenschaften des ohmschen Drahtwiderstands R und der idealen Induktivität L (Spule) vereint. Da die DC-Quellenspannung konstant ist, muss die Induktivität eine Gegenspannung (Induktionsspannung) erzeugen, sodass am oberen Spulenanschluss die Differenzspannung den Spulenstrom bestimmt. Die Gegenspannung ist kurz nach dem Einschalten fast so hoch wie die Quellenspannung. Die den Strom treibende Differenzspannung ist klein und proportional dazu ist auch der Strom klein.

Strom- und Spannungsdiagramm mit Zeitkonstanten

Das Messdiagramm bestätigt die Aussage. Sogleich nach dem Einschalten ist die Spannung UL an der Spule maximal und der Strom IL minimal. Der geringe Einschaltstrom nimmt im weiteren Zeitverlauf zu und die Spannung an der Spule ab. Der Vorgang kann mathematisch mit Exponentialfunktionen (e-Funktion) beschreiben werden. Nach einer bestimmten Zeit fließt ein konstanter Strom, der sich aus der DC-Versorgungsspannung und dem Drahtwiderstand der Spule berechnet.

Im konstanten Gleichspannungsbetrieb wird parallel zur Spule nur der Spannungsfall gemessen, der proportional zum ohmschen Drahtwiderstand ist. Durch die Spule fließt dann der maximale vom Drahtwiderstand begrenzte Strom. Die Zeitdauer bis zum Erreichen dieses stabilen Endzustands ist vom Wert des Drahtwiderstands der Spule und falls vorhanden einem zusätzlichen Vorwiderstand abhängig. Die Versuche zeigen, dass mit einem größeren Widerstandswert der Endzustand schneller erreicht wird. Praktisch wird er nach fünf Zeitkonstanten (5 τ) erreicht. Die Zeitkonstante tau ist definiert als τ = L / R, dem Verhältnis aus der Induktivität L und dem ohmschen Serienwiderstand R.

Die Zeitkonstante τ ist zur Induktivität direkt und zum Schaltwiderstand der Spule umgekehrt proportional.
Nach 1 τ hat der Einschaltstrom 63 % seines Endwertes erreicht. Die Schaltzeit einer Spule beträgt 5 τ.

Die Reihenschaltung von Spulen

Sind in einem Stromkreis mehrere Induktivitäten in Reihe geschaltet, deren Magnetfelder sich nicht gegenseitig beeinflussen, dann ist die Gesamtinduktivität gleich der Summe der Einzelwerte.

L = L1 + L2 + ... + Ln

Die Parallelschaltung von Spulen

Für parallel geschaltete Spulen, deren Magnetfelder sich gegenseitig nicht beeinflussen, berechnet sich die Gesamtinduktivität wie folgt:

Formel für parallel geschaltete Spulen

Die magnetische Energie einer Spule

Eine an Gleichspannung angeschlossene reale Spule erhält elektrische Energie. Ein Teil wird am Wirkwiderstand in Wärme umgesetzt. Der größere Teil wird im Magnetfeld gespeichert. Da es sich um einen nichtlinearen dynamischen Vorgang handelt, kann nur mit differenziell kleinen Zeitabschnitten gerechnet werden. Die endgültige Beziehung ergibt sich durch Integration.

Berechnung der magnetischen Energie einer Spule

Weitere Informationen zur Spule im Wechselstromkreis sind auf der Seite: Wechselstromwiderstände, induktiver Blindwiderstand zu finden.

Das Einschaltverhalten und die Selbstinduktionsspannung

Fließt elektrischer Strom durch eine Spule, so entsteht um jede Leiterwindung ein magnetischer Fluss und die Spule baut ein Magnetfeld auf. Proportional zur Stromänderung ändert sich der magnetische Fluss. So wie durch magnetische Fremderregung an den Spulenenden eine Induktionsspannung erzeugt wird, so reagiert sie auch auf ihr eigenes sich ändernde Magnetfeld, das durch einen eingeprägten Strom entsteht. Die Spule generiert die Selbstinduktionsspannung UL und wird zur Spannungsquelle. Nach der Lenzschen Regel ist UL so gerichtet, dass sie der Stromänderung entgegen wirkt.

Selbstinduktion durch Fremderregung

Im Einschaltmoment ist die Stromänderung am größten und die Selbstinduktionsspannung fast gleich der Quellenspannung. Wäre die Lenzsche Regel nicht erfüllt, dann würde die Schaltung von sich aus zusätzliche Energie erzeugen. Für ein geschlossenes System gilt, dass Energie nicht erzeugt oder vernichtet werden kann. Die Energiesumme eines geschlossenen Systems bleibt konstant aber die einzelnen Energiearten können sich ändern.

Mathematische Herleitungen

Die Messprotokolle zeigen, dass zum Zeitpunkt t = 0 der Strom I(t) = 0 ist. Es soll sich um eine reale Spule mit der idealen Induktivität L und dem Drahtwiderstand RCu handeln. Der zeitliche Stromverlauf wird durch eine e-Funktion beschrieben. Im Exponenten steht das Verhältnis t / τ als reiner Zahlenwert. Damit nach einiger Zeit ein konstanter Strom erreicht wird, muss der Exponent negativ sein. Die Änderung des Stroms nach der Zeit wird mithilfe der 1. Ableitung der e-Funktion bestimmt.

e-Funktion Stromänderung beim Einschalten

Die Grenzwertbetrachtung zeigt, dass beim Einschalten die zeitliche Änderung des Stroms am größten ist und nach dem Aufbau des Magnetfelds gegen null strebt. Wird mit einer zeitlich konstanten Stromänderung das Magnetfeld einer Spule generiert, dann ändert sich proportional dazu die Induktionsspannung. Nach der Lenzschen Regel muss mit der Polarität dieser Spannung der Stromänderung entgegen gewirkt werden. Die Proportionalitätskonstante ist die Induktivität L der Spule. Damit kann der Spannungsverlauf für den Einschaltvorgang mathematisch hergeleitet werden.

e-Funktion Spannungsänderung beim Einschalten

Die Grenzwertbetrachtung bestätigt die Messergebnisse. Der absolute Wert der Induktionsspannung ist zum Zeitpunkt t = 0 gleich der angelegten DC-Betriebsspannung. Als Selbstinduktionsspannung ist das Vorzeichen dem der Quellenspannung U0 entgegengesetzt. Ändert sich nach fünf Zeitkonstanten mit dI / dt = 0 das Magnetfeld nicht mehr, dann ist die Selbstinduktionsspannung Uind = 0.

Der Verlauf der (Selbst)-Induktionsspannung wird vom Drahtwiderstand oder dem Gesamtwiderstand aus Vorwiderstand und Drahtwiderstand bestimmt. Nach dem Einschalten ergeben sich die Spannungsänderungen am Widerstand aus der Summe der Betriebsspannung und der Selbstinduktionsspannung. Das kann mathematisch wie folgt geschrieben werden.

e-Funktion für U und I am Widerstand beim Einschalten einer Spule

Nach 5·τ ist das Magnetfeld praktisch vollständig aufgebaut und es fließt der von der Quellenspannung und dem ohmschen Widerstandswert bestimmte maximale Strom. Eine Spule mit kleinem Drahtwiderstand schließt eine Gleichspannungsquelle nahezu kurz.

Das Abschaltverhalten

Der Videoclip und die Messprotokolle für Labor- oder Simulationsversuche zeigen, dass nach fünf Zeitkonstanten der Einschaltvorgang beendet ist. Die Spule hat ihr Magnetfeld vollständig aufgebaut und hält die darin gespeicherte Energie mit dem fließenden Maximalstrom. Es gibt keine zeitlichen Änderungen und somit keine Selbstinduktionsspannung. Wird die Spannungsquelle abgeschaltet und der Stromkreis nach Masse geschlossen, dann zeigen die Messungen, dass der Strom in der gleichen Richtung wie zuvor weiterfließt. Ausgehend vom maximalen Wert nimmt er von diesem Zeitpunkt t = 0 exponentiell zum Wert null ab. Die Energie erhält er aus der magnetischen Feldstärke, die dabei gegen null abnimmt.

Selbstinduktion beim Abschalten der Versorgungsspannung

Beim Abschalten der Versorgungsspannung wirkt die Spule nach dem Induktionsgesetz und der Lenzschen Regel dem Verlust des Versorgungsstroms entgegen. Das Magnetfeld erhält keine Energie und die Feldstärke nimmt ab. Um dieser Abnahme entgegen zu wirken, muss der fehlende Erregerstrom ausgeglichen werden. Die Spule generiert mithilfe des Magnetfelds eine Spannung, die nach der Lenzschen Regel so gepolt ist, dass der Strom in der ursprünglichen Richtung weiter fließt. Die Polarität der (Selbst)Induktionsspannung ist gleich der, wie sie die Versorgungsspannung hatte. Sie ist entgegengesetzt zur Polarität der Selbstinduktionsspannung beim Einschaltvorgang. Ist das Magnetfeld nach fünf Zeitkonstanten abgebaut, haben Strom und Spannung ihren Endwert null erreicht.

Mathematische Herleitungen

Zum Abschaltmoment fließt der Strom, der sich aus der Versorgungsspannung und dem Drahtwiderstand RCu der Spule errechnet. Um den Stromkreis zu schließen, wird zum Drahtwiderstand ein äußerer Widerstand Rv in Reihe geschaltet. In der Zeitkonstante wirkt nun der Gesamtwiderstand R der Schaltung. Der Strom nimmt nach einer e-Funktion ab und zeitliche Stromänderung wird mithilfe der 1. Ableitung dieser Funktion bestimmt.

e-Funktion für Abschaltstrom an einer Spule

Das Minuszeichen weist auf die Stromabnahme hin. Die Geschwindigkeit der Stromabnahme wird vom Vorwiderstand RV bestimmt. In der e-Funktion steht im Exponenten der Widerstand R im Zähler. Je größer sein Wert ist, desto steiler verläuft die e-Funktion und der Strom nimmt schneller ab. Die Änderung der Induktionsspannung kann mit dem gleichen Ansatz hergeleitet werden, der weiter oben für den Einschaltmoment angewendet wurde.

e-Funktion für Induktionsspannung beim Abschalten

Die Grenzwertbetrachtungen bestätigen die experimentellen Beobachtungen. Die Induktionsspannung ist im Moment des Abschaltens am höchsten und vom Entladewiderstand abhängig. Je größer dieser Wert ist, desto höher ist die Spannungsspitze. Beim Ausschaltvorgang gelten für den Strom- und Spannungsverlauf die folgenden allgemeinen Gleichungen.

e-Funktion für Strom und Spannung beim Abschalten

Schutzvorkehrung gegen hohe Induktionsspannungen beim Abschalten

Mit einem Simulationsprogramm kann die Abschaltspannung gemessen werden. Eine Spule mit 100 mH und 10 Ω Drahtwiderstand wurde an U = 1 V Gleichspannung angeschlossen. Nach dem Erreichen des maximalen Gleichstroms I = 100 mA wurde der Stromkreis unterbrochen und die Spule mit einem Entladewiderstand R = 90 Ω nach Masse geschaltet. Zum Zeitpunkt der Unterbrechung errechnet sich die Induktionsspannung an der Spule zu 10 V. Die Simulation bestätigt das Ergebnis. Die Zeitkonstante zur Abschaltphase beträgt τ = 1 ms.

Induktionsspannung beim Abschalten

Bei gleicher 1 V Betriebsspannung aber einem Entladewiderstand von 990 Ω erreicht die Spannungsspitze im Abschaltmoment den Wert 100 V. Laststromkreise werden oft mit Relais geschaltet, deren transistorisierte Steuerschaltung mit Niederspannung von 12 bis 24 Volt und einem Arbeitsstrom von 50 mA erfolgt. Wird das Relais abgeschaltet, dann ist der Transistor extrem hochohmig. Die Spannungsspitze der Spule kann Werte erreichen, die oberhalb der erlaubten Kollektor-Emitter-Sperrspannung liegen. Zum Schutz des Transistors wird parallel zur Relaisspule eine sogenannte Freilaufdiode geschaltet. Zur DC-Betriebsspannung der Transistorschaltung ist sie in Sperrrichtung geschaltet. Im Abschaltmoment wird die Diode leitend und begrenzt die Spannungsspitze an der Spule auf ihre Durchlassspannung <1 V.

Werden größere Induktivitäten mit mechanischen Schaltern geschaltet, dann wird der Abschaltwiderstand vom Isolationswiderstand zwischen den Kontakten bestimmt. Wird für Luft mindestens 1 MΩ angenommen, dann ist die Abschaltspitze viele Kilovolt hoch. Trockene Luft isoliert rund 3 kV pro Millimeter. Ohne Schutzmaßnahmen bilden sich Funkenstrecken mit Kontaktabbrand oder sie verschweißen miteinander. Mit einem parallel geschalteten Widerstand oder einer RC-Reihenkombination können die Kontakte im AC-Betrieb geschützt werden. Im DC-Betrieb ist eine antiparallel geschaltete Freilaufdiode gut geeignet.