Informations- und Kommunikationstechnik

Leistungsanpassung zwischen Quelle und Senke

In jedem Stromkreis wird elektrische Leistung umgesetzt. Jede Spannungs- oder Signalquelle hat immer einen Innenwiderstand. Wird die Quelle durch einen angeschlossenen Widerstand belastet, dann bildet der Lastwiderstand mit dem Innenwiderstand eine Reihenschaltung. Sie wird vom Gesamtstrom durchflossen und an beiden Widerständen ist nach dem ohmschen Gesetz eine proportional hohe Spannung messbar. An beiden Widerständen wird Leistung umgesetzt. Die am Lastwiderstand nutzbare Leistung ist immer kleiner als die Leistung, die in der Quelle zur Verfügung steht.

An den Anschlussklemmen einer Quelle kann die sogenannte Leerlaufspannung Uo, früher als EMK (elektromotorische Kraft) praktisch belastungsfrei durch ein extrem hochohmiges Spannungsmessgerät ermittelt werden. Praktisch fließt dabei kein äußerer Strom und es wird keine Leistung umgesetzt. Die Urspannung der Quelle ist als ideal definiert und von jeder Belastung unabhängig konstant. Werden die Klemmen kurzgeschlossen, dann fließt der maximale Kurzschlussstrom und zwischen den Klemmen ist die Spannung null. Nach außen wird keine Leistung umgesetzt, somit ist dieser Fall praktisch ohne Nutzen. Die in der eigenständigen Quelle gespeicherte Energie wird bei Kurzschluss vollständig am Innenwiderstand in Leistung umgesetzt. Bei bekanntem Innenwiderstand oder sehr genauer Messung des Kurzschlussstroms kann die von der Quelle zur Verfügung stehende Leistung berechnet werden. \[{P_{zu}} = {U_o} \cdot {I_k}\quad mit\quad {I_k} \cdot {R_i} = {U_o}\quad \Rightarrow {P_{zu}} = \frac{{U_o^2}}{{{R_i}}} = I_k^2 \cdot {R_i}\]

Um die zur Verfügung stehende Leistung der Quelle sinnvoll zu nutzen wird der Stromkreis durch einen variablen Lastwiderstand Ra geschlossen. Er kann um einen Faktor x ≠ 0 aber größer oder kleiner als der konstante Innenwiderstand Ri der Quelle sein. Der Reihenstrom I führt an beiden Widerständen zu einem Leistungsumsatz. Am Lastwiderstand soll die maximale Leistung umgesetzt werden. Die folgende Herleitung zeigt wie groß Ra dann ist. \[I = \frac{{{U_o}}}{{{R_i} + {R_a}}}\quad mit\quad {P_a} = {I^2} \cdot {R_a}\quad und\quad {R_a} = x \cdot {R_i}\] \[{P_a} = {I^2} \cdot (x \cdot {R_i}) = \frac{{U_o^2}}{{{{({R_i} + (x \cdot {R_i}))}^2}}} \cdot (x \cdot {R_i})\] \[{P_a} = \frac{{U_o^2}}{{R_i^2 + 2\,x\,R_i^2 + {x^2}\,R_i^2}} \cdot x\,{R_i}\] Im Nenner kann x·Ri ausgeklammert und mit dem Faktor nach dem Bruch gekürzt werden. \[{P_a} = \frac{{U_o^2}}{{x\,{R_i}\left( {\frac{{{R_i}}}{x} + 2\,{R_i} + x\,{R_i}} \right)}} \cdot x\,{R_i} = \frac{{U_o^2}}{{\left( {\frac{{{R_i}}}{x} + 2\,{R_i} + x\,{R_i}} \right)}}\] Wird im Nenner Ri ausgeklammert, so bleibt im Klammerausdruck als Variable x stehen: \[{P_a} = \frac{{U_o^2}}{{{R_i}\left( {\frac{1}{x} + 2 + x} \right)}}\] Die abgegebene Leistung Pa ist am größten, wenn der Nenner am kleinsten ist. Das ist nur bei x = 1 der Fall. Die Quelle gibt das Leistungsmaximum an die angeschlossene Last ab, wenn \({R_a} = {R_i}\) ist.

Mathematische Herleitung durch Kurvendiskussion

Das Ergebnis kann mathematisch durch Differenzierung und Bestimmung der Extremwerte gefunden werden. In der Ausgangs-(Stamm)funktion ist die unabhängige Größe Ra in einer Zähler- und Nennerfunktion enthalten. \[{P_a} = \frac{{U_o^2\,{R_a}}}{{{{({R_a} + {R_i})}^2}}}\] \[u({R_a}) = U_o^2\,{R_a}\quad und\quad v({R_a}) = {({R_a} + {R_i})^2}\] Die 1. Ableitung erfolgt nach der Quotientenregel. \[{\left( {\frac{{u(x)}}{{v(x)}}} \right)^\prime } = \frac{{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}}{{{{(v(x))}^2}}}\] \[{P_a}^\prime = \frac{{U_o^2\,{{({R_a} + {R_i})}^2} - U_o^2\,{R_a}\,(2\,{R_a} + 2\,{R_i})}}{{{{({R_a} + {R_i})}^2} \cdot {{({R_a} + {R_i})}^2}}}\] Die 1. Ableitung ist die Steigungsfunktion für die Stammfunktion. Im Extremalpunkt ist die Steigung null, folglich kann mit den Nullstellen der 1. Ableitung die Lage der Extremalpunkte bestimmt werden. Die höchste Potenz der Variablen Ra ist 2. In diesem Beispiel ist die Stammfunktion eine quadratische Funktion mit einem einzigen Extrempunkt. Wird die 1. Ableitung null gesetzt, kann anschließend der Zähler ausgerechnet werden: \[{P_a}^\prime = 0\quad \Rightarrow U_o^2\,{({R_a} + {R_i})^2} - U_o^2\,{R_a}\,(2\,{R_a} + 2\,{R_i}) = 0\] \[U_o^2\,{({R_a} + {R_i})^2} = U_o^2\,{R_a}\,(2\,{R_a} + 2\,{R_i})\] \[R_a^2 + 2\,{R_a}\,{R_i} + R_i^2 = 2\,R_a^2 + 2\,{R_a}\,{R_i}\quad \Rightarrow R_a^2 + R_i^2 = 2\,R_a^2\] \[{R_i} = {R_a}\]

Die zur Verfügung stehende Leistung der Quelle Pzu teilt sich in die am Lastwiderstand nutzbare Leistung Pa und der am Quelleninnenwiderstand umgesetzten Leistung Pi auf. \[{P_{zu}} = {P_a} + {P_i} = \frac{{U_a^2}}{{{R_a}}} + \frac{{U_i^2}}{{{R_i}}}\] Es wurde hergeleitet, dass bei der Leistungsanpassung beide Widerstandswerte gleich sind. In diesem Fall sind auch die Spannungen an diesen Widerständen gleich. Das kann als Bestimmungskriterium genutzt werden. Es wird die Leerlaufspannung gemessen und mit der Klemmenspannung bei Belastung verglichen. Bei Leistungsanpassung ist die Klemmenspannung halb so groß wie die Leerlaufspannung. \[{R_a} = {R_i}\quad \Rightarrow {U_a} = {U_i} = \frac{1}{2}{U_o}\]

Schaltung bei Leistungsanpassung

In der Formel zur Gesamtleistung, das ist die maximal zur Verfügung stehenden Leistung Pzu, sind bei Leistungsanpassung die Widerstände gleich und die Teilspannungen jeweils halb so groß wie die Leerlaufspannung. Bei Leistungsanpassung ist die abgegebene Leistung ebenso groß wie die in der Quelle umgesetzte Leistung, die oft als Verlustleistung bezeichnet wird. \[{P_{ges}} = {P_{zu}} = \frac{{U_o^2}}{{4\,{R_a}}} + \frac{{U_o^2}}{{4\,{R_i}}}\;mit\;{R_a} = {R_i}\quad \Rightarrow {P_{zu}} = \frac{{U_o^2}}{{2\,{R_i}}}\] Der Wirkungsgrad η (eta) ist der Quotient aus der abgegebenen und am Lastwiderstand umgesetzten Leitung zur gesamten zugeführten Leistung. Für den betrachteten Fall der Leistungsanpassung gilt: \[\eta = \frac{{{P_{ab}}}}{{{P_{zu}}}} = 0,5 = 50\% \]

Allgemeine Leistungsbilanz

Der Energieerhaltungssatz besagt, dass Energie nicht erzeugt oder vernichtet sondern nur in andere Energieformen umgewandelt werden kann. Mit Energie kann z. B. elektrische Arbeit mit der Benennung W·s (Watt mal Sekunde) verrichtet werden. Elektrische Leistung hat die Benennung W = U·I, denn es ist die Arbeit, die während einer bestimmten Zeit erledigt wird. Die Leistungsformel kann im Hinblick auf die abgegebene, nutzbare Leistung anders geschrieben werden, um sie dann ins Verhältnis zur zugeführten Gesamtleistung zu setzen: \[{P_{zu}} = {P_a} + {P_i}\quad \Rightarrow {P_a} = {P_{zu}} - {P_i}\] \[\eta = \frac{{{P_a}}}{{{P_{zu}}}} = \frac{{{P_{zu}} - {P_i}}}{{{P_{zu}}}} = 1 - \frac{{{P_i}}}{{{P_{zu}}}}\] Der Wirkungsgrad wird praktisch immer kleiner als eins sein, da jede reale elektrische Quelle einen Innenwiderstand hat.

Simulationsversuch mit grafischer Auswertung

Die Tabelle zeigt die Ergebnisse einer Simulationsmessreihe für eine 10 V Spannungsquelle mit 10 Ω Innenwiderstand. Sie wurde mit ohmschen Widerständen unterschiedlich belastet. Gemessen wurden die Klemmenspannung und der Laststrom. Die Simulation ermöglicht direkte Spannungsmessungen am Innenwiderstand, während die Werte im Laborversuch nur rechnerisch zu ermitteln sind. Aus den Simulationswerten wurden die abgegebene Leistung Pa, die am Innenwiderstand umgesetzte Leistung Pi, die Gesamtleistung Pges als Summe beider Teilleistungen und der Wirkungsgrad η berechnet.

Ra U/V I/mA Ui/V Pa/W Pi/W Pges/W η
100 9,09 91,0 0,91 0,83 0,08 0,91 0,91
80 8,89 111,1 1,11 0,99 0,123 1,11 0,89
60 8,57 143,0 1,43 1,23 0,204 1,43 0,86
40 8,00 200,0 2,00 1,60 0,40 2,00 0,80
30 7,50 250,0 2,50 1,88 0,625 2,50 0,75
20 6,67 333,3 3,33 2,22 1,111 3,33 0,67
10 5,00 500,0 5,00 2,50 2,500 5,00 0,50
8 4,44 555,5 5,56 2,47 3,090 6,33 0,39
6 3,75 625,0 6,25 2,34 3,910 6,25 0,38
4 2,86 714,2 7,14 2,04 5,100 7,14 0,29
2 1,67 833,3 8,33 1,39 6,940 8,33 0,17
1 0,91 909,0 9,09 0,83 8,260 9,09 0,09

Im Diagramm sind die abgegebene Leistung und der Wirkungsgrad als Funktion des normierten Lastwiderstandes, dem Verhältnis Ra / Ri dargestellt. Die Leistungskurve hat ihr Maximum beim Widerstandsverhältnis 1 und an der roten Kurve kann der Wirkungsgrad η = 0,5 gleich 50% abgelesen werden.

Leistungsdiagramm

Kurzschlussbetrieb

Wird die Quelle kurzgeschlossen, dann beträgt die Klemmenspannung 0 Volt und der Kurzschlussstrom wird vom Wert des Innenwiderstands der Quelle bestimmt. Die gesamte Leistung wird am Innenwiderstand der Quelle umgesetzt und Pi = Pzu. Mit jeder der beiden für den Wirkungsgrad hergeleiteten Formeln ist dann η = 0. Da nach außen keine Leistung abgegeben wird, ist der Wirkungsgrad null. Die letzte Zeile der Tabelle kommt dem Kurzschlussbetrieb sehr nahe.

Die Leistungsanpassung ist besonders verbreitet in der Nachrichtentechnik. In der Energieversorgungstechnik ist diese Betriebsart unwirtschaftlich, da sich bei gleich hohem Leistungsanteil die Generatoren bis zur Zerstörung überhitzen. Die Kraftwerkgeneratoren werden im Arbeitsbereich des höchstmöglichen Wirkungsgrads betrieben.

Spannungsanpassung

Ist der Innenwiderstandswert einer Spannungsquelle klein im Vergleich zum angeschlossenen Lastwiderstandswert, dann ändert sich in einem weiten Lastwechselbereich die Klemmenspannung nur wenig. Dieser Betriebszustand wird Überanpassung oder Spannungsanpassung genannt. Mit Ra ≫ Ri nähert man sich dem Leerlaufbetrieb. Lastwechsel zeigen keine messbaren Änderungen der Klemmenspannung. Der Betriebszustand wird Konstantspannung genannt.

Stromanpassung

Ist der Innenwiderstandswert der Quelle groß und der Wert des Lastwiderstands bleibt im Vergleich dazu klein so liegt Stromanpassung vor, die auch als Unteranpassung bezeichnet wird. Beide Widerstände bilden eine Reihenschaltung wobei der höhere Widerstandswert den Stromfluss bestimmt. Kleinere Laständerungen mit Ra < Ri haben auf den Strom umso weniger Einfluss je größer der Unterschied zwischen den Widerstandswerten ist. Mit Ra ≪ Ri nähert man sich dem Kurzschlussbetrieb. Praktisch wird der Strom nur vom Innenwiderstand der Quelle bestimmt. Dieser Betriebszustand wird Konstantstrom genannt.