Rekursionen und Palindrome

Das 3·n + 1 Problem

Hierbei handelt es sich eher um einen mathematischen Zeitvertreib, der vielleicht zum Problem werden kann, wenn man den Beweis erbringen will, wieso die folgende Rechenanweisung immer zum gleichen Ergebnis führt.

Rekursionsschma

Wähle eine beliebige natürliche positive Zahl n.

Ist n eine gerade Zahl, so dividiere n durch 2.

Ist n eine ungerade Zahl, so multipliziere n mit 3 und addiere 1.

Das Ergebnis ist die neue Startzahl n oder das Endergebnis 1.

Wird je nach Zwischenergebnis immer einer der beiden Rechenschritte angewendet, dann führt die Rechenschleife nach mehr oder weniger Durchläufen immer zum Endergebnis: EINS.

Steinhaus Zyklus

Eine andere rekursiv ausgeführte mathematische Rechenanweisung liefert als Endergebnis eine EINS oder die periodische Zahlenfolge 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89. Dieser Zyklus ist nach seinem Entdecker Steinhaus benannt.

Rekursionsschema

Wähle eine beliebige 4-stellige positive ganze Zahl (abcd).

Bilde die Summe der Quadrate ihrer Ziffern (a² + b² + c² + d²).

Setze das Ergebnis als neue Startzahl und führe die Rechenoperation rekursiv aus.

Zahlenpalindrome

Diese folgende Rekursionsanweisung liefert im Gegensatz zu ihren Vorgängern nicht immer ein Ergebnis. Falls doch, steht am Ende eine Spiegelzahl, Palindrom genannt. Das sind Ausdrücke, die vorwärts und rückwärts laufend gelesen das Gleiche ergeben.

Das klappt nicht nur mit Zahlen, sondern auch mit Worten wie RENTNER oder EHE. Hier könnte man vielleicht auf die Idee kommen, dass es der Wirklichkeit entspricht – von allen Seiten betrachtet, immer der gleiche Trott?! Manche Namen wie OTTO oder ANNA bilden auch ein Palindrom. Doch bleiben wir bei unschuldigen und neutralen Zahlen:

Rekursionsschema

Nimm eine mehrstellige positive ganze Zahl.

Invertiere diese Zahl – lies also von rechts nach links.

Bilde die Summe beider Zahlen durch Addition.

Ist das Ergebnis keine Spiegelzahl, so starte damit eine neue Schleife.

Die Rechenschleife liefert bei den meisten Startzahlen mehr oder weniger schnell ein Palindrom. Für einige Zahlen ist nach dieser Anweisung bisher ist noch kein Palindrom gefunden worden. Vielleicht hat man die Suchroutine zu früh abgebrochen?
Zu diesen Ausnahmen gehören die Startzahlen 196, 295, 394, 493, 592, 689, 691 ....
Es wird weiterhin behauptet, dass alle Palindrome mit 4 Ziffern durch 11 teilbar sind. Zum selber Ausprobieren gibt es hier einen. JavaScript Palindromgenerator

Palindrom-Generator

Gib als Startzahl eine mehrstellige positive ganze Zahl ein, die nicht zu den Ausnahmen gehört. In den meisten Fällen ergibt sich nach wenigen Rechenschleifen eine Spiegelzahl, ein Palindrom. Sollte ein Stacküberlauf als Fehler erfolgen, so ist der Schleifenzähler zu verkleinern.