Informations- und Kommunikationstechnik

Der RC-Hochpass als Differenziator

Im Abschnitt der Tiefpass als Integrierer wurde gezeigt, dass für besonders dimensionierte RC-Tiefpässe das Ausgangssignal der mathematischen Integration der Eingangsfunktion nahekommt. Das mathematisch entgegengesetzte Verhalten zeigen RC-Hochpassschaltungen. Bei richtiger Dimensionierung zeigt das Ausgangssignal den Verlauf der ersten Ableitung der Eingangsfunktion. Der RC-Hochpass ist ein Differenziator, früher als Differenzierer bezeichnet. Untersucht wird das Verhältnis der Zeitkonstante τ zur Frequenz eines rechteckförmigen Eingangssignals konstanter Amplitude und dem Tastgrad von 0,5. Die Zeitkonstante ist umschaltbar. Die Ausgangsspannung am Widerstand folgt der zeitlichen Stromänderung während der Ladung und Umladung des Kondensators.

Das Rechtecksignal kann als ein zwischen maximaler Spannung und null geschaltetes DC-Signal gesehen werden. Beim ersten Einschalten ist der Kondensator ungeladen, sodass der maximale Ladestrom fließt, der am Widerstand mit dem Oszilloskop als Ausgangsspannung dargestellt wird. Der Spannungsverlauf ist proportional zum Ladestrom, der einer abnehmenden e-Funktion folgt. Bei konstanter Frequenz bestimmt die Zeitkonstante den Ladeverlauf. Bei ausreichend kleiner Kapazität ist der Ladevorgang kurz nach dem Einschalten abgeschlossen und am Ausgang ist ein nadelförmiges Signal messbar, dessen Maximalamplitude von der des Eingangssignals und dem Wert des ohmschen Widerstands bestimmt wird.

Die umschaltbaren Signaldiagramme zeigen den sogenannten eingeschwungenen Zustand. Ein Kondensator großer Kapazität wird in der ersten Periode nicht vollständig aufgeladen. Beim jedem folgenden Umschalten wird ab der erreichten Endspannung umgeladen. Der Absolutwert der Spannung am Kondensator bleibt gleich, daher ist das Ausgangssignal zur Nulllinie symmetriert. Das Diagramm zeigt das Einschwingen, das hier nach 3 ms erreicht ist.

Einschwingvorgang für RC-Hochpass

RC-Hochpass mit umschaltbarer Zeitkonstante:

Impulsformung

Die Beispiele zeigen, dass mit kleinerer Zeitkonstante das Ausgangssignal stärker verformt ist. Ist das Verhältnis der Zeitkonstanten τ sehr klein verglichen mit der Periodendauer des Eingangssignals und seinen Umschaltzeit, dann zeigt das Ausgangssignal schmale Nadelimpulse. Ein so dimensionierter Hochpass reagieren ausschließlich auf schnelle Änderungen im Eingangssignal und wird Differenziator genannt.

Das Abbild einer mathematischen Funktion kann für jeden Kurvenpunkt durch die Steigung in jedem Punkt beschrieben werden. Mathematisch errechnen sich die Steigungen mithilfe der ersten Ableitung der Funktionsgleichung und dem Einsetzen des Koordinatenwerts der Abszisse. Der Vorgang nennt sich Differenzieren. Das vierte Beispiel zeigt den RC-Hochpass als praktisch nutzbaren Differenziator der im Ausgangssignal nur noch schnelle Änderungen des Eingangssignals darstellt.

Ebenso verhält sich ein RL-Hochpass, mit dem Ausgangssignal parallel zur Spule. Soll die Schaltung als RL-Differenziator genutzt werden, muss das Verhältnis der Zeitkonstanten τ = L / R zur Periodendauer T des Eingangssignals mit τ/T « 1 sehr viel kleiner als 1 sein.

Der Hochpass als Differenziator

Funktionsgeneratoren bieten nur wenige Signale mit einfachen mathematischen Funktionen, um die Eigenschaft des Differenziators anschaulich darzustellen. Ein Dreiecksignal kann durch zwei Geradengleichungen mit positiver und negativer Steigung beschrieben werden. Die erste Ableitung einer Geradenfunktion ist eine Konstante. Als Ausgangssignal eines Differenziators ist ein Rechtecksignal mit positivem und negativem konstanten Spannungswert zu erwarten. Der Differenzialquotient von sin(x) ergibt cos(x). Die Ableitung einer Parabel führt zu einer linearen Funktion. Die folgende umschaltbare Grafik zeigt für die drei Eingangssignale nur qualitative Ergebnisse ohne Angaben zu den Amplituden.

Ausgangssignal (grün) am RC-Differenziator bei folgenden Eingangssignalen:

Differenziator

Das parabelförmige Eingangssignal (dünne blaue Linie) wurde durch Integration eines Dreiecksignals generiert. Um die Zuordnung der beiden Parabeln zu ihrer ersten Ableitung hervorzuheben wurden die jeweiligen Parabelbögen (dicke blaue Linie) in das eingezeichnete rechtwinklige Achsenkreuz verschoben.

Anwendungsbeispiele

Vor den modernen Digitalrechnern gab es Analogrechner mit Operationsverstärkern (OPVs) die zusätzlich zu den Grundrechenarten in einem bestimmten Rahmen das Differenzieren und Integrieren ermöglichten. Für mathematisch gute Ergebnisse war zuvor immer ein Abgleich der Schaltung notwendig. In elektronischen Regelschaltungen werden durch zusätzliche Differenzierglieder auch schnelle Änderungen erfasst und können ausgeregelt werden. Bei der Signalübertragung über mehrere Stufen und langen Leitungen werden Differenziator Schaltungen zur Impulsformung und Regeneration der Schaltsignale eingesetzt. Sie stellen die Flankensteilheit der Signale wieder her, die wegen der Tiefpasseigenschaft langer Leitungen verloren geht.