Ersatzstromquelle – Norton-Äquivalent

Eine reale Spannungsquelle ist die Reihenschaltung einer als ideal definierten Quellenspannung und einem ohmschen Innenwiderstand. Die Klemmenspannung ist von der Belastung abhängig und verringert sich merklich, wenn beim Anschluss kleiner Lastwiderstandswerte relativ große Lastströme fließen. Hinsichtlich des Stroms kann eine Spannungsquelle auch als Stromquelle definiert werden. Der Quellenstrom soll dann ebenfalls konstant und von der Belastung unabhängig sein.

Werden die Anschlussklemmen der realen Spannungsquelle kurzgeschlossen, dann fließt ein konstanter Kurzschlussstrom der vom unveränderten Innenwiderstand begrenzt ist. Dieser Strom soll bei Belastung der Quelle im äußeren Stromkreis möglichst unabhängig sein und konstant bleiben. Die als ideal definierte Stromquelle liegt parallel zum Innenwiderstand und den Anschlussklemmen.

Für die reale belastete Spannungsquelle gilt die Gleichung Gl.(1). Beim Kurzschluss bestimmt der Innenwiderstand den maximalen Kurzschlussstrom und die konstante Quellenspannung U0 fällt am Innenwiderstand ab. Wird Gl.(2) in Gl.(1) eingesetzt und umgeformt, ist zu erkennen, dass sich der konstant definierte Quellenstrom an der Parallelschaltung aus Innen- und Lastwiderstand aufteilt. \[\begin{array}{l} U = {U_o} \cdot \frac{{{R_L}}}{{{R_L} + {R_i}}}\quad (1)\\ {I_k} = \frac{{{U_o}}}{{{R_i}}} = {I_o}\quad \Rightarrow {U_o} = {I_o} \cdot {R_i}\quad (2)\\ U = {I_o} \cdot {R_i} \cdot \frac{{{R_L}}}{{{R_L} + {R_i}}}\\ U = {I_o} \cdot \frac{{{R_i}\,{R_L}}}{{{R_i} + {R_L}}}\quad (3)\\ \end{array}\] An den Klemmen der unbelasteten Ersatzstromquelle ist die gleiche Klemmenspannung messbar, die an der unbelasteten ursprünglichen Spannungsquelle gemessen wird. Eine ideale Stromquelle sollte immer einen konstanten Strom liefern. Nach Gl.(3) ist das gegeben, solange Wert des Lastwiderstands klein im Vergleich zum Innenwiderstand ist. Im Schaltbild der realen Stromquelle muss der Innenwiderstand parallel zu den Anschlussklemmen liegen. Die unbelastete Klemmenspannung würde nach Gl.(3) sonst gegen unendlich streben.

Jede reale Spannungsquelle kann in eine reale Ersatzstromquelle, bestehend aus einem idealen Quellenstrom und einem Parallelwiderstand, umgewandelt werden. Im englischen Sprachraum wird sie als Norton-Äquivalent bezeichnet. Ebenso kann jede reale Stromquelle in eine Ersatzspannungsquelle, dem Thévenin-Äquivalent zurück gewandelt werden. Das Norton- und Thévenin-Äquivalent stehen in einer mathematischen Beziehung.

\({R_{i\,Thev}} = {R_{i\,Nort}}\)  zwischen Strom und Spannung gilt  \({U_{Thev}} = {I_{Nort}} \cdot {R_{i\,Nort}}\)

Praktische Ermittlung der Betriebsdaten

Die Quelle wird kurzgeschlossen und der Ausgangsstrom ermittelt. Er ist gleich dem Quellenstrom INort. Der Norton-Widerstand oder Innenwiderstand ist aus der Leerlaufspannung und dem Kurzschlussstrom der Stromquelle errechenbar. Für sehr niederohmige Spannungsquellen ist die praktische Messung ungeeignet.

Theoretische Ermittlung der Betriebsdaten

Soll ein beliebiges lineares Netzwerk in ein Norton-Äquivalent gewandelt werden, so werden alle Spannungsquellen im Netzwerk durch einen Kurzschluss ersetzt. Alle Stromquellen werden entfernt oder als 'open circuit' betrachtet. In Blickrichtung auf die Ausgangsklemmen liegen alle Innenwiderstände parallel zueinander und können als Ersatz-Innenwiderstand berechnet werden. Die Quellen werden wieder aktiviert und der Kurzschlussstrom ermittelt. Die Verbraucherpfeilrichtung ist zu beachten. Mit dem zuvor errechneten Norton-Innenwiderstand kann dann die unbelastete Leerlaufspannung an den Klemmen ermittelt werden.

Um den Innenwiderstand der äquivalenten Stromquelle zu ermitteln werden alle Quellen deaktiviert. Die Innenwiderstände bleiben aktiv und bilden mit Blick auf die Ausgangsklemmen eine Parallelschaltung: \[\begin{array}{l} {R_i} = {R_1}||{R_2}||{R_3}\\ {R_i} = \frac{{{R_1} \cdot {R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_1} \cdot {R_2} + {R_3}({R_1} + {R_2})}} \end{array}\] Die Spannungsquellen werden aktiviert und die Stromquelle bleibt deaktiviert. Auf die Anschlussklemme (A) wird die Stromknotengleichung angewendet. Der Innenwiderstand R3 ist kurzgeschlossen und nicht wirksam: \[\begin{array}{l} (1)\quad {I_1} - {I_2} - {I_k} = 0\\ {I_k} = \frac{{{U_1}}}{{{R_1}}} - \frac{{{U_2}}}{{{R_2}}} \end{array}\] Im letzten Schritt wird die Stromquelle aktiviert. Ihr Strom fließt ebenfalls zur Anschlussquelle (A). Das dem Netzwerk entsprechende Norton-Äquivalent liefert den Konstantstrom \({I_o} = {I_k} + I\) und hat den Innenwiderstand Ri. Die in der Grafik angegebenen Werte können praktisch oder mithilfe einer Simulationsschaltung bestätigt werden.

Das Norton-Äquivalent, die Ersatzstromquelle setzt im Leerlauf Leistung um. Das Thévenin-Äquivalent, die Ersatzspannungsquelle bleibt im Leerlauf leistungslos. Durch den in Reihe liegenden Innenwiderstand fließt kein Strom. Werden beide Quellen gegeneinander ersetzt, so bleibt der Wert des Innenwiderstands gleich.