Informations- und Kommunikationstechnik

Ohmsches Gesetz

Wird an eine praktisch ideale Spannungsquelle mit einem vernachlässigbar kleinen Innenwiderstand ein Lastwiderstand mit linearem Verhalten angeschlossen, so fließt bei geschlossenem Stromkreis ein elektrischer Strom. Mit zunehmender Spannung bei unverändertem Widerstand nimmt die Stromstärke zu. Für die höhere Potenzialdifferenz, der angelegten Spannung, ist mehr Energie vorhanden und treibt in der gleichen Zeit mehr Elektronen durch den Widerstand. Werden gleiche Spannungsänderungen an einen höheren konstanten Widerstandswert gelegt, so sind die Stromänderungen kleiner.

Im geschlossenen Stromkreis ist die Stromstärke I zur Spannung U direkt proportional.
Der Proportionalitätsfaktor ist der Leitwert G.
Im geschlossenen Stromkreis ist die Stromstärke I zum Widerstandswert R umgekehrt proportional.
Der Proportionalitätsfaktor ist die Spannung U.
Die Spannung U am Widerstand ist direkt proportional zum Widerstandswert R.
Der Proportionalitätsfaktor ist der Strom I.

Die mathematische Schreibweise der aufgelösten Proportionalitäten lautet: \[I \propto U \Rightarrow \frac{I}{U} = G\quad \quad I \propto \frac{1}{R} \Rightarrow I \cdot R = U\quad \quad U \propto R \Rightarrow \frac{U}{R} = I\quad \]

Sind zwei der drei Größen bekannt, kann durch Umstellung der Gleichungen der dritte Wert errechnet werden. Der mathematische Zusammenhang ist grafisch darstellbar. An einem Widerstand wird die angelegte Spannung verändert und der resultierende Strom gemessen. Der Strom I ist eine Funktion der Spannung U oder mathematisch ausgedrückt I = f(U) = G·U. Das Funktionsbild ergibt eine Gerade und wird in der Mathematik als lineare Funktion bezeichnet. Die Steilheit oder Steigung der Geraden entspricht dem Leitwert G. Der Widerstandswert ist der Kehrwert des Leitwerts R = 1 / G. Je geringer der Widerstandswert ist, desto mehr Strom fließt bei der gleichen angelegten Spannung, er leitet den Strom also besser.

Der Widerstand R bildet mit der variablen Gleichspannungsquelle, allgemein als Generator bezeichnet, einen geschlossenen Stromkreis. Die Messgeräte sollen ideales Verhalten haben und die Messwerte nicht beeinflussen. Der Videoclip zeigt das Verhalten für zwei Widerstände. Eine individuelle Steuerung ist mit der einblendbaren Controlleiste möglich. Mit steigender Spannung erhöht sich proportional der Strom. Die Marke bewegt sich im Diagramm auf der eingestellten Leitwertgeraden, die der Funktion I = f(U) = G·U entspricht.

Für die grüne Kurve errechnet sich der Leitwert G aus dem Steigungsdreieck ΔI / ΔU zu: G = 30·10−3 A / 3 V = 0,01 S mit dem Widerstandswert R als Kehrwert von G: R = 1 / G = 100 V/A = 100 Ω

Elektrotechnik – Rechner für U, I und R

Der mit JavaScript erstellte Rechner verarbeitet Ganzzahlen, Dezimalzahlen oder deren Zehnerpotenzen. Das Dezimaltrennzeichen muss der Punkt (.) sein. Die Eingabe mit Zehnerpotenzen gelingt wie folgt:
Anstelle 1245.65& kann 1.24565e3 oder für 0.002345 auch 2.345e-3 geschrieben werden.
Die Ergebnisse für Spannung, Strom und Widerstand werden in technischer Notation p(ico) ... G(iga) angezeigt.

Den zu berechnenden Wert wählen:
U = I · R     I = U / R     R = U / I

Elektrische Feldstärke und Stomdichte

Im Stromkreis kann elektrischer Strom nur fließen, wenn als Ursache eine elektrische Spannung vorhanden und der Stromkreis geschlossen ist. Die folgenden Betrachtungen beziehen sich auf eine konstante DC Gleichspannung. Der Strom soll durch einen Draht bekannter Länge l und Querschnittsfläche A fließen. Das eine Drahtende hat ein positives, das andere ein weniger positives, also negatives Potenzial. Die durch den Draht verlaufenden Feldlinien entsprechen einem homogenen ortsunabhängigen E-Feld von Plus nach Minus.

Wenn der Draht den Stromkreis schließt, können die in Metallen frei beweglichen Elektronen einen Ladungsausgleich bewirken. Die technische Stromrichtung erfolgt vereinbarungsgemäß von Plus nach Minus und somit verlaufen im Leiter die elektrischen Feldlinien und der Strom in der gleichen Richtung. Bei DC fließt der elektrische Strom an jeder Stelle durch den gesamten Leiterquerschnitt, sodass der Quotient I / A der Stromdichte J im Leiter entspricht. Sowohl das ursächliche E-Feld E als auch die Stromdichte J sind vektorielle Größen.

Betrachtet wird ein gerader Leiter der Länge l zwischen den Leiterenden a und b. Die Spannung zwischen diesem Bereich kann mathematisch mithilfe eines Integrals geschrieben werden, wobei E als konstante Größe vor dem Integral steht. \[U = {U_{ab}} = \overrightarrow E \int\limits_a^b {dl} \quad U = \overrightarrow E \cdot ({l_b} - {l_a}) = \overrightarrow E \cdot l\] Im geschlossenen Stromkreis verursacht das E-Feld die Stromdichte J. Für diesen Leiterabschnitt entspricht der Quotient beider Größen dem spezifischen Widerstand ρ in der Einheit Ω·mm² / m \[\frac{{\overrightarrow E }}{{\overrightarrow J }} = \frac{U}{l}:\frac{I}{A} = \frac{{U \cdot A}}{{I \cdot l}} = R \cdot \frac{A}{l} = \rho \] Wird der Quotient E:J = ρ anders geschrieben, so ist das Ergebnis die bekannte Formel zur Berechnung des Widerstandswerts R bei Kenntnis der Materialparameter: \[\overrightarrow E = \rho \cdot \overrightarrow J \Rightarrow \quad \frac{U}{l} = \rho \cdot \frac{I}{A} \Rightarrow \quad \frac{U}{I} = R = \rho \cdot \frac{l}{A}\] Der ohmsche Widerstand eines Leiters nimmt proportional mit der Länge l zu größer und verringert sich umgekehrt proportional mit dem Leiterquerschnitt A. Mit dem spezifischen Widerstand ρ des Leiters wird aus den Proportionalitäten die Gleichung für den ohmschen Widerstand R.