Der Kondensator im Gleichstromkreis

Ein Kondensator wird mit konstanter Gleichspannung über einen ohmschen Vorwiderstand aufgeladen. Während des Ladevorgangs werden gleichzeitig Strom und Spannung am Kondensator als Funktion der Zeit gemessen. Die Auswertung zeigt, dass innerhalb gleicher Zeitintervalle Strom und Spannung keinen linearen Verlauf haben. Neben dem Widerstandsverhalten eines Kondensators im Gleichstromkreis werden im weiteren Verlauf Kondensatoren in Reihenschaltung und Kondensatoren in Parallelschaltung beschrieben. Beim Laden fließt Strom und es werden elektrische Ladungen transportiert. Im Zeitintervall (Δt) errechnet sich die durch den Vorwiderstand transportierte Ladungsmenge zu:

ΔQ = I(t) · Δt

Der Kondensator wird mit ΔQ etwas aufgeladen, wobei sich seine Spannung um ΔU verändert.

ΔQ = C · ΔU

Die Ladungen ΔQ sind gleich, also sind auch die rechten Seiten beider Gleichungen gleich.

I(t) · Δt = C · ΔU

Der Strom kann durch die Spannung und den Vorwiderstandswert ersetzt werden.

Δt · U(t) / R = C · ΔU

Nach R·C aufgelöst, erkennt man, dass dieses Produkt die Dimension der Zeit in s hat.

Δt · U(t) / ΔU = R · C

R·C ist als Zeitkonstante definiert und erhält den griechischen Buchstaben τ (tau).

Die Zeitkonstante τ = R · C

Die Zeitkonstante τ ist von Strom und Spannung unabhängig und sagt etwas über die Aufladegeschwindigkeit eines Kondensators in der RC-Reihenschaltung aus. Je größer der Widerstandswert ist, desto langsamer wird der Kondensator geladen. Ebenso dauert der Ladevorgang eines größeren Kondensators bei gleichem Widerstandswert länger. Der Lade- und zugehörige Entladevorgang kann im folgenden interaktiven Lehrfilm untersucht werden.

Stellt der Browser im MS-Windows-Betriebssystem den Flashfilm nicht dar, kann er im Download als c_lade.zip gespeichert werden. Nach dem Entpacken steht der Lehrfilm als eigenständig lauffähige, gleichnamige EXE-Datei zur Verfügung.

Der Widerstand R begrenzt den Ladestrom. Wird zum Zeitpunkt t = 0 der Stromkreis geschlossen, so ist die gesamte Spannung nur über dem Widerstand messbar. Bei t = 0 hat der Kondensator noch keine Ladung und mit 0 V keine Spannung. Je mehr Ladung transportiert wird, desto mehr nimmt die Spannung am Kondensator zu. Entsprechend verringert sich die Spannung am Widerstand und nach dem Ohmschen Gesetz nimmt der Strom in der Reihenschaltung ab. Ist die Spannung am Widerstand auf den halben Anfangswert gesunken, so ist auch der Ladestrom nur noch halb so groß. In der Zeit t = t1 hat der Kondensator die Ladung Q1 = C·0,5·U (Gl.1) aufgenommen.

Im Strom-Zeit-Diagramm dargestellt entspricht die Fläche unter der Kurve der Kondensatorladung. Die graue Fläche ist ein Trapez mit dem Flächeninhalt: Q1 = (1 + 0,5)·0,5·I0·t1 = 0,75·I0·t1 Mit I0 = U / R und der Gl.1 von oben folgt t1 = 0,667·R·C
Diese Zeit wird Halbwertzeit th des RC-Glieds genannt. th = 0,7·R·C = 0,7·τ

Der Ladevorgang eines Kondensators an einer Konstantspannungsquelle zeigt nur innerhalb einer Halbwertzeit den oben linear dargestellten Stromverlauf. Genau genommen ist der Ladestrom nicht linear. Der Rundungsfaktor 0,7 ergibt eine sehr gute Näherung zum tatsächlichen Stromverlauf. Das folgende Diagramm stellt den genauen Ladevorgang eines Kondensators dar. Nach rund sieben Halbwertzeiten kann der Kondensator als aufgeladen betrachtet werden. Der exakte Stromendwert von 0% wird nie erreicht. Die Strom- und Spannungskurven nähern sich asymptotisch ihren Endwerten.

Nach Ablauf einer Halbwertzeit th hat der Ladestrom noch 50% seines Anfangswerts. Die Spannung am Kondensator ist auf 50% des Endwerts gestiegen. Nach Ablauf einer weiteren Halbwertzeit hat der Ladestrom auf 25% abgenommen und die Kondensatorspannung hat 75% ihres Endwerts erreicht. Die nach der ersten Halbwertzeit verbliebenen 50% haben sich erneut halbiert. Für jede weitere Halbierung der verbleibenden Prozente vergeht stets eine Halbwertzeit. Nach sieben Halbwertzeiten ist der Ladestrom praktisch auf null gefallen und der Kondensator hat seine endgültige Spannung erreicht.

Kurvenzüge mit gleich großen Halbwertzeiten werden als natürliche Funktionen oder Exponentialfunktionen, abgekürzt e-Funktionen, bezeichnet. Viele Naturvorgänge lassen sich mit e-Funktionen beschreiben. Sehr bekannte Beispiele sind der radioaktive Zerfall oder Erwärmungs- und Abkühlungsprozesse.

Im Diagramm oben ist auf der Zeitachse auch die Zeitkonstante τ des RC-Glieds eingetragen. Nach Ablauf von 1·τ ist der Ladestrom auf 37% seines Anfangswertes gefallen und die Ladespannung auf 63% ihres Endwertes gestiegen. Nach Ablauf von 5·τ Zeitkonstanten oder 7·th Halbwertzeiten gilt der Ladevorgang als beendet. Diese Zeit wird auch als Einschaltzeit des RC-Glieds bezeichnet.

Bei der Entladung folgt der Kurvenverlauf des Entladestroms und der Kondensatorspannung ebenfalls einer e-Funktion. Nach 5·τ sind die Kurven auf unter 1% ihres Anfangswertes gefallen. Diese Zeit wird Ausschaltzeit des RC-Glieds genannt. Beim Entladen fließt der Strom in entgegengesetzter Richtung durch den Widerstand.

Das Diagramm zeigt, dass sich der ungeladene Kondensator im Einschaltmoment wie ein Kurzschluss oder Widerstand mit 0 Ω verhält. Es fließt maximaler Strom und am Kondensator fällt keine Spannung ab. Nach Ablauf der Einschaltzeit ist der Kondensator aufgeladen und es fließt praktisch kein Strom mehr. Im Gleichstromkreis entspricht der Kondensator dann einem Widerstand mit unendlich hohem Wert entsprechend einer Unterbrechung. Für den Wechselstromwiderstand eines Kondensators gibt es ein eigenes Kapitel.

Im Einschaltmoment verhalten sich ungeladene Kondensatoren wie ein Kurzschluss.
Im Gleichstromkreis verhalten sich vollständig aufgeladene Kondensatoren wie eine Unterbrechung. Ihr Widerstandswert ist extrem groß.
Innerhalb der Zeitkonstante 1·τ eines RC-Glieds wird ein Kondensator auf 63% seines Endwertes aufgeladen oder auf 37% seines Anfangswertes entladen.
Nach 5·τ gilt ein Kondensator als praktisch vollständig auf- bzw. entladen. Diese Zeit wird auch als Einschalt- oder Ausschaltzeit des RC-Glieds bezeichnet.
Der Lade- und Entladevorgang wird durch eine e-Funktion beschrieben. Die Halbwertzeit beträgt th = 0,7·τ

Die e-Funktionen des Lade- und Entladevorgangs

Widerstandsverhalten im Gleichstromkreis

Der einfachste Kondensator besteht aus zwei gegeneinander isoliert, parallel angeordneten Metallflächen. Dieser Aufbau entspricht im Stromkreis einer Unterbrechung mit einem extrem hohen Widerstandswert. Ist ein entladener Kondensator am Ohmmeter angeschlossen, so zeigt das Messgerät einen extrem großen Wert oder Unterbrechung an.

Während der Ladeprozesse ändern sich die Strom- und Spannungswerte. Zu jedem Zeitpunkt der Umladung kann mithilfe des ohmschen Gesetzes aus den ablesbaren Strom- und Spannungswerten der zugehörige Widerstandswert errechnet werden. Innerhalb der Ladezeiten ist der Widerstand eines Kondensators zeitabhängig und nicht konstant. Die Tabelle zeigt für die ersten fünf Halbwertzeiten die nach dem ohmschen Gesetz errechenbaren Widerstandsfaktoren.

Im Umschaltmoment zum Zeitpunkt t = 0 ist der Widerstandsfaktor R(t) = 0 Ω. Der Kondensator verhält sich wie ein Kurzschluss. Mit zunehmender Zeit nimmt der Widerstandswert exponentiell zu und strebt gegen einen sehr hohen Wert. Da nach der Umladung der praktische Stromwert I(t) = 0 ist, geht R(t) gegen unendlich. Aus den Zeitfunktionen für Strom und Spannung kann die Zeitfunktion des Widerstands Gl.(1) auch rechnerisch hergeleitet werden. Die Rechnungen zeigen auch den genauen Zusammenhang zwischen der Halbwertzeit und der Zeitkonstante.

Sicherheitshinweise

Ein aufgeladener Kondensator ist ein Energiespeicher und hat die Eigenschaften einer Spannungsquelle. Da im ersten Moment der Entladung der Maximalstrom fließt, verhält sich zu diesem Zeitpunkt der Kondensator wie eine ideale Spannungsquelle. Die Entladung durch Kurzschluss sollte daher vermieden werden. Kondensatoren großer Kapazität erzeugen bei Kurzschluss einen Stromimpuls mit einigen Tausend Ampere, der zur Zerstörung des Bauteils führen kann. Folgende Sicherheitsvorkehrungen sind zu beachten:

Kondensatoren hoher Kapazität sollten über einem Widerstand strombegrenzt aufgeladen werden.
Aufgeladene Kondensatoren sollten nicht frei berührbar liegen gelassen werden.
Kondensatoren sind vor dem Ein- oder Ausbau in Schaltungen zu entladen.
Kondensatoren großer Kapazität sollten über einen Lastwiderstand strombegrenzt entladen werden.

Die Reihenschaltung von Kondensatoren

Werden Kondensatoren gleicher Bauart in Reihe geschaltet, so kann man sich einen Ersatzkondensator vorstellen, dessen Platten- oder Belagabstand gleich der Summe der Einzelbelagabstände ist. Die Kapazität verhält sich umgekehrt proportional zum Belagabstand. Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren ist die Gesamtkapazität kleiner als die kleinste Einzelkapazität.

Werden im Gleichstromkreis unterschiedliche Kondensatoren in Reihe geschaltet, so erhalten alle Kondensatoren die gleiche Ladungsmenge. Ist der Kondensator mit der kleinsten Kapazität vollständig aufgeladen, so fließt kein Ladestrom mehr, da dieser Kondensator keine weitere Ladung mehr aufnehmen kann. Der Ladevorgang aller Kondensatoren ist beendet und für die Gesamtladung gilt:

Die Spannung U, die an der Reihenschaltung anliegt, ist gleich der Summe der Teilspannungen. Die Gesamtkapazität der in Reihe geschalteten Kondensatoren wird von U auf die Ladung Q aufgeladen.

Durch Einsetzen und entsprechendes Umformen erhält man für die Gesamtkapazität beliebiger in Reihe geschalteter Kondensatoren:

Sind Kondensatoren in Reihe geschaltet, dann ist die Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten gleich dem Kehrwert der Gesamtkapazität.
Die Gesamtkapazität in Reihe geschalteter Kondensatoren ist stets kleiner als die kleinste Einzelkapazität.

In der Wechselstromtechnik hat die Reihenschaltung von Kondensatoren ein anderes Verhalten. Eine besondere Bedeutung kommt dem kapazitiven Spannungsteiler zu, der in einem eigenen Kapitel beschrieben wird.

Die Parallelschaltung von Kondensatoren

Werden zwei Kondensatoren gleicher Bauart parallel geschaltet, so addieren sich nur die Belagflächen. Der Plattenabstand und das Dielektrikum bleiben gleich. Die Kapazität ist direkt proportional zur Belagfläche. Die Gesamtkapazität errechnet sich durch Addition der einzelnen Kapazitätswerte. Die Skizze verdeutlicht diese Aussage.

In der Parallelschaltung liegen alle Kondensatoren an der gleichen Spannung und nehmen ihrem Kapazitätswert entsprechend Ladungen auf.

Die aufgenommene Gesamtladung entspricht der Summe der Einzelladungen. Diese Ladung hat bei der Spannung U dann ein Kondensator mit der zu bestimmenden Gesamtkapazität.

Durch Einsetzen und Umformen der Gleichungen erhält man die Gesamtkapazität als Summe der Einzelkapazitätswerte. Diese Aussage gilt für beliebig viele parallel geschaltete Kondensatoren.

Die Gesamtkapazität parallel geschalteter Kondensatoren ist die Summe der Einzelkapazitäten.

Die Eigenschaften der Kondensatoren im Wechselstromkreis sind an verschiedenen Stellen im Webprojekt behandelt. Der Wechselstromwiderstand eines idealen Kondensators ist in einem Kapitel beschrieben. Im Bereich Analogtechnik werden für den Wechselstrombereich viele Schaltungen mit RC- und RCL-Kombinationen eingehender behandelt.