Informations- und Kommunikationstechnik

Physikalische Größen eines Magnetfelds

Elektrizität und Magnetismus stehen in einem engeren Zusammenhang. Es werden wichtige physikalische Größen des Magnetfelds beschrieben und Eigenschaften des magnetischen Kreises mit denen des elektrischen Kreises verglichen. Abschließend gibt es Hinweise zur Energie eines Magnetfelds und zur Kraft, die von einem Magnetpol ausgeht. Die Betrachtungen gelten für die Magnetostatik.

Die Durchflutung

H. Christian Ørsted beobachtete um 1820, dass ein vom Strom I durchflossener elektrischer Leiter um sich herum ein Magnetfeld hat. Das Magnetfeld ist von der Stromrichtung und seiner Größe abhängig. Die sich bewegenden Elektronen durchfluten auf ihren Strompfaden das von ihnen erzeugte Magnetfeld. Die Durchflutung hat eine auf das Leiterinnere bezogene und außerhalb des Leiters messbare Komponente.

Die Durchflutung hat als Formelzeichen Θ Theta (griech. Großbuchstabe). Die Einheit der Durchflutung wird in Ampere angegeben. Im Elektromaschinenbau werden teilweise Amperewindungen (Aw) als Benennung verwendet. Die Durchflutung ist das Produkt aus der Stromstärke und der Windungszahl: Θ = I · N in Ampere.

Die Durchflutung des Stroms durch eine geschlossene Kurve ist die Stromdichte für das von der Kurve umschlossene Flächenelement und die Ursache für das Magnetfeld. In Analogie dazu ist beim geschlossenen Stromkreis die Spannung die Ursache für den Strom. Die magnetische Durchflutung wird auch als magnetische Spannung Um bezeichnet und ist das Maß für die Kraft, die von der magnetischen Feldstärke H ausgeht.

Magnetische Feldstärke

Die magnetische Feldstärke hat das Formelzeichen H und wird in A/m angegeben. Es ist eine Größe, die mathematisch berechnet aber nicht direkt gemessen werden kann. Gemessen wird die weiter unten beschriebene magnetische Flussdichte B. Fließt durch einen geraden unendlich lang angenommenen Leiter der Strom 1 A, so ist im gleichbleibenden Abstand von 1 m zum Draht an jeder Stelle des Raums die magnetische Feldstärke H = 1 A/m. Die folgenden Betrachtungen gelten für Gleichstrom und für Ströme geringer Frequenz unterhalb 1 MHz. Die magnetische Feldstärke außerhalb eines Leiters ist umgekehrt proportional zum Leiterabstand. Im einfachsten Bild fließt der Strom durch den Mittelpunkt einer Kreisfläche. Die magnetische Feldstärke H entlang einer geschlossenen Umfangslinie, hier dem Kreisumfang ist konstant. Der wirksame Strom ist die Summe aller gerichteten Strompfade, die diese umrandete Fläche durchfluten. Es kann jede geschlossene Umlauflinie gewählt werden, wobei nur die davon eingeschlossenen Strompfade einen Beitrag zur Durchflutung liefern.

Mathematisch und wissenschaftlicher ist das Durchflutungsgesetz oder Ampèresche Gesetz das Linienintegral der magnetischen Feldstärke H entlang eines in sich geschlossenen räumlichen Integrationswegs (Kurve, Kontur). Das Ergebnis ist gleich der Stromsumme I, die von der so begrenzten Fläche durchflutet wird. Die gerichteten Größen werden mathematisch als Vektoren behandelt. Die Herleitung soll für den einfachen Fall einer Kreiskontur erfolgen. Bei der Integration entlang einer geschlossenen Feldlinie liegt zu jedem Wegabschnitt (ds) der Feldstärkevektor H parallel und ist konstant. Das Skalarprodukt ist dann das Produkt der Beträge. Der geschlossene Integrationsweg als Summe aller Wegabschnitte ist gleich dem Kreisumfang. Der Strom soll sich im Leiter homogen verteilen. Durch jedes differentielle Flächenelement fließt ein gleichgroßer Teilstrom. Die Stromdichte im gesamten Flächenelement, das von der Wegkontur, hier dem Kreisumfang umschlossen ist, ist gleich dem Gesamtstrom I. In der Skizze ist der Leiterradius R und für die jeweilige Kreiskontur wird der Radius r verwendet. Innerhalb des Leiters nimmt die magnetische Feldstärke H vom Zentrum bis zum Leiterrand proportional mit dem Abstand zu. Entlang des Leiterrands erreicht sie ihren höchsten Wert. Außerhalb des Leiters nimmt H umgekehrt proportional mit dem Abstand ab.

Durchflutung

Wird der Leiter zum Leiterring und fortlaufend zur Spule geformt, dann nimmt die Durchflutung bei gleichem Strom I proportional mit der Zahl N der Leiterschleifen zu. Wird bei gleicher Durchflutung der Durchmesser des Leiterrings oder der Spule verkleinert, so liegen die Magnetfeldlinien näher beieinander. Die Feldstärke nimmt zur Ringmitte hin zu. Bei mehrlagig gewickelten Spulen und Kreisringspulen wird in guter Näherung die Feldstärke entlang dem mittleren Abstand lm zum Spulenzentrum berechnet.

Leiterring und Toroidspule

Der Feldlinienverlauf eines Leiterrings ist nicht homogen. Die Bestimmung von H erfolgt mit dem Ringradius r und dem Abstand s vom Ringmittelpunkt. Bei einer Zylinderspule ist neben der Windungszahl N die Länge l der Spule und der Durchmesser der Windungen zu berücksichtigen. In einer langen Zylinderspule verlaufen in guter Näherung die Feldlinien homogen und parallel zueinander. Ist die Spulenlänge im Vergleich zur Windungsfläche sehr groß, dann ist das magnetische Feld vom Abstand der Flächenmitte nahezu unabhängig. In der Spulenmitte ist H am höchsten und nahe den beiden Enden halb so groß.

Feldstärke beim Leiterring und Zylinderspule

Magnetischer Fluss

Der magnetische Fluss ist eine skalare Größe, die positive oder negative Werte annehmen kann. Sie steht für die Summe der Feldlinien eines Permanent- oder Elektromagneten, die durch eine bestimmte Fläche gehen. Der magnetische Fluss ist proportional zur magnetischen Feldstärke und zur Fläche, die vom Feld erfasst wird. Treten die Feldlinien senkrecht durch die Fläche (A), dann ist der Wert des magnetischen Flusses am größten. Er somit proportional zum Anstellwinkel (φ) der Fläche bezogen auf die Feldlinienrichtung. Das Formelzeichen ist Φ Phi (griech. Großbuchstabe), die Einheit wird in V·s oder Weber Wb zu Ehren des Physikers Weber angegeben. Φ = B · A · cos(φ)

Magnetische Flussdichte

Das magnetische Feld (H) wird mit elektrischem Strom erzeugt und kann, wie weiter oben gezeigt, berechnet werden. Die magnetische Flussdichte ist eine vektorielle Größe und als Wirkung des H-Felds messbar. Im Vakuum, wo es keine magnetisierbare Materie gibt, haben beide vektoriellen Feldgrößen den gleichen Wert und sind zueinander proportional. Die Proportionalitätskonstante ist die magnetische Feldkonstante des Vakuums μo, die auch als magnetische Permeabilität bezeichnet wird. Die maximale magnetische Flussdichte, auch magnetische Induktion genannt, gibt die Dichte der magnetischen Feldlinien durch eine senkrecht zur Feldrichtung liegenden Fläche an. Auf eine Flächeneinheit bezogen ist im homogenen Feld die magnetische Flussdichte gleich dem magnetischen Fluss. Das Formelzeichen ist B, mit der Einheit V·s/m2 oder Tesla T, zu Ehren des Physikers Tesla.

Flussdichteformeln

Permeabilität

Die magnetische Feldkonstante des Vakuums μo ist der Quotient aus der magnetischen Flussdichte B zur magnetischen Feldstärke H und kann mithilfe mehrerer Naturkonstanten hergeleitet werden. Auch für eine Spule ohne Kern (Luftspule) gilt dieser Wert. Wird das Kernmaterial geändert, so kann sich das Verhältnis B/H bei konstant gehaltener Magnetfeldstärke mehr oder weniger stark ändern. Die relative Permeabilität oder Durchlässigkeit für Magnetfeldlinien μr ist für die Kernwerkstoffe sehr unterschiedlich und eine dimensionslose Zahl. Die relative Permeabilität eines Werkstoffes ist nicht immer konstant. Sie kann von der magnetischen Feldstärke abhängig sein und strebt meistens einen Sättigungswert an. Magnetisierbare Legierungen aus Eisen, Kobalt und Nickel haben die Fähigkeit magnetische Feldlinien in sich zu konzentrieren und verstärken das Magnetfeld. Blei, Zinn und Kupfer können magnetische Feldlinien geringfügig verdrängen und das Magnetfeld etwas schwächen. Für die magnetische Flussdichte einer Spule mit Kern gilt die Formel: B = μo · μr · H

Die Permeabilitätszahl μr eines Stoffes gibt an, wie viel Mal größer die magnetische Flussdichte B gegenüber Vakuum oder Luft bei gleicher Durchflutung Θ ist.
Die Permeabilität μ ist das Produkt aus der magnetischen Feldkonstante µo und einer dimensionslosen Permeabilitätszahl µr.
Es gilt: μ = μo · μr
Bei diamagnetischen Stoffen ist μr <1. In ihrem Inneren wird ein Magnetfeld gering geschwächt.
Bei paramagnetischen Stoffen ist μr >1. In ihrem Inneren wird ein Magnetfeld gering verstärkt.
Bei ferromagnetischen Stoffen ist μr »1. Sie verdichten die Feldlinien im Inneren und verstärken das Magnetfeld um ein Vielfaches.

Die folgenden Tabellen zeigen durchschnittliche Permeabilitätszahlen verschiedener Werkstoffe.

diamagnetische Werkstoffe paramagnetische Werkstoffe
Werkstoff Permeabilität μr Werkstoff Permeabilität μr
Kupfer 1 − 10·10−6 Aluminium 1 + 22·10−6
Silber 1 − 25·10−6 Platin 1 + 310·10−6

ferromagnetische Werkstoffe
Werkstoff kleinste
Permeabilität
größte
Permeabilität
Reinsteisen 6 000 250 000
Gusseisen (C reich) 70 600
Stahl (C arm) 40 7 000
Elektroblech 500 7 000
Fe-Co Legierung 2 000 6 000
Fe-Si Legierung 10 000 20 000
Al-Ni-Co-Fe
Alnico-Legierung
4 7 300
Fe-Ni (15%-75%) Supermalloy 100 000 300 000
weichmagn. Ferrite 10 40 000

Die folgende Gegenüberstellung zeigt die wichtigsten Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen dem statischen elektrischen Feld und dem Magnetfeld.

Elektrisches Feld Magnetisches Feld
Das elektrische Feld ist ein Quellenfeld.
Die Feldlinien beginnen auf positiven Ladungen.
Sie enden auf negativen Ladungen.
Das magnetische Feld ist ein Wirbelfeld.
Die Feldlinien sind in sich geschlossen.
Sie haben keinen Anfang und kein Ende.
Feldlinien sind die möglichen Flugbahnen
einer frei beweglichen positiven Probeladung.
Feldlinien sind die möglichen Flugbahnen
eines frei beweglichen, gedanklich geforderten
magnetischen Nord-(Mono)-Pols.
Wirkt auf einen Probekörper mit der Ladung q
die elektrische Kraft Fel, so gilt:
Fel = E · q
Ein Leiter der Länge s wird vom Strom I durchflossen.
Auf ihn wirkt die magnetische Kraft Fmag:
Fmag = B · I · s
Im E-Feld gibt es Potenziallinien bzw.
Potenzialflächen. Jedem Feldpunkt lässt sich
eindeutig ein definiertes Potenzial zuordnen.
Aufgrund der Wirbeleigenschaft des M-Feldes
gibt es den Begriff des Potenzials hier nicht.
Ein Nichtleiter (Dielektrikum) im E-Feld verändert
die Stärke des Feldes in Abhängigkeit
von den Dipoleigenschaften des Dielektrikums.
In Formeln wird das durch die relative
Dielektrizitätszahl εr berücksichtigt.
Materie im Magnetfeld verändert die Feldstärke.
Man unterscheidet zwischen paramagnetischen,
diamagnetischen und ferromagnetischen Stoffen.
In Formeln wird das durch die relative
Permeabilität μr berücksichtigt.

Magnetischer Kreis

Magnetfeldlinien haben keinen Anfang und kein Ende und bilden ein in sich geschlossenes Wirbelfeld. In Analogie zum geschlossenen elektrischen Stromkreis mit sich bewegenden Elektronen wird der Weg der magnetischen Feldlinien als magnetischer Kreis bezeichnet. Verschiedene Materialien leiten Magnetfeldlinien unterschiedlich gut. In Anlehnung an den ohmschen Widerstand im elektrischen Stromkreis wird ein magnetischer Widerstand im magnetischen Kreis definiert.

Im elektrischen Stromkreis ist die Spannung die Ursache für den Stromfluss. Das Magnetfeld eines Elektromagneten wird von der Durchflutung der Erregerspule aufgebaut, die folglich als Ursache des Magnetfelds als magnetische Spannung bezeichnet wird. Die elektrische Spannung verursacht den elektrischen Strom, entsprechend erzeugt das Magnetfeld den magnetischen Fluss.

Die Tabelle zeigt in einer vergleichenden Gegenüberstellung sich entsprechende Größen des elektrischen und magnetischen Kreises. In den Gleichungen stehen s für die Länge des Leiters oder mittlere Magnetlinienlänge und A für die Fläche. Die Einheit Weber Wb entspricht V·s im physikalischen SI-Einheitensystem.

Elektrischer Kreis Magnetischer Kreis
Bezeichnung Formel Zeichen Gleichung Einheit Bezeichnung Formel Zeichen Gleichung Einheit
Spannung U V Durchflutung Θ Θ = I · N A
Stromstärke I A magnetischer
Fluss
Φ Wb
Stromdichte S S = I / A A / mm2 magnetische Flussdichte B B = Φ / A T
Leitfähigkeit κ A·m / (V·mm2) Permeabilität μ μ = μo · μr Wb / (A·m)
Widerstand R R = s / (κ·A) Ω magnetischer
Widerstand
Rm Rm = s / (μ·A) A / Wb
Leitwert G G = 1 / R S magnetischer
Leitwert
Λ Λ = 1 / Rm Wb / A
ohmsches Gesetz U = R · I Θ = Φ · Rm
Reihen-
schaltung
U = U1 + U2 + ... + Un
R = R1 + R2 + ... + Rn
Θ = H1s1 + H2 s2 + ... + Hnsn
Rm = Rm1 + Rm2 + ... + Rmn

In den Baugruppen der Elektrotechnik gibt es magnetische Kreise mit und ohne Luftspalt. Luft ist ein schlechter magnetischer Leiter. In ferromagnetischen Werkstoffen werden die Feldlinien konzentriert hindurch geleitet. Sie zählen zu den besten magnetischen Leitern. Sollen Magnetfeldlinien einen magnetischen Widerstand Rm überwinden, so muss Energie zugeführt werden. Mit bekanntem magnetischen Fluss kann der magnetische Kreis berechnet werden. Die Formel Θ = Φ · Rm darf keinesfalls nach Φ umgestellt werden, denn Φ  Θ / Rm


Energie eines Magnetfelds

Der elektrische Strom erzeugt mit dem magnetischen Fluss Φ das Magnetfeld der Spule. Im Magnetfeld ist Energie gespeichert, mit der Arbeit verrichtet werden kann. Die magnetische Flussdichte B ist proportional zum magnetischen Fluss, der eine bestimmte Fläche durchsetzt. Der Proportionalitätsfaktor ist die Fläche A. Das Magnetfeld umgibt konzentrisch den elektrischen Leiter und ist senkrecht zur Stromrichtung ausgerichtet. Der elektrische Strom durchflutet somit das Magnetfeld. Die magnetische Durchflutung oder magnetische Spannung ist direkt proportional zum Strom und zur Windungszahl.

Entsprechend der elektrischen Feldstärke E in V/m ist die magnetische Feldstärke H in A/m definiert. Entlang einer beliebigen geschlossenen magnetischen Feldlinie ist die Summe aller Produkte H · Δs gleich der Durchflutung Θ = N · I, die als magnetische Spannung bezeichnet wird. Für ein homogenes Feld vereinfacht sich das zur korrekten Berechnung von Θ notwendige Ringintegral zu: Θ = N · I = H · s. Darin ist s die betrachtete Feldlinienlänge oder Luftspaltbreite. Die Änderung eines Magnetfelds generiert eine entgegen gerichtete Induktionsspannung Uind.

Im ideal definierten Modell einer Spule wird die elektrische Energie vollständig in magnetische Energie umgewandelt. Die Herleitung beschränkt sich auf den Energiegehalt eines homogenen Feldes, das in Kreisringspulen und im geschlossenen Magnetkern einer Spule zu finden ist. Hat der Magnetkern einen schmalen Luftspalt, so ist in guter Näherung auch dort das Magnetfeld homogen. Die magnetische Energie pro Volumeneinheit wird als magnetische Energiedichte wm bezeichnet.

Formeln zur magn.Durchflutung

Kraft eines Magnetpols

Ein fixierter Elektromagnet mit einem Joch aus Weicheisen soll einen beweglichen Anker aus Weicheisen parallel zu sich anziehen. Der Spulenstrom erzeugt im Joch den magnetischen Fluss Φ. An den Jochenden entstehen in Abhängigkeit von der Stromrichtung der Nord- und Südpol. Die Feldlinien durchfließen den Anker und magnetisieren ihn. Jetzt stehen sich zwei Magnete mit ungleichnamigen Magnetpolen gegenüber. Durch Verkürzen der Magnetfeldlinien im Luftspalt kann der Energiegehalt des magnetischen Feldes seinen angestrebten Minimalwert erreichen. Der Anker wird mit einer bestimmten Kraft vom Joch angezogen. Die Geometrien der Magnetpole von Joch und Anker sollen gleich sein. Die Herleitung der Kraft bezieht sich auf einen Pol.

Magnetische Anziehungskraft

Jeder Pol bewegt den Anker mit seiner Zugkraft F um eine kleine Wegstrecke ds auf das Joch zu. Dabei ändert sich die magnetische Energie um dWm ändert. Die Hubarbeit wird der magnetischen Energie entnommen. Mit der Bedingung, dass bei jeder weiteren Wegänderung die magnetische Flussdichte in den Eisenkernen konstant bleibt, ist die Energie den Anker anzuziehen nur von der Energiedichte im Luftspalt abhängig. Die Energieänderung kann so mit einer Volumenänderung im Luftspalt gleichgesetzt werden. Im Luftspalt ist der Wert für μr = 1. Der Anker wird mit 2·F, der Kraft beider Pole, angezogen.

Die Gleichung gilt universell für jeden Magneten und lässt nicht erkennen, ob die Flussdichte im Spalt von einem Elektro- oder Dauermagneten erzeugt wurde. Jeder stromdurchflossene Leiter ist von einem Magnetfeld umgeben. Magnetische Kräfte auf stromdurchflossene Leiter sind besonders dann nicht zu vernachlässigen, wenn sehr hohe Ströme in nahe zusammenliegenden Leitern fließen.