Informations- und Kommunikationstechnik

Der Kondensator im Gleichstromkreis

An einer konstanten Gleichspannungsquelle wird über einen ohmschen Vorwiderstand ein Kondensator aufgeladen. Während des Ladevorgangs werden gleichzeitig Strom und Spannung am Kondensator als Funktion der Zeit gemessen. Die Auswertung zeigt, dass innerhalb gleicher Zeitintervalle Strom und Spannung keinen linearen Verlauf haben. Nach der Beschreibung des Widerstandsverhaltens eines Kondensators im Gleichstromkreis folgen Hinweise zu Kondensatoren in Reihenschaltung und Kondensatoren in Parallelschaltung. Während der Ladezeit werden elektrische Ladungen transportiert. Die Ladungsänderung pro Zeitintervall ist gleich dem elektrischen Strom. Im Zeitintervall (Δt) errechnet sich die durch den Vorwiderstand transportierte Ladungsmenge zu:

ΔQ = I(t) · Δt
Der Kondensator wird mit ΔQ etwas aufgeladen, wobei sich seine Spannung um ΔU verändert.
ΔQ = C · ΔU
Die Ladungen ΔQ sind gleich, also sind auch die rechten Seiten beider Gleichungen gleich.
I(t) · Δt = C · ΔU
Der Strom kann durch die Spannung und den Vorwiderstandswert ersetzt werden.
Δt · U(t) / R = C · ΔU
Nach R·C aufgelöst, erkennt man, dass dieses Produkt die Dimension der Zeit in s hat.
Δt · U(t) / ΔU = R · C
R·C ist als Zeitkonstante definiert und erhält den griechischen Buchstaben τ (tau).

Die Zeitkonstante τ = R · C

Die Zeitkonstante τ ist unabhängig von Strom und Spannung und sagt etwas über die Geschwindigkeit aus, mit der die Ladevorgänge eines Kondensators in der RC-Reihenschaltung erfolgen. Ist die Kapazität vorgegeben, so dauert die Aufladung umso länger, je größer der Widerstandswert ist. Ebenso dauert der Ladevorgang bei einem größeren Kapazitätswert bei gleichem Vorwiderstand länger. Die Lade- und zugehörigen Entladevorgänge können im folgenden Videoclip für drei unterschiedliche R-C-Kombinationen betrachtet werden.

Der Vorwiderstand R begrenzt den Ladestrom. Wird zum Zeitpunkt t = 0 der Stromkreis geschlossen, so ist die anliegende Quellenspannung nur über dem Widerstand messbar. Bei t = 0 hat der Kondensator noch keine Ladung und mit 0 V keine Spannung. Je mehr Ladung transportiert wird, desto höher wird die Spannung am Kondensator. Da R und C eine Reihenschaltung bilden, muss sich die Spannung am Widerstand nach dem ohmschen Gesetz entsprechend verringern. Da R konstant ist, muss bei kleinerem UR der Strom abnehmen. Ist die Spannung am Widerstand auf den halben Anfangswert gesunken, so ist auch der Ladestrom nur noch halb so groß. In der Zeit t = t1 hat der Kondensator die Ladung Q1 = C·0,5·U (Gl.1) aufgenommen.

Diagramm

Im Strom-Zeit-Diagramm dargestellt entspricht die Fläche unter der Kurve der Kondensatorladung. Die graue Fläche ist ein Trapez mit dem Flächeninhalt: Q1 = (1 + 0,5)·0,5·I0·t1 = 0,75·I0·t1 Mit I0 = U / R und der Gl.1 von oben folgt t1 = 0,667·R·C
Diese Zeit wird Halbwertzeit th des RC-Glieds genannt. th = 0,7·R·C = 0,7·τ

Erfolgt die Aufladung an einer Konstantspannungsquelle, so kann während der ersten Halbwertzeit der Stromverlauf als weitgehend linear angenommen werden. Genau genommen ist der Ladestrom in keinem Abschnitt linear. Der Rundungsfaktor 0,7 eine sehr gute Näherung zum tatsächlichen Stromverlauf. Das folgende Diagramm stellt den genauen Ladevorgang eines Kondensators dar. Nach rund sieben Halbwertzeiten kann für die anliegende Spannung der Kondensator als aufgeladen betrachtet werden. Die exakten Endwerte von 0 % für den Strom und 100 % für die Spannung am Kondensator werden nie erreicht. Beide Kurven nähern sich asymptotisch ihren Endwerten.

Kondensator Lade-/Entladekurve

Nach Ablauf einer Halbwertzeit th hat der Ladestrom noch 50 % seines Anfangswerts. Die Spannung am Kondensator ist auf 50 % des Endwerts gestiegen. Nach Ablauf einer weiteren Halbwertzeit hat der Ladestrom auf 25 % abgenommen und die Kondensatorspannung hat 75 % ihres Endwerts erreicht. Die nach der ersten Halbwertzeit verbliebenen 50 % haben sich erneut halbiert. Für jede weitere Halbierung der verbleibenden Prozente vergeht stets eine Halbwertzeit. Nach sieben Halbwertzeiten ist der Ladestrom praktisch auf null gefallen und der Kondensator hat die maximale Spannung erreicht.

Kurvenzüge mit gleich großen Halbwertzeiten werden mathematisch durch natürliche Funktionen, den Exponentialfunktionen, abgekürzt e-Funktionen, beschrieben. Viele Naturvorgänge, wie z. B. der radioaktive Zerfall, Erwärmungs- und Abkühlungsprozesse und biologisches Zellwachstum folgen solchen e-Funktionen.

Im Diagramm oben ist auf der Zeitachse auch die Zeitkonstante τ des RC-Glieds eingetragen. Nach Ablauf einer Zeitkonstanten 1·τ ist der Ladestrom auf 37 % seines Anfangswertes gefallen und die Ladespannung auf 63 % ihres Endwertes gestiegen. Nach Ablauf von 5·τ entsprechend sieben Halbwertzeiten 7·th ist der Ladevorgang praktisch beendet. Diese Zeit wird als Einschaltzeit des RC-Glieds bezeichnet.

Bei der Entladung verläuft die Strom- und Spannungskurve ebenfalls nach einer e-Funktion. Nach 5·τ sind die Kurven auf unter 1 % ihres Anfangswertes gefallen. Diese Zeit wird Ausschaltzeit des RC-Glieds genannt. Beim Entladen fließt der Strom in entgegengesetzter Richtung durch den Widerstand, da der geladene Kondensator die Spannungsquelle ist und von der äußeren DC-Quelle getrennt ist.

Das Diagramm zeigt, dass beim noch ungeladenen Kondensator im Einschaltmoment der maximale Strom fließt und am Kondensator keine Spannung messbar ist. Nach dem ohmschen Gesetz verhält sich der Kondensator wie ein Kurzschluss oder Widerstand mit 0 Ω. Nach Ablauf der Aufladezeit mit rund 5 ·τ nimmt der Kondensator keine weitere Ladung mehr auf und es fließt kein nennenswerter Strom. Im Gleichstromkreis verhält sich der Kondensator wie ein Widerstand mit extrem hohem Wert vergleichbar mit einer Unterbrechung. Für den Wechselstromwiderstand eines Kondensators gibt es ein eigenes Kapitel.

Im Einschaltmoment verhalten sich ungeladene Kondensatoren wie ein Kurzschluss.
Im Gleichstromkreis verhalten sich auf die Endspannung geladene Kondensatoren wie eine Unterbrechung. Ihr Widerstandswert ist extrem groß.
Innerhalb der Zeitkonstante 1·τ eines RC-Glieds wird ein Kondensator auf 63 % seines Endwertes aufgeladen oder auf 37 % seines Anfangswertes entladen.
Nach 5·τ gilt ein Kondensator als praktisch vollständig auf- bzw. entladen. Diese Zeit wird auch als Einschalt- oder Ausschaltzeit des RC-Glieds bezeichnet.
Der Lade- und Entladevorgang wird durch e-Funktionen beschrieben. Die Halbwertzeit beträgt th = 0,7·τ

Die e-Funktionen des Lade- und Entladevorgangs

Lade-/Entladefunktionen

Mathematische Herleitungen

Die Herleitung einer e-Funktion für den Lade- und Entladeprozess geht normalerweise über das berufliche duale Ausbildungsniveau hinaus. Es handelt sich um das Lösen von Differentialgleichungen, wobei das Verfahren hier noch gut nachvollziehbar bleibt. Der Ladestromkreis stellt eine Masche dar. Für sie gilt, dass die Summe aller auftretenden Spannungen immer null ist. Beim Ladevorgang fließt ein sich zeitlich ändernder Strom I(t). Nach dem ohmschen Gesetz kann die Spannung am Ladewiderstand durch das Produkt aus dem Strom und dem Widerstandswert ersetzt werden. Die Ladung, die auf einen Kondensatorbelag transportiert wird, fließt im geschlossenen Stromkreis vom Gegenbelag ab. Dadurch bildet sich zwischen den Belägen die Kondensatorspannung UC als Potenzialdifferenz. Sie ist proportional zur aufgebrachten Ladung Q mit der Kapazität C des Kondensators als Proportionalitätskonstante. Wird die Gleichung nach der Zeit abgeleitet, dann wird aus der sich zeitlich ändernden Ladung Q(t) der Strom I(t).

In der Differentialgleichung (DGL) Gl.(1) gibt es mit I(t) eine Funktion des Stroms I abhängig von der Zeit und der ersten Ableitung dieser Funktion. Als Lösungsansatz kann eine Exponentialfunktion gewählt werden, da ihre Ableitung gleich der Funktion ist. Gewählt wird die allgemeine e-Funktion Gl.(2) und in die DGL eingesetzt. Die Konstante k kann berechnet werden. Beim anfangs ungeladenen Kondensator ist zum Zeitpunkt t = 0 die Spannung UC = 0. Der Strom I(t=0) = I0 kann nach dem ohmschen Gesetz durch die Quellenspannung U und dem Ladewiderstand R ersetzt werden. Das Ergebnis ist die e-Funktion des Stromverlaufs beim Aufladen eines Kondensators an konstanter Gleichspannung.

Herleitung der Ladefunktionen

Die zeitliche Änderung der Spannung am Kondensator UC(t) kann mithilfe der Maschengleichung und dem Ladestrom hergeleitet werden. Da in der Reihenschaltung der gleiche Strom durch den Vorwiderstand R fließt, kann die sich zeitlich ändernde Spannung an R nach dem ohmschen Gesetz ersetzt werden. Nach kurzer Umformung folgt die gewünschte Formel für den Spannungsverlauf am Kondensator.

Die mathematische Herleitung der Entladeformeln verläuft ähnlich. Der Kondensator ist auf die Spannung U aufgeladen und wird über den Widerstand R entladen. Dieser Stromkreis bildet für die Spannungen eine Masche. Die Kondensatorspannung ist proportional zu seiner Ladung Q. Die Spannung an R ist proportional zum Entladestrom, der die erste Ableitung nach der Zeit ist. Diese Teilgleichungen führen zur homogenen Differentialgleichung, mit der Funktion Q(t) und ihrer Ableitung. Ein Lösungsverfahren erfolgt durch Trennung der Variablen. Beide Seiten der Gleichung können integriert werden und liefern damit die Umkehrung zu den Ableitungen. Es sind nur die Anfangsgrenzen der Integration bekannt. Die oberen Endgrenzen sind unbestimmt und somit variabel. Zu Beginn t = 0 der Entladung ist der Kondensator mit auf Qo geladen. Das Integral links hat als Stammfunktion die ln-Funktion. Nach dem Einsetzen der Grenzen wird umgeformt und für beide Seiten die e-Funktion geschrieben.

Herleitung der Entladefunktionen

Mit dem Umformen ergibt sich die zeitliche Ladungsänderung bei der Entladung. Zum Zeitpunkt t = 0 hat der Kondensator die Anfangsladung und nach sehr langer Zeit t→∞ geht die Ladung gegen null. Da die Spannung am Kondensator proportional zu seiner Ladung ist, folgt direkt daraus der zeitliche Spannungsverlauf bei der Entladung. Für den Stromverlauf wird die Funktion der Ladungsänderung nach der Zeit abgeleitet. Die linke Gleichungsseite ergibt den Strom I(t) und auf der rechten Seite bleibt die e-Funktion erhalten und wird mit ihrer inneren Ableitung multipliziert.


Widerstandsverhalten im Gleichstromkreis

Der einfachste Kondensator besteht aus zwei gegeneinander isolierten, parallel angeordneten Metallflächen. Als Bauteil in einem Stromkreis kommt das einer Unterbrechung mit sehr hohem Widerstandswert gleich. Wird mit einem Multimeter der Widerstandswert eines entladenen Kondensators gemessen, so zeigt das Messgerät einen extrem großen Wert oder Unterbrechung an. Während der Ladeprozesse sind die Strom- und Spannungswerte zeitabhängig. Für jeden Zeitpunkt kann mit I und U nach dem ohmschen Gesetz ein Widerstandswert errechnet werden.

Im folgenden Beispiel wird ein Kondensator mit C = 1 μF bei einer Zeitkonstante τ = 1 ms von einer DC-Spannungsquelle U = 10 V aufgeladen. Mithilfe der e-Funktionen werden für sechs Zeiten die aktuellen Spannungs- und Stromwerte und daraus der Widerstandswert berechnet. Mit zunehmender Aufladung nimmt der Widerstand für den Kondensator exponentiell zu.

t/ms 0 1 2 3 4 5
U(t)/V 0 6,321 8,647 9,502 9,817 9,933
I(t)/mA 10 3,679 1,353 0,498 0,183 0,067
R/kΩ 0 1,72 6,39 19,08 53,64 148,25

Reihenschaltung von Kondensatoren

Werden zwei Kondensatoren gleicher Bauart in Reihe geschaltet, so sind in der Mitte die beiden Plattenflächen direkt verbunden und haben keine Verbindung zum Stromkreis. Der im Stromkreis wirksame Ersatzkondensator hat den doppelten Plattenabstand. Die Kapazität verhält sich umgekehrt proportional zum Platten- oder Belagabstand. Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren ist die Gesamtkapazität daher kleiner als die kleinste Einzelkapazität. Bei gleichen Kapazitätswerten ist die Ersatzkapazität halb so groß.

Reihenschaltung von Kondensatoren

Sind im Gleichstromkreis Kondensatoren unterschiedlicher Kapazität in Reihe geschaltet, so erhalten alle Kondensatoren die gleiche Ladungsmenge. Die maximal aufzunehmende Ladung wird von der kleinsten Kapazität bestimmt. Nach 5 τ ist der Ladevorgang aller Kondensatoren beendet. Die Teilspannungen sind umgekehrt proportional zu den Kapazitätswerten, an denen sie gemessen werden. Die an der Reihenschaltung anliegende Spannung U ist gleich der Summe der Teilspannungen. Die Gesamtkapazität der Reihenschaltung errechnet sich wie folgt:

Formeln zur Kondensator-Reihenschaltung

Für in Reihe geschaltete Kondensatoren ist die Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten gleich dem Kehrwert der Gesamtkapazität. Die Gesamtkapazität in Reihe geschalteter Kondensatoren ist stets kleiner als die kleinste Einzelkapazität.

Im Gleichstromkreis kann die Reihenschaltung von Kondensatoren nicht als DC-Spannungsteiler genutzt werden. Erst im Wechselstromkreis funktioniert die Reihenschaltung als kapazitiver Spannungsteiler und wird dort mit einigen Beispielen näher beschrieben.


Parallelschaltung von Kondensatoren

Werden zwei Kondensatoren gleicher Bauart parallel geschaltet, so hat der Ersatzkondensator die doppelte Belagfläche. Der Plattenabstand und das Dielektrikum bleiben gleich. Die Kapazität ist direkt proportional zur Belagfläche. Die Gesamtkapazität errechnet sich durch Addition der einzelnen Kapazitätswerte. Die Skizze verdeutlicht diese Aussage.

C- Parallelschaltung

In der Parallelschaltung liegen alle Kondensatoren an der gleichen Spannung und nehmen ihrem Kapazitätswert entsprechend Ladungen auf. Die aufgenommene Gesamtladung entspricht der Summe der Einzelladungen. Die zu bestimmende Gesamtkapazität wird bei der Spannung U auf diese Summenladung aufgeladen.

Parallelschaltung von Kondensatoren

Die Gesamtkapazität parallel geschalteter Kondensatoren ist die Summe der Einzelkapazitäten.

Die Eigenschaften der Kondensatoren im Wechselstromkreis sind an verschiedenen Stellen im Webprojekt behandelt. Der Wechselstromwiderstand eines idealen Kondensators ist in einem Kapitel beschrieben. Im Bereich Analogtechnik werden für den Wechselstrombereich viele Schaltungen mit RC- und RCL-Kombinationen eingehender behandelt.


Sicherheitshinweise

Ein aufgeladener Kondensator ist ein Energiespeicher mit den Eigenschaften einer Spannungsquelle. Im ersten Moment der Entladung fließt der maximale Strom und zu diesem Zeitpunkt gleicht der Kondensator einer idealen Spannungsquelle. Die Entladung durch Kurzschluss sollte daher vermieden werden. Kondensatoren großer Kapazität und hoher Ladung können beim Kurzschluss einen Stromimpuls einiger hundert bis tausend Ampere liefern, der auch zur Zerstörung des Bauteils führen kann. Folgende Sicherheitsvorkehrungen sind zu beachten:

Kondensatoren hoher Kapazität sollten nur strombegrenzt über einen Widerstand aufgeladen werden.
Aufgeladene Kondensatoren sollten nicht frei berührbar liegen gelassen werden.
Kondensatoren sind vor dem Ein- oder Ausbau in Schaltungen zu entladen.
Kondensatoren großer Kapazität sollten immer über einen Lastwiderstand strombegrenzt entladen werden.