Diracpuls – Systemtheorie

Der Begriff Systemtheorie ist nicht allein auf Naturwissenschaften begrenzt. Im Spezialfall elektrischer Signale und deren Verarbeitung schafft die Systemtheorie theoretisch mathematische Ansätze mit deren Hilfe sich Eigenschaften und Funktionalitäten technischer Systeme erklären und verstehen lassen. Die formale Beschreibung erfasst dabei sowohl statische als auch dynamische Anschauungen der zu untersuchenden Systeme. In der Elektrotechnik, und dort insbesondere in der Nachrichtentechnik, hilft sie bei der Beschreibung von Signalen im Zeit- und Frequenzbereich. Sie liefert den theoretischen Hintergrund zur analogen und digitalen Signalverarbeitung einschließlich der Filtertechniken.

Periodische und zeitkontinuierliche Signale lassen sich mathematisch eindeutig und schnell durch Fourierreihen erfassen. Die Fouriertransformation ist dabei ein Bindeglied zwischen dem Zeit- und Frequenzbereich. Für die Systemanalyse ist die daraus ableitbare Delta-Distribution, der Diracpuls von großem Interesse. Mit der auf einen Dirac folgenden Impulsantwort eines Systems lassen sich Übertragungsfunktionen und Regelsysteme untersuchen und mathematisch vorhersagbar machen.

Ohne Systemtheorie ließe sich unter anderem die Digitalisierung, das Shannon-Prinzip, Datenkompression, Verschlüsselung, Übertragung und spätere Demodulation zur Rückgewinnung der analogen Informationen nicht vorhersagen und verstehen. Es gäbe auch keine Kosten- und Ressourcen sparende Vorabuntersuchungen in Simulationsprogrammen.

Vom Rechteckpuls zur Spektraldichtefunktion

Der erste Videoclip zeigt, dass durch die Variation einiger Parameter sich ein Rechtecksignal letztlich aus einer unendlichen Reihe Cosinusfunktionen zusammensetzt. Die Signale werden sowohl in der Zeitebene als auch in der Frequenzebene gezeigt. Zur Darstellung wird teilweise das gewohnte Koordinatensystem mit nur positiver Zeit- und Frequenzachse verwendet, sonst aber die in der Systemtheorie übliche horizontale symmetrische Achsenteilung mit positiven und negativen Abschnitten. Der Videoclip kann nur mithilfe der einblendbaren Controlleiste individuell gesteuert werden.

Das Video zeigt, wie sich die Pulsbreite und damit das Tastverhältnis auf das Fourierspektrum auswirkt. Es erklärt das Fehlen einzelner Harmonischer für das jeweils eingestellte Tastverhältnis. Dargestellt wird der Übergang vom periodischen Rechtecksignal zum aperiodischen einzelnen Rechteckpuls. Die Funktionsdarstellungen wurden für jede Einstellung aus der unendlichen Cosinusreihe gesondert errechnet. Interessante mathematische Zusammenhänge werden schrittweise hergeleitet. Am Filmende wird die Spektraldichteverteilung für den aperiodischen Rechteckpuls gezeigt, bei dem das anfängliche Tastverhältnis von V = 2 gegen unendlich gegangen ist.

Der Diracpuls oder Einheitspuls

Der zweite Videoclip veranschaulicht das Entstehen einer Dirac-Pulsfolge in der Zeitebene durch die Überlagerung frequenzmäßig voneinander abhängiger Cosinusfunktionen. Es ist zu erkennen, dass der Flächeninhalt unter dem sich aufbauenden Puls gleich bleibt. Die Fläche wird hier näherungsweise durch das vom Puls eingeschlossene Dreieck berechnet. Dabei bestimmt die erste Nullstelle zu beiden Seiten des Pulses die Dreiecksgrundseite und die Höhe ist gleich dem Amplitudenspitzenwert.

Für den Dirac-Kamm im Zeitbereich schließt sich eine schrittweise erklärte Berechnung des Flächeninhalts aus der unendlichen Cosinusreihe an. Sie zeigt, dass für den Dirac-Stoß die auf T normierte Fläche den Wert 1 hat. Am Ende steht die mathematische Gegenüberstellung für die umkehrbare Transformation einer Dirac-Stoßfolge vom Zeit- in den Frequenzbereich.

Wird ein periodisches analoges Signal der Fourieranalyse unterzogen, so erhält man das Frequenzspektrum des Signals. Die Signaldarstellung in der Zeitebene wird in eine entsprechende Signaldarstellung in der Frequenzebene überführt. Es ist zu erkennen, dass die analogen Signale eine additive Überlagerung sinus- (cosinus)förmiger Signale bestimmter Frequenzen und Amplituden sind. Die Fouriertransformation liefert die mathematischen Zusammenhänge für den wechselseitigen Übergang zwischen den Signaldarstellungen in der Zeit- und Frequenzebene.

Ein Gleichspannungssignal hat einen zeitlich konstanten Verlauf. Die Frequenz ist gleich null. Die Fourieranalyse liefert für alle Frequenzen erwartungsgemäß den Wert null. Der einzige Signalpeak in der Frequenzebene liegt bei f=0 und entspricht dem Diracpuls.

Die beiden Videos zeigen, dass ein einzelner extrem kurzer Puls, der Dirac, extrem viele Frequenzen mit gleicher Amplitude enthält. Das steht im Einklang mit der Fouriertransformation und zeigt sich in der Gegenüberstellung der Signaldarstellungen im Zeitbereich und Frequenzbereich.

Die mathematische Dirac-Funktion δ(x) ist zeichnerisch nicht darstellbar. Die Pulsbreite ist unendlich schmal und die Pulshöhe unendlich hoch. In der Grenzwertbetrachtung hat der Puls den Flächeninhalt 1. Das ist auch aus dem Video ersichtlich.