Primzahlen mit Berechnungsformel?

Im Artikel 'Spaß mit Mathe' von Prof. Albrecht Beutelspacher in der Zeitschrift Bild der Wissenschaft 10/2007 wird der Frage nachgegangen, ob es nicht möglich wäre, eine Formel zum Auffinden von Primzahlen zu erstellen. Bislang testen Hochleistungsrechner jede Zahl, ob es eine Primzahl ist, und wenn nicht kommt die nächste Zahl dran. Ein Glück, dafür gibt es Computer und ein Programm!

Primzahlen sind per Definition größer als 1. Sie lassen sich nur durch 1 und sich selber ohne Rest teilen. Die ersten Primzahlen lauten daher 2, 3, 5, 7, 11 ...

Es sollten nur einfache Rechenoperationen zur Anwendung kommen und daher suchten sich Prof. Beutelspacher und sein Freund aus diesen 5 Primzahlen einige aus. Der eine nahm die 2, 5 und 7, der andere die übrig gebliebene 3 und 11. Jeder multiplizierte seine Zahlen. Die Ergebnisse sind: Z1 = 2 · 5 · 7 = 70 und Z2 = 3 ·11 = 33

Bildet man nun die Summe oder die Differenz der beiden Ergebnisse, so erhält man wieder Primzahlen:
Z1 + Z2 = 103 sowie Z1 − Z2 = 37

Ist dieses überraschende Ergebnis nun rein zufällig für nur die oben gewählte Kombination oder funktioniert das Schema öfter? Man kann es für andere neue Zusammenstellungen aus den 5 Primzahlen ausprobieren und wird viele neue Primzahlen erhalten:
Z1 = 2 · 3 ·11 = 66 und Z2 = 5 ·7 = 35 ergeben die Primzahlen: Z1 + Z2 = 101 sowie Z1 − Z2 = 31. Noch ein Versuch:
Z1 = 3 ·5 ·7 = 105 und Z2 = 2 ·11 = 22 ergeben die Primzahlen Z1 + Z2 = 127 sowie Z1 − Z2 = 83.

Da wir aber wissen, dass die Mathematiker bislang keine allgemeine Berechnungsformel für Primzahlen gefunden haben, wird es auch nicht mit allen Primzahlkombinationen aus dem Beispiel oben klappen. Die Ergebnisse für Z1 oder Z2 dürfen nicht zu groß sein:
Z1 = 3 · 7 ·11 = 231 und Z2 = 2 ·5 = 10 ergeben die Zahlen: Z1 + Z2 = 241 und Z1 − Z2 = 221

Während 241 noch eine Primzahl ist, gehört 221 nicht dazu. Sie ist aber das Produkt aus den Primzahlen 13 und 17. Beide kommen nicht in der Auswahlliste vor und sind größer als die größte Primzahl der Liste.

Nur wenn Z1 + Z2 sowie Z1 − Z2  kleiner als das Quadrat der höchsten Primzahl aus der Liste ist, liefert die Addition und die Subtraktion bestimmt eine neue Primzahl. Mathematik ist doch eine faszinierende Wissenschaft – und erst die Mathematiker, die solche Gesetzmäßigkeiten finden!