Informations- und Kommunikationstechnik

Ersatzspannungsquelle – Thévenin-Äquivalent

Die folgenden Betrachtungen setzen ein lineares Netzwerk mit unabhängigen Quellen und konstanten Betriebswerten voraus. Von Interesse ist das Verhalten des Netzwerks, wenn es an seinen Anschlussklemmen unterschiedlich belastet wird. Bei umfangreichen Netzwerken ist es mühsam, jedes Mal die Berechnung für die gesamte Schaltung durchzuführen. Manchmal ist die Schaltung nicht bekannt. Für zwei gewählte Anschlusspunkte kann jedes bekannte lineare Netzwerk in eine äquivalente Spannungsquelle mit einem Innenwiderstand umgewandelt werden. Der deutsche Physiker H. von Helmholtz erkannte diese Möglichkeit in der Mitte des 19. Jahrhunderts, die viele Jahre danach vom französischen Telegrafeningenieur L. C. Thévenin neu erkannt wurde.

Die gesuchte Ersatzschaltung wird im deutschen Sprachbereich Ersatzspannungsquelle und international Thévenin-Äquivalent genannt. Sie ist ein Werkzeug für die Netzwerkanalyse und dient der Vereinfachung eines komplizierten Netzwerks. Die Umwandlung soll zu einer äquivalenten idealen Spannungsquelle mit einem Innenwiderstand führen, die sich an den Klemmen ebenso verhält wie das Netzwerk.

Netzwerk zum Thévenin-Äquivalent

Die Grafik zeigt ein lineares Netzwerk mit unterschiedlichen Quellen und den beiden Anschlussklemmen. Die Schaltung rechts stellt die gesuchte Ersatzspannungsquelle mit Innenwiderstand dar, die sich an den Klemmen elektrisch ebenso verhalten soll. Zu bestimmen sind die Leerlaufspannung an den Klemmen und der Wert des Innenwiderstands.

Videoclip zur belasteten realen Spannungsquelle

Ist der Ausgang einer Spannungsquelle unbelastet, also im Leerlauf, dann fließt kein Strom und an ihrem Innenwiderstand entsteht keine Spannung. Die Leerlauf-Klemmenspannung entspricht der idealen Spannungsquelle U0, früher als elektromotorische Kraft (EMK) bezeichnet. Sie kann praktisch durch stromfreies Messen der Klemmenspannung mit einem sehr hochohmigen Spannungsmessgerät (»1 MΩ) zwischen 1 und 2 bestimmt werden.

Der Innenwiderstand könnte praktisch durch eine Strommessung mit einem geeigneten Amperemeter erfolgen, das mit seinem sehr kleinen Messwiderstand die Spannungsquelle kurz schließt. Die Klemmenspannung ist dann 0 V und die gesamte Spannung U0 entsteht am Innenwiderstand. Aus beiden Messungen kann mithilfe des ohmschen Gesetzes der Wert des Innenwiderstands der Quelle berechnet werden. Diese Praxis verbietet sich, denn sie kann der Quelle und dem Netzwerk dauerhaften Schaden zufügen.

Eine sichere und bessere Methode ist es, die Klemmen mit einem bekannten Lastwiderstand zu verbinden und die nunmehr kleinere Klemmenspannung zu messen. Der Lastwiderstand bildet mit dem zu bestimmenden Innenwiderstand eine Reihenschaltung. Die Leerlaufspannung Spannung U0 teilt sich proportional zu den Widerstandswerten der Reihenschaltung auf. Der Innenwiderstand ist durch einfache Rechnung bestimmbar. Mit den Messwerten aus dem Videoclip kann dieses Verfahren nachvollzogen werden.

Bestimmung des Innenwiderstands bei Leistungsanpassung

Eine nicht allzu niederohmige Quelle wird durch ohmsche Widerstände so lange belastet, bis die Klemmenspannung nur noch den halben Wert der Leerlaufspannung hat. Der Wert des Innenwiderstands entspricht ohne Rechnung dem Wert des Lastwiderstands, da sich die Spannung an beiden Widerständen zu gleichen Teilen aufteilt. Dieser Betriebsfall entspricht der Leistungsanpassung, bei der die Quelle ihre maximale Leistung abgibt.

Berechnung der Betriebswerte der Ersatzspannungsquelle

Der Innenwiderstand einer idealen Spannungsquelle ist per Definition null Ohm. Die unabhängigen Spannungsquellen im Netzwerk werden durch einen Kurzschluss ersetzt. Ihre zugehörigen Innenwiderstände bleiben bestehen. Der Innenwiderstand einer idealen Stromquelle ist per Definition unendlich groß. Die unabhängigen Stromquellen im Netzwerk werden entfernt. Parallel liegende Shunt Widerstände bleiben bestehen. Das Beispielnetzwerk vereinfacht sich auf eine gemischte Widerstandsschaltung und wird in Blickrichtung auf die Klemmen analysiert.

Innenwiderstand des Thévenin-Äquivalents

Der so berechnete Widerstandswert entspricht dem Innenwiderstand des Thévenin-Äquivalents. Für die Folgerechnungen werden die Quellen wieder aktiviert. Die Erzeugerpfeilrichtung ist zu beachten und ist im Schaltungsbeispiel unten eingezeichnet. Die Ausgangsklemmen werden kurzgeschlossen, um den Kurzschlussstrom zu ermitteln. Da jede Quelle ideales Verhalten hat, ist die Spannung in Verbraucherpfeilrichtung am jeweiligen Innenwiderstand gleich der Quellenspannung. Im letzten Schritt wird die Spannung an den Klemmen der Ersatzspannungsquelle für den offenen, unbelasteten Ausgang berechnet.

Leerlaufspannung des Thévenin-Äquivalents

Der Kurzschluss am Ausgang des Netzwerks schließt den Widerstand R3 kurz und durch ihn fließt kein Strom. Die Schaltung hat mit A und B zwei unabhängige Stromknoten. Für sie gilt die 1. Kirchhoffsche Regel. Die Zweigströme errechnen sich nach dem ohmschen Gesetz aus den Spannungsquellen und den im Zweig befindlichen Widerständen. Die Werte des Thévenin-Äquivalents sind nunmehr bekannt und das Netzwerkverhalten ist bei variabler Belastung leichter zu berechnen.

Die Spannungsquelle U2 ist gegenpolig zur Spannungsquelle U1 und die Stromquelle liefert 1 A. Die Schaltung entspricht dem oben berechneten Netzwerk und die Simulationsergebnisse stimmen mit den berechneten Werten überein.

Simulation Netzwerk / Thévenin-Äquivalent

Wird bei sonst unveränderter Schaltung die Stromquelle entfernt (0 A), dann wäre der Kurzschlussstrom −0,3 A und die Klemmenspannung der Ersatzspannungsquelle −2,479 V. Der Innenwiderstand bleibt unverändert. Diese Simulationswerte sind gleich den berechneten Werten.