Leistungsanpassung zwischen Quelle und Senke
In jedem Stromkreis wird elektrische Leistung umgesetzt. Jede reale Spannungs- oder Signalquelle hat einen Innenwiderstand. Wird die Quelle mit einem Wirkwiderstand verbunden, dann entsteht mit dem Innenwiderstand der Quelle eine Reihenschaltung. Die unbelastete Spannung (Leerlaufspannung, EMK oder elektromotorische Kraft) bleibt immer konstant. Zwischen den Anschlussklemmen der Quelle fließt der Gesamtstrom. Er kann nach dem Ohm'schen Gesetz aus dem Gesamtwiderstandswert und der Leerlaufspannung berechnet werden. An beiden Widerständen wird Leistung umgesetzt. Die am Lastwiderstand nutzbare Leistung ist immer kleiner als die Leistung, die in der Quelle zur Verfügung steht.
An den Anschlussklemmen einer Quelle kann die sogenannte Leerlaufspannung Uo praktisch belastungsfrei durch ein extrem hochohmiges Spannungsmessgerät ermittelt werden. Der Strom ist praktisch so gering, dass vom Spannungsmessgerät praktisch keine Leistung umgesetzt wird. Die Urspannung Uo der Quelle ist als ideal definiert und von jeder äußeren Belastung unabhängig konstant. Werden die Klemmen mit RLast ≈0 Ω kurzgeschlossen, so fließt der maximale Kurzschlussstrom und zwischen den Klemmen keine Spannung, also null, messbar. Am äußeren Lastwiderstand wird praktisch keine Leistung umgesetzt, somit ist dieser Fall ohne Nutzen. Die in der Quelle gespeicherte Energie wird bei Kurzschluss praktisch vollständig am Innenwiderstand in Leistung umgesetzt. Bei bekanntem Innenwiderstand oder sehr genauer Messung des Kurzschlussstroms kann die von der Quelle zur Verfügung stehende Leistung berechnet werden. \[{P_{ges}} = {U_o} \cdot {I_k}\quad mit\quad {I_k} \cdot {R_i} = {U_o}\quad \Rightarrow {P_{ges}} = \frac{{U_o^2}}{{{R_i}}} = I_k^2 \cdot {R_i}\] Mit dieser Methode den Innenwiderstand zu bestimmen ist nicht zu empfehlen, da in den meisten Fällen die Quelle geschädigt oder zerstört wird.
Die zur Verfügung stehende Leistung einer Quelle kann sinnvoll genutzt werden, wenn sie mit einem Wirkwiderstand Ra belastet wird. Er kann um einen Faktor x ≠ 0 größer oder kleiner als der konstante Innenwiderstand Ri der Quelle sein. Die Leistung an Ra kann durch das Produkt der zu messenden Klemmenspannung und dem Laststrom I berechnet werden. Der Laststrom fließt zurück in die Quelle und setzt am Innenwiderstand ebenfalls Leistung um. Die folgende Herleitung mit welchem Wert Ra die maximale Leistung der Quelle entnommen werden kann. \[{U_o} = I\,({R_i} + {R_a})\quad und\quad I = \frac{{{U_o}}}{{{R_i} + {R_a}}}\quad (1)\] Die Gleichung Gl.(1) quadrieren, die Ausgangsleistung Pab durch Strom und Ra definieren. Nach I2 auflösen, die Ausdrücke gleichsetzen und nach Pab auflösen: \[{I^2} = \frac{{U_o^2}}{{{{({R_i} + {R_a})}^2}}}\;\;\,und\;\;\,{P_{ab}} = {I^2}{\mkern 1mu} {R_a}\;\] \[{P_{ab}} = \frac{{U_o^2}}{{{{({R_i} + {R_a})}^2}}} \cdot {R_a}\quad (2)\] Den Ausgangswiderstand mit \({R_a} = x \cdot {R_i}\) durch ein Vielfaches des Innenwiderstands in Gl.(2) einsetzen, den Nenner ausrechnen: \[{P_{ab}} = \frac{{U_o^2}}{{{{({R_i} + (x\,{R_i}))}^2}}} \cdot (x\,{R_i})\] \[{P_{ab}} = \frac{{U_o^2 \cdot (x\,{R_i})}}{{R_i^2 + 2xR_i^2 + {x^2}R_i^2}}\] Im Nenner kann x·Ri ausgeklammert und mit dem Faktor x·Ri im Zähler gekürzt werden: \[{P_{ab}} = \frac{{U_o^2 \cdot (x\,{R_i})}}{{x\,{R_i}\left( {\frac{{{R_i}}}{x} + 2\,{R_i} + x\,{R_i}} \right)}}\] Wird im Nenner Ri ausgeklammert, so bleibt im Klammerausdruck als Variable x stehen: \[{P_{ab}} = \frac{{U_o^2}}{{{R_i}\left( {\frac{1}{x} + 2 + x} \right)}}\quad (3)\] Die abgegebene Leistung Pab ist am größten, wenn in der Gl.(3) der Nenner am kleinsten ist. Das ist nur bei x = 1 der Fall. Die Quelle gibt das Leistungsmaximum bei \({R_a} = {R_i}\) ab. Dieser Fall wird als Leistungsanpassung bezeichnet.
Mathematische Herleitung durch Kurvendiskussion
Das Ergebnis kann mathematisch durch Differenzierung nach der Variablen Ra und Bestimmung der Extremwerte gefunden werden. In der Gl.(2) ist Ra in einer Zähler- und Nennerfunktion enthalten. Beides sind quadratische Teilfunktionen mit der Variablen Ra: \[{P_{ab}} = \frac{{U_o^2\,{R_a}}}{{{{({R_a} + {R_i})}^2}}}\] \[u({R_a}) = U_o^2\,{R_a}\quad und\quad v({R_a}) = {({R_a} + {R_i})^2}\] Die 1. Ableitung erfolgt nach der Quotientenregel: \[{\left( {\frac{{u(x)}}{{v(x)}}} \right)^\prime } = \frac{{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}}{{{{(v(x))}^2}}}\] \[{P_{ab}}^\prime = \frac{{U_o^2\,{{({R_a} + {R_i})}^2} - U_o^2\,{R_a}\,(2\,{R_a} + 2\,{R_i})}}{{{{({R_a} + {R_i})}^2} \cdot {{({R_a} + {R_i})}^2}}}\] Die 1. Ableitung der Stammfunktion Gl.(2) ist die Steigungsfunktion. Durch Nullsetzen von \({P_{ab}}'\) der 1. Ableitung kann die Lage des Extrempunktes bestimmt werden: \[{P_{ab}}^\prime = 0\quad \Rightarrow U_o^2\,{({R_a} + {R_i})^2} - U_o^2\,{R_a}\,(2\,{R_a} + 2\,{R_i}) = 0\] \[U_o^2\,{({R_a} + {R_i})^2} = U_o^2\,{R_a}\,(2\,{R_a} + 2\,{R_i})\] \[R_a^2 + 2\,{R_a}\,{R_i} + R_i^2 = 2\,R_a^2 + 2\,{R_a}\,{R_i}\quad \Rightarrow R_a^2 + R_i^2 = 2\,R_a^2\] \[{R_i} = {R_a}\]
Die zur Verfügung stehende Leistung der Quelle Pges teilt sich in die am Lastwiderstand nutzbare Leistung Pab und der am Quelleninnenwiderstand umgesetzten Leistung Pi auf. \[{P_{ges}} = {P_{ab}} + {P_i} = \frac{{U_a^2}}{{{R_a}}} + \frac{{U_i^2}}{{{R_i}}}\quad (4)\] Bei der Leistungsanpassung sind beide Widerstandswerte und die Spannungen an diesen Widerständen gleich groß. Das kann als Bestimmungskriterium genutzt werden. Es wird die Leerlaufspannung gemessen und mit der Klemmenspannung bei Belastung verglichen. Bei Leistungsanpassung ist die Klemmenspannung halb so groß wie die Leerlaufspannung.
Bei Leistungsanpassung gelten die in der Schaltskizze gezeigten Verhältnisse mit: \[{R_a} = {R_i}\quad \Rightarrow {U_a} = {U_i} = \frac{1}{2}{U_o}\] Angewendet auf Gl.(4) folgt: \[{P_{ges}} = \frac{{U_o^2}}{{4\,{R_a}}} + \frac{{U_o^2}}{{4\,{R_i}}}\]
Die Quelle stellt die Gesamtleistung Pges zur Verfügung. Bei Leistungsanpassung ist die am Lastwiderstand abgegebene Leistung gleich der am Innenwiderstand der Quelle umgesetzte Leistung. Der Wirkungsgrad η (eta) ist der Quotient aus der am Lastwiderstand umgesetzten Leistung zur Gesamtleistung. Für den betrachteten Fall der Leistungsanpassung gilt: \[\eta = \frac{{\frac{{U_o^2}}{{4\,{R_a}}}}}{{\frac{{U_o^2}}{{4\,{R_a}}} + \frac{{U_o^2}}{{4\,{R_i}}}}}\quad \eta = \frac{{U_o^2 \cdot 2\,{R_a}}}{{4\,{R_a} \cdot U_o^2}}\quad \eta = 0,5 = 50\% \]
Allgemeine Leistungsbilanz
Der Energieerhaltungssatz besagt, dass Energie nicht erzeugt oder vernichtet sondern nur in andere Energieformen umgewandelt werden kann. Mit Energie kann z. B. elektrische Arbeit mit der Benennung W·s (Watt mal Sekunde) verrichtet werden. Elektrische Leistung hat die Benennung W = U·I, denn es ist die Arbeit, die während einer bestimmten Zeit erledigt wird. Die Leistungsformel kann im Hinblick auf die abgegebene, nutzbare Leistung anders geschrieben werden, um sie dann ins Verhältnis zur zugeführten Gesamtleistung zu setzen: \[{P_{ges}} = {P_{ab}} + {P_i}\quad \Rightarrow \quad {P_{ab}} = {P_{ges}} - {P_i}\] \[\eta = \frac{{{P_{ab}}}}{{{P_{ges}}}} = \frac{{{P_{ges}} - {P_i}}}{{{P_{ges}}}} = 1 - \frac{{{P_i}}}{{{P_{ges}}}}\] Der Wirkungsgrad ist praktisch immer kleiner als eins, da jede reale elektrische Quelle einen Innenwiderstand hat.
Simulationsversuch mit grafischer Auswertung
Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einer Simulationsmessreihe für eine 10 V Spannungsquelle mit 10 Ω Innenwiderstand. Sie wurde mit Wirkwiderständen unterschiedlich belastet. Gemessen wurden die Klemmenspannung und der Laststrom. Die Simulation ermöglicht direkte Spannungsmessungen am Innenwiderstand, während die Werte im Laborversuch nur rechnerisch zu ermitteln sind. Aus den Simulationswerten wurden die abgegebene Leistung Pab, die am Innenwiderstand umgesetzte Leistung Pi, die Gesamtleistung Pges als Summe beider Teilleistungen und der Wirkungsgrad η berechnet.
| Ra/Ω | U/V | I/mA | Ui/V | Pab/W | Pi/W | Pges/W | η |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 100 | 9,09 | 91,0 | 0,91 | 0,83 | 0,08 | 0,91 | 0,91 |
| 80 | 8,89 | 111,1 | 1,11 | 0,99 | 0,123 | 1,11 | 0,89 |
| 60 | 8,57 | 143,0 | 1,43 | 1,23 | 0,204 | 1,43 | 0,86 |
| 40 | 8,00 | 200,0 | 2,00 | 1,60 | 0,40 | 2,00 | 0,80 |
| 30 | 7,50 | 250,0 | 2,50 | 1,88 | 0,625 | 2,50 | 0,75 |
| 20 | 6,67 | 333,3 | 3,33 | 2,22 | 1,111 | 3,33 | 0,67 |
| 10 | 5,00 | 500,0 | 5,00 | 2,50 | 2,500 | 5,00 | 0,50 |
| 8 | 4,44 | 555,5 | 5,56 | 2,47 | 3,090 | 6,33 | 0,39 |
| 6 | 3,75 | 625,0 | 6,25 | 2,34 | 3,910 | 6,25 | 0,38 |
| 4 | 2,86 | 714,2 | 7,14 | 2,04 | 5,100 | 7,14 | 0,29 |
| 2 | 1,67 | 833,3 | 8,33 | 1,39 | 6,940 | 8,33 | 0,17 |
| 1 | 0,91 | 909,0 | 9,09 | 0,83 | 8,260 | 9,09 | 0,09 |
Im Diagramm sind die abgegebene Leistung und der Wirkungsgrad als Funktion des normierten Lastwiderstandes, dem Verhältnis Ra / Ri dargestellt. Die Leistungskurve hat ihr Maximum beim Widerstandsverhältnis 1 und an der roten Kurve kann der Wirkungsgrad η = 0,5 gleich 50% abgelesen werden.
Kurzschlussbetrieb
Wird die Quelle kurzgeschlossen, dann beträgt die Klemmenspannung 0 Volt und der Kurzschlussstrom wird vom Wert des Innenwiderstands der Quelle bestimmt. Die gesamte Leistung wird am Innenwiderstand der Quelle umgesetzt und Pi = Pges. Mit jeder der beiden für den Wirkungsgrad hergeleiteten Formeln ist dann η = 0, denn nach außen wird keine Leistung abgegeben. Die letzte Zeile der Tabelle kommt dem Kurzschlussbetrieb sehr nahe.
Die Leistungsanpassung ist besonders verbreitet in der Nachrichtentechnik. In der Energieversorgungstechnik ist diese Betriebsart unwirtschaftlich, da sich bei gleich hohem Leistungsanteil die Generatoren bis zur Zerstörung überhitzen. Die Kraftwerkgeneratoren werden im Arbeitsbereich des höchstmöglichen Wirkungsgrads betrieben.