Physikalische Größen eines Magnetfelds
Im Folgenden werden wichtige physikalische Größen des Magnetfelds beschrieben und Eigenschaften des magnetischen Kreises mit denen des elektrischen Kreises verglichen. Abschließend gibt es Hinweise zur Energie eines Magnetfelds und zur Kraft, die von einem Magnetpol ausgeht. Die Betrachtungen gelten für die Magnetostatik.
Die Durchflutung
Nach dem Anlegen einer Spannung bewegen sich die freien Elektronen im Leiter entlang der elektrischen Feldlinien als elektrischer Strom vom Minus- zum Pluspol. H. Christian Ørsted beobachtete 1820, dass ein vom Strom I durchflossener elektrischer Leiter von einem Magnetfeld umgeben ist. Dieses Magnetfeld ist von der Flussrichtung und der Stromstärke abhängig. Mit Magnetnadeln oder Eisenpulver kann gezeigt werden, dass der Leiter vom Magnetfeld konzentrisch umgeben ist. Die sich bewegenden Elektronen durchfluten auf ihren Strompfaden das von ihnen erzeugte Magnetfeld. Die Durchflutung hat eine auf das Leiterinnere bezogene und außerhalb des Leiters messbare Komponente.
Die Durchflutung hat das Formelzeichen Θ (Theta, griech. Großbuchstabe) mit der Einheit Ampere. Im Elektromaschinenbau werden teilweise Amperewindungen (Aw) als Benennung verwendet. Die Durchflutung ist das Produkt aus der Stromstärke und der Windungszahl: Θ = I · N in Ampere.
Die Stromdichte ist die Summe aller Strompfade, die durch ein Flächenelement gehen, das von einer geschlossene Kurve umgeben ist. Die Stromdichte ist die Ursache für das Magnetfeld. In Analogie dazu ist beim geschlossenen Stromkreis die Spannung die Ursache für den Strom. Die magnetische Durchflutung wird auch als magnetische Spannung Um bezeichnet und ist das Maß für die Kraft, die von der magnetischen Feldstärke H ausgeht.
Magnetische Feldstärke
Die magnetische Feldstärke hat das Formelzeichen H mit der Einheit (A/m). Diese Größe kann mathematisch berechnet aber nicht direkt gemessen werden. Gemessen wird die später beschriebene magnetische Flussdichte B. Fließt durch einen geraden unendlich lang angenommenen Leiter der Strom 1 A, so ist im gleichbleibenden Abstand von 1 m zum Leiter an jeder Stelle des Raums die magnetische Feldstärke H = 1 A/m.
Die folgenden Betrachtungen gelten für Gleichstrom und für Ströme mit Frequenzen kleiner 1 MHz. Die magnetische Feldstärke außerhalb eines Leiters ist umgekehrt proportional zum Leiterabstand. Vereinfacht angenommen fließt der Strom zentriert und homogen verteilt durch den Leiter. Die magnetische Feldstärke H entlang einer geschlossenen Umfangslinie, hier dem Kreisumfang ist konstant. Der wirksame Strom ist die Summe aller gerichteten Strompfade, die die umrandete Fläche durchfluten. Jedes freie Elektron im Leiter, das dem angelegten E-Feld (Spannung) folgt, bildet einen Strompfad, der konzentrisch vom Magnetfeld umgeben ist. Im Leiter kann jede geschlossene Umlauflinie gewählt werden, wobei nur die davon eingeschlossenen Strompfade einen Beitrag zur Durchflutung liefern. Das Magnetfeld außerhalb des Leiters ist die Summe aller Teilmagnetfelder der Strompfade im Leiter. Diese Stromsumme I bewirkt, dass direkt entlang des Leiterumfangs die magnetische Feldstärke ihren höchsten Wert hat. Sie nimmt mit der Entfernung vom Leiter ab.
Mathematisch und wissenschaftlicher beschrieben wird das Durchflutungsgesetz oder Ampèresche Gesetz durch das Linienintegral der magnetischen Feldstärke H entlang eines in sich geschlossenen räumlichen Integrationswegs (Kurve, Kontur). Im Leiterinnenraum ist das Ergebnis gleich dem Flächenintegral aller Strompfade (Vektor J) innerhalb der Fläche, die vom Integrationsweg umschlossen wird. Der Normal(en)vektor der Flächen ist in Stromrichtung orientiert. Die gerichteten Größen werden mathematisch als Vektoren behandelt. Die Herleitung erfolgt hier für den einfachen Fall einer Kreiskontur. Auf dem Kreisumfang ist die Feldstärke H für jeden Wegabschnitt (ds) konstant.
Das Skalarprodukt ist das Produkt der Vektorbeträge. Der geschlossene Integrationsweg als Summe aller Wegabschnitte soll gleich dem Kreisumfang sein. Der Strom soll sich im Leiter homogen verteilen. Durch jedes differentielle Flächenelement fließt der gleiche Teilstrom. Die Stromdichte im gesamten Flächenelement, das von der Wegkontur, hier dem Kreisumfang umschlossen ist, ist gleich dem Gesamtstrom I. In der Skizze ist R der Leiterradius. Bei der Betrachtung von Kreiskonturen innerhalb des Leiters wird der Radius ri verwendet. Innerhalb des Leiters nimmt die magnetische Feldstärke H(ri) vom Zentrum bis zum Leiterrand proportional mit dem Abstand zu. Entlang des Leiterrands erreicht sie ihren höchsten Wert. Außerhalb des Leiters nimmt H(r) umgekehrt proportional mit dem Abstand ab.

Wird der Leiter zum Leiterring und fortlaufend zur Spule geformt, dann nimmt die Durchflutung bei gleichem Strom I proportional mit der Zahl N der Leiterschleifen zu. Wird bei gleicher Durchflutung Θ der Durchmesser des Leiterrings oder der Spule verkleinert, so liegen die Magnetfeldlinien näher beieinander. Die Feldstärke nimmt zur Ringmitte hin zu. Bei mehrlagig gewickelten Spulen und Kreisringspulen wird in guter Näherung die Feldstärke entlang des mittleren Abstands lm zum Spulenzentrum berechnet.

Der Feldlinienverlauf eines Leiterrings ist nicht homogen. Die Bestimmung von H erfolgt mit dem Ringradius r und dem Abstand s vom Ringmittelpunkt. Bei einer Zylinderspule ist neben der Windungszahl N die Länge l der Spule und der Durchmesser der Windungen zu berücksichtigen. In einer langen Zylinderspule verlaufen in guter Näherung die Feldlinien homogen und parallel zueinander. Ist die Spulenlänge im Vergleich zur Windungsfläche sehr groß, dann ist das magnetische Feld vom Abstand der Flächenmitte nahezu unabhängig. In der Spulenmitte ist H am höchsten und nahe den beiden Enden halb so groß.

Magnetischer Fluss
Mit dem magnetischen Feld H ist der magnetische Fluss verbunden. Er ist eine skalare Größe, und kann positiv oder negativ sein. Der magnetische Fluss ist ein Maß für die Anzahl der magnetischen Feldlinien H eines Permanent- oder Elektromagneten, die durch eine im Feld angenommene Fläche gehen. Er ist proportional zur Feldstärke H und zur Fläche innerhalb des Feldes. Das Formelzeichen ist Φ (Phi, griech. Großbuchstabe) mit der Einheit (V·s) oder Weber (Wb) zu Ehren des Physikers Weber.

In der Skizze befindet sich die Ausgangsfläche A in der x-y-Ebene. Die Feldrichtung verläuft senkrecht dazu in z-Richtung. Der Normalenvektor An einer Fläche steht immer senkrecht auf der Fläche. Für die blaue Fläche zeigt er in Feldrichtung und der Anstellwinkel φ beträgt 0°. Diese Fläche umschließt die maximale Anzahl der Feldlinien. Wird diese Fläche um 90° gedreht, so steht sie als violette Fläche parallel zur Feldrichtung. Der Normalenvektor der Fläche bildet mit der Feldrichtung den Winkel 90°. In dieser Stellung erfasst die Fläche keine Feldlinien. Der magnetische Fluss ist proportional zum Kosinus des Anstellwinkels φ. Er wird von den Vektoren der Feldrichtung und dem Normalenvektor aufgespannt. Die effektiv wirksame Fläche ist die senkrechte Projektion der um φ gedrehten Fläche auf die Ausgangsfläche. Der magnetische Fluss ist das Skalarprodukt zwischen dem Feldvektor und dem Flächen-Normalenvektor. Ohne spezielle Vektorrechnung wird das Produkt aus dem Wert der Feldstärke, der Fläche und dem Kosinus des Anstellwinkels φ gebildet.
Magnetische Flussdichte
Ein elektrischer Leiter der Länge s soll sich in einem äußeren Magnetfeld H befinden und vom elektrischen Strom I durchflossen werden. Das vom Leiter erzeugte magnetische Feld überlagert sich mit dem äußeren Feld. Auf den Leiter wird eine Kraft ausgeübt, die proportional zum Strom I und der Leiterlänge s ist, die sich im äußeren Feld befindet. Sich frei bewegende elektrische Ladungen entsprechen einem elektrischen Strom und werden ebenso von einwirkenden äußeren Magnetfeldern beeinflusst. Beispiele dazu sind die Braunsche Röhre früherer Fernsehgeräte, Oszillographen und die Fadenstrahlröhre, mit der im Physiklabor die Ablenkung eines Elektronenstrahls durch Magnetfelder sichtbar gemacht wird.
Die Definition der Proportionalitätskonstanten, der magnetischen Flussdichte B, führt zu Gleichungen für die Berechnung der Kraft auf bewegte Ladungen im einwirkenden Magnetfeld. B ist eine vektorielle Größe, die der Kraft des H-Felds entspricht. Im Vakuum sind die beiden vektoriellen Feldgrößen H und B zueinander proportional. Die Proportionalitätskonstante ist die magnetische Feldkonstante des Vakuums μo, die auch als magnetische Permeabilität bezeichnet wird. Die maximale magnetische Flussdichte B, auch magnetische Induktion genannt, gibt die Dichte der magnetischen Feldlinien durch eine senkrecht zur Feldrichtung liegenden Fläche an. Das Formelzeichen ist B, eine vektorielle Größe mit der Einheit (V·s/m2) oder (T), zu Ehren des Physikers Tesla.
Die Vektorgröße B zeigt in die Richtung der magnetischen Feldgröße H. Die magnetische Kraftwirkung Fmag errechnet sich mithilfe des Vektorprodukts aus B und der Bewegungsrichtung. Schließen beide Vektorgrößen einen rechten Winkel ein, so steht der Kraftvektor Fmag senkrecht zu beiden Ausgangsvektoren. Das Vektorprodukt für beliebige Winkel errechnet sich aus den Längen der Ausgangsvektoren multipliziert mit dem Sinus des aufgespannten Winkels. Die maximale Kraftwirkung entsteht beim 90° Winkel, da sin(90°) = 1 ist. Die magnetische Kraft auf bewegte Ladungen ist die Lorentzkraft.

Magnetische Permeabilität
Die magnetische Feldkonstante des Vakuums μo ist der Quotient der magnetischen Flussdichte B zur magnetischen Feldstärke H und kann mithilfe mehrerer Naturkonstanten hergeleitet werden. Auch für eine Spule ohne Kern (Luftspule) gilt praktisch dieser Wert. Wird das Kernmaterial geändert, so kann sich das Verhältnis B/H bei konstant gehaltener Magnetfeldstärke mehr oder weniger stark ändern. Die relative Permeabilität oder Durchlässigkeit für Magnetfeldlinien μr ist eine dimensionslose Zahl und für Kernwerkstoffe sehr unterschiedlich. Auch für denselben Kernwerkstoff variiert μr oft nicht linear mit der magnetischen Feldstärke und durchläuft einen Sättigungswert. Magnetisierbare Legierungen aus Eisen, Kobalt und Nickel haben die Fähigkeit magnetische Feldlinien in sich zu konzentrieren und verstärken das Magnetfeld. Blei, Zinn und Kupfer können magnetische Feldlinien geringfügig verdrängen und das Magnetfeld etwas schwächen. Für die magnetische Flussdichte einer Spule mit Kern gilt die Formel: B = μo · μr · H
Die Permeabilitätszahl μr eines Stoffes gibt an, wie viel Mal größer die magnetische Flussdichte B gegenüber Vakuum oder Luft bei gleicher Durchflutung Θ ist.
Die Permeabilität μ ist das Produkt aus der magnetischen Feldkonstante µo und einer dimensionslosen Permeabilitätszahl µr.
Es gilt: μ = μo · μr
Bei diamagnetischen Stoffen ist μr <1. In ihrem Inneren wird ein Magnetfeld gering geschwächt.
Bei paramagnetischen Stoffen ist μr >1. In ihrem Inneren wird ein Magnetfeld gering verstärkt.
Bei ferromagnetischen Stoffen ist μr »1. Sie verdichten die Feldlinien im Inneren und verstärken das Magnetfeld um ein Vielfaches.
Die folgenden Tabellen zeigen durchschnittliche Permeabilitätszahlen verschiedener Werkstoffe.
diamagnetische Werkstoffe | paramagnetische Werkstoffe | ||
---|---|---|---|
Werkstoff | Permeabilität μr | Werkstoff | Permeabilität μr |
Kupfer | 1 − 10·10−6 | Aluminium | 1 + 22·10−6 |
Silber | 1 − 25·10−6 | Platin | 1 + 310·10−6 |
ferromagnetische Werkstoffe | ||
---|---|---|
Werkstoff | kleinste Permeabilität |
größte Permeabilität |
Reinsteisen | 6000 | 250000 |
Gusseisen (C reich) | 70 | 600 |
Stahl (C arm) | 40 | 7000 |
Elektrobleche | 500 | 7000 |
Trafobleche | bis 75000 | |
Fe-Co Legierung | 2000 | 6000 |
Fe-Si Legierung | 10000 | 20000 |
Al-Ni-Co-Fe Alnico-Legierung |
4 | 7300 |
Mu-Metall, Permalloy Ni-Fe-Cu-Cr um (78,15,5,2)% Supermalloy Ni-Fe-Mo um (77,18,5)% |
80000 - 500000 | |
weichmagnetische Ferrite | 10 | 40000 |
Die folgende Gegenüberstellung zeigt die wichtigsten Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen dem statischen elektrischen Feld und dem Magnetfeld.
Elektrisches Feld | Magnetisches Feld |
---|---|
Das elektrische Feld ist ein Quellenfeld. Die Feldlinien beginnen auf positiven Ladungen. Sie enden auf negativen Ladungen. |
Das magnetische Feld ist ein Wirbelfeld. Die Feldlinien sind in sich geschlossen. Sie haben keinen Anfang und kein Ende. |
Feldlinien sind die möglichen Flugbahnen einer frei beweglichen positiven Probeladung. |
Feldlinien sind die möglichen Flugbahnen eines frei beweglichen, gedanklich geforderten magnetischen Nord-(Mono)-Pols. |
Wirkt auf einen Probekörper mit der Ladung q die elektrische Kraft Fel, so gilt: Fel = E · q |
Ein Leiter der Länge s wird vom Strom I durchflossen. Auf ihn wirkt die magnetische Kraft Fmag: Fmag = B · I · s |
Im E-Feld gibt es Potenziallinien bzw. Potenzialflächen. Jedem Feldpunkt lässt sich eindeutig ein definiertes Potenzial zuordnen. |
Aufgrund der Wirbeleigenschaft des M-Feldes gibt es den Begriff des Potenzials hier nicht. |
Ein Nichtleiter (Dielektrikum) im E-Feld verändert die Stärke des Feldes in Abhängigkeit von den Dipoleigenschaften des Dielektrikums. In Formeln wird das durch die relative Dielektrizitätszahl εr berücksichtigt. |
Materie im Magnetfeld verändert die Feldstärke. Man unterscheidet zwischen paramagnetischen, diamagnetischen und ferromagnetischen Stoffen. In Formeln wird das durch die relative Permeabilität μr berücksichtigt. |