Mathematische Folgen

Mathematische Zusammenhänge lassen sich manchmal durch das Überführen in Funktionsreihen anschaulicher darstellen und einfacher lösen. Die mathematische Folge ist die Vorstufe der mathematischen Reihe. Was darunter zu verstehen ist, und wie beide zusammenhängen, soll hier im Überblick an Beispielen zur arithmetischen Folge, geometrischen Folge und der Eulersche Zahl e gezeigt werden.

Zahlenfolgen

Werden mithilfe einer bestimmten Gesetzmäßigkeit Zahlen oder Größen aufeinander folgend notiert, so ist das Ergebnis eine Zahlenfolge. Bei bekanntem Bildungsgesetz erhält man eine bestimmte Folge, in der sich alle Glieder eindeutig benennen lassen. Jeder kennt die Grundzahlen oder natürlichen Zahlen, die ohne Ende geschrieben die Folge der positiven ganzen Zahlen bilden:

1, 2, 3, 4, 5, ... oder allgemein x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, ... als unendliche Zahlenfolge.

Die einzelnen Zahlen sind die Glieder einer Folge. Das Bildungsgesetz, das die Abfolge der Glieder bestimmt, kann eine Rechenoperation sein, wo neben den Zahlen nur noch der Zählindex, meistens n, auftritt. Das allgemeine Bildungsgesetz für die soeben dargestellte unendliche Zahlenfolge lautet somit:

x_n = n mit dem Bildungsgesetz n = 1, 2, 3, ...

Zahlenfolgen können besondere Eigenschaften haben. In der vorgestellten Folge der ganzen Zahlen ist jedes Folgeglied um den gleichen Betrag größer. Mathematisch schreibt man das als:

x_n ≤ x_n+1 eine monoton wachsende Folge.

In der Folge mit dem Bildungsgesetz xn = 1/n ist jedes Folgeglied kleiner als sein Vorgänger. Diese Eigenschaft heißt monoton fallend. Sind die Beträge aller Glieder kleiner als eine feste positive Zahl Z, so kommt die Eigenschaft der Beschränkung hinzu. Diese Folge ist daher monoton fallend und beschränkt.

x_n ≥ x_n+1: x_n = 1/n mit n = 1, 2, 3, ... ergibt: 1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ... als monoton fallende Folge.
|x_n| ≤ Z oder −Z ≤ x_n ≤ +Z: Kriterium für eine beschränkte Folge.

Mit Konvergenz wird die Eigenschaft einer Zahlenfolge bezeichnet, die einen bestimmten Endwert anstrebt, ihn aber nicht exakt erreichen wird. Die Folge konvergiert bei ausreichend großem Index auf diesen Grenzwert g zu. Die Mathematiker beschreiben diesen Vorgang durch den Limes einer Folge, gelesen als Limes von xn für n gegen unendlich gleich g. Links steht eine allgemeine konvergierende Folge mit dem Grenzwert g. In der Mitte wird das additive Glied mit zunehmendem n immer kleiner und der Grenzwert strebt gegen 1. Das Beispiel rechts steht für eine Nullfolge.

Divergente Folgen streben keinem endlichen Grenzwert zu. Das zuerst genannte Beispiel mit den Grundzahlen ist eine divergente Folge. Wachsen die Glieder mit Plus oder Minus über jede denkbar große Zahl hinaus, so divergiert die Folge gegen +∞ und/oder −∞. Diese Folgen haben die Eigenschaft bestimmt und divergent zu sein.

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Arithmetische Folge

Eine arithmetische Folge zeichnet sich durch eine feste Differenz d zwischen den im gleichen Abstand aufeinanderfolgenden Gliedern einer Zahlenfolge aus. In derartigen Folgen ist jedes Glied das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder. Die Reihenschaltung einer Vielzahl von 1,5 V Batterien stellt mit ihren Stufenspannungswerten eine arithmetische Folge dar. In diesem Beispiel sind die Glieder der Differenzfolge einander gleich. Ist die erste Differenzfolge so eine konstante Folge, dann wird die Ursprungsfolge als arithmetische Folge 1. Ordnung bezeichnet.

Bei einer arithmetischen Folge erster Ordnung ist die Differenz von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant.
Es gilt: x_n+1 − x_n = d
Für das Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge erster Ordnung gilt: x_n = x₁ + (n − 1) · d

Mit dieser speziellen Festlegung muss es auch arithmetische Folgen höherer Ordnungen geben. Die Folge der Quadratzahlen ist eine arithmetische Folge 2. Ordnung. Mit den Zahlen 1, 4, 9, 16, 25, ... errechnet sich für die erste Differenzfolge 3, 5, 7, 9, ... und daraus für die zweite Differenzfolge die konstante Folge mit 2.

Interpolation

Mit dem Gebrauch eines Taschenrechners ist die Logarithmentafel unwichtig geworden. Sie hat zusätzliche Interpolationstabellen, mit deren Hilfe das Ergebnis genauer angegeben werden konnte. Meistens lag der errechnete Wert irgendwo zwischen zwei Logarithmenwerten. Werden zwischen zwei Glieder einer arithmetischen Folge weitere Glieder so eingefügt, dass eine neue arithmetische Folge entsteht, dann handelt es sich um eine Interpolation. Auch der Nonius eines Messschiebers nutzt die Interpolation zum genaueren Ablesen des Messwertes. Da sich die verfeinerte Abstufung zwischen zwei ohmschen Widerstandsreihen nach international gültiger Regel als Beispiel nicht eignet, wird hier durch das Einfügen von 4 Zwischengliedern in eine bestehende grobe Zahlenfolge die Interpolation veranschaulicht.

Die arithmetische Folge:
1, 6, 11, ...
soll durch das Einfügen von 4 Zwischengliedern in die neue arithmetische Folge überführt werden:
1, a₁, a₂, a₃, a₄, 6, a₅, a₆, a₇, a₈, 11, ...
Die Differenz war d = 6−1. Jetzt sind es 5 Differenzen mit: 6−1 = 5·d mit d = 1
Die gesuchte interpolierte arithmetische Folge lautet:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

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Geometrische Folge

Hat in einer Zahlenfolge die Division eines Gliedes durch das unmittelbar vorangehende Glied immer das gleiche Ergebnis, dann liegt eine geometrische Zahlenfolge vor. Jedes Glied errechnet sich aus dem geometrischen Mittel seiner Nachbarglieder. Das geometrische Mittel ist die Quadratwurzel aus dem Produkt zweier Nachbarglieder. Im folgenden Beispiel ist das Anfangsglied x1 = x = 1 und der Quotient q = 2:

Bei einer einfachen geometrischen Folge ist der Quotient von zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant. Es gilt: x_n+1 / x_n = q
Das Bildungsgesetz einer solchen geometrischen Folge lautet: x_n = x₁ · qⁿ⁻¹

Den geometrischen Folgen lassen sich bestimmte Eigenschaften zuordnen:

q > 1: Eine stetig steigende Folge: 1, 2, 4, 8, 16, ...
0 < q < 1: Eine stetig fallende Folge: 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...
0 > q > −1: Die Glieder der Folge sind abwechselnd positiv und negativ: 1, −1/10, 1/100, −1/1000, ...
q < −1: Die Glieder der Folge sind abwechselnd positiv und negativ: 1, −2, 4, −8, 16, −32, ...
q > 1 und −1 ≥ q: Ergibt divergente Folgen.
−1 < q ≤ 1: Ergibt konvergente Folgen.

In der physikalischen Messtechnik werden teilweise Sekundärelektronenvervielfacher eingesetzt. Sie sind auch Bestandteil von extrem lichtempfindlichen Kamerasystemen und Restlichtaufhellern. Ein bei Anregung erstes ausgesendetes Elektron wird beschleunigt und prallt auf eine Elektrode, wo es ein weiteres Elektron oder mehrere Sekundärelektronen freisetzt. Diese werden erneut beschleunigt und prallen auf eine nachfolgende Elektrode. Dabei werden wieder je Elektron gleichviel neue Elektronen freigesetzt. Dieser Vorgang läuft in einer Kaskade ab. Das Ergebnis ist ein verstärkter Elektronenstrom. Die Elektronenvervielfachung lässt sich durch eine stetig steigende geometrische Folge beschreiben.

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Eulersche Zahl e

In der mathematischen Beschreibung natürlicher Wachstumsvorgänge ist sehr oft eine Abhängigkeit von der Eulerschen Zahl e ≈ 2,71828... zu finden, mit der die Veränderungen pro Zeiteinheit erfolgen. Der Auf- und Entladevorgang eines Kondensators verhält sich ebenso nach einer e-Funktion wie auch der Zerfall radioaktiver Isotopen.

Der Elektronenvervielfacher erhält eine feinere, einprozentige Unterteilung zwischen zwei Platten und jeder Zwischenschritt erhöht die Anzahl der Elektronen. Mit M0 Elektronen als Startwert bekommt man nach dem Bildungsgesetz einer geometrischen Folge die nachstehende Beziehung für die Zunahme. Unabhängig vom Startwert strebt die Folge mit immer kleineren Zeitabschnitten innerhalb des Intervalls auf einen Grenzwert zu.

Nach dem ersten Teilschritt hat sich der Startwert vergrößert Gl. (I). Nach dem zweiten Teilschritt nimmt der Folgewert ebenso zu Gl. (II). Nach dem Einsetzen der Gl. (I) in die Gl. (II) kann schrittweise ausgeklammert werden. Es ist zu erkennen, dass der Schrittzähler als Exponent erscheint, als Gl. (III) geschrieben. Auf den Startwert bezogen und davon unabhängig sowie als Grenzwertbetrachtung für immer kleinere Zeitabschnitte bei immer mehr Schritten folgt als Grenzwert die Eulersche Zahl e.