Die Winkelfunktionen des rechtwinkligen Dreiecks

In der Nachrichten- und Wechselstromtechnik lassen sich die Signale am Besten durch Winkelfunktionen beschreiben. Die allbekannte, normale Wechselstromkurve, als Sinuskurve bezeichnet, entsteht bei der kreisförmigen Rotation einer Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld. Die Berechnung von Wechselstromwiderständen gemischter Schaltungen ist nur mit Winkelfunktionen möglich. Werden Vektoren oder die komplexe Zahlenebene benutzt, so sind auch dort die Winkelfunktionen ein fester Bestandteil.

Der Teil der Mathematik, der die Berechnung ebener Dreiecke mit Hilfe von Winkelfunktionen durchführt, wird Trigonometrie genannt. Die Grundlage aller Berechnungen ist dabei das rechtwinklige Dreieck. Die schiefwinkligen Dreiecke lassen sich durch das Fällen einer Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen. Alle Winkelfunktionen haben keinen algebraischen Charakter, sie werden als transzendente Funktionen bezeichnet. Diese Seite umfasst folgende Thematik:

Stimmen zwei rechtwinklige Dreiecke in einem ihrer spitzen Winkel überein, so sind sie einander ähnlich. Das Verhältnis zweier entsprechender Seiten ist konstant und nur vom Winkel abhängig, es ist also eine Winkelfunktion. Die festgelegten Bezeichnungen lassen sich aus der Skizze entnehmen.

Zur Darstellung der Funktionen im rechtwinkligen Achsenkreuz geht man am besten vom Einheitskreis aus, dessen Radius r die Länge 1 hat. Der nach rechts weisende waagerechte Radius wird als Bezugs- oder Nullrichtung festgelegt. Für die Sinus- und Kosinusfunktion dreht man diesen Radius entgegen dem Uhrzeigersinn um einen Winkel φ, dadurch erhält man einen Punkt P auf der Kreislinie. Das Lot von diesem Punkt auf die Nullrichtung ist die Gegenkathete b zum Drehwinkel. Die Projektion des gedrehten Radius auf die Nullrichtung ist die Ankathete a des Winkels. Da der Radius als Hypotenuse definitionsgemäß die Länge 1 hat, ist die Maßzahl der Gegenkathete gleich dem Sinus des Winkels und die Maßzahl der Ankathete gleich dem Cosinus dieses Winkels. Auf der y-Achse des Koordinatensystems werden die Maßzahlen abgetragen. Die Teilung der x-Achse kann im Winkelmaß erfolgen oder im Bogenmaß, wobei 2·π = 360° entsprechen.

Zur Konstruktion der Tangensfunktion aus dem Einheitskreis zeichnet man im Endpunkt des Radius in seiner Nullrichtung die Tangente an den Kreis. Dann wird der Radius aus der Nullrichtung um den Winkel φ entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Der gedrehte Radius wird über den Punkt P hinaus bis zum Schnittpunkt mit der Tangente verlängert. Im gelben rechtwinkligen Dreieck ist der dabei entstandene Tangentenabschnitt b die Gegenkathete zum Drehwinkel. Da der Radius in Nullrichtung als Ankathete die Länge 1 hat, entspricht die Maßzahl des Tangentenabschnitts dem Tangens des Winkels.

Zur Konstruktion der Cotangensfunktion wird parallel zur Nullrichtung die Tangente an den Kreis gelegt. Der um den Winkel φ gedrehte Radius wird über P hinaus bis zum Schnittpunkt mit dieser Tangente verlängert. Im grauen rechtwinkligen Dreieck ist der Tangentenabschnitt a die Ankathete zum Drehwinkel, während der zur Nullrichtung senkrecht stehende Radius die Gegenkathete mit der Länge 1 ist. Damit entspricht die Maßzahl dieses Tangentenabschnitts dem Cotangens des Winkels.

Werden diese Operationen für alle Winkel von 0° ... 360° vorgenommen, so ergeben sich die Kurvenzüge der vier wichtigen Winkelfunktionen. Da bei ähnlichen Dreiecken immer das Verhältnis zweier entsprechender Strecken gleich ist, kann die Tangens- und Cotangensfunktion auch aus einem Verhältnis der Sinus- und Cosinusfunktion hergeleitet werden.

Für Winkelwerte von 0° bis 90° ist das Ergebnis der Winkelfunktionen immer positiv. Werden alle Winkel des Vollkreises durchlaufen, so können sich die Vorzeichen für den jeweiligen Quadranten ändern. Nach 360° ist eine volle Periode durchlaufen und der Vorgang wiederholt sich. Winkelfunktionen beliebig großer Winkel berechnen sich aus dem Restwinkelwert, der nach Abzug eines ganzzahligen Vielfachen von 360° bleibt.

Der Komplementwinkel
Die Winkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°. Im rechtwinkligen Dreieck ist einer davon immer 90°. Zieht man von einem Dreieckswinkel den 90° Winkel ab, so erhält man den Komplementwinkel. Wechselt man von einem Winkel zum Komplementwinkel, so muß man von der Winkelfunktion zur Cofunktion wechseln. Die Namen Cosinus und Cotangens leiten sich von 'complementi sinus (tangens)' ab.

Einfach zu merkende Funktionswerte

Zum schnellen Zeichnen des Kurvenverlaufs der einzelnen Winkelfunktionen lassen sich die nebenstehenden 5 Funktionsergebnisse leicht merken. Sie leiten sich aus einem gleichschenklig, rechtwinkligen Dreieck für den Winkel von 45° sowie aus einem gleichseitigen Dreieck für die Winkel 30° sowie 60° her. Dazu kommen noch die Werte für die Winkel 0° und 90°. Die Herleitung der Ergebnisse sind aus der folgenden Skizze ersichtlich.

Beziehungen zwischen den Funktionen desselben Winkels

Im rechtwinkligen Dreieck soll die Hypotenuse die Längeneinheit 1 haben. Wie am Einheitskreis zu erkennen ist, können die Kathetenlängen durch die Maßzahlen des Winkels ersetzt werden. Der Satz des Pythagoras nimmt für die Sinus- und Cosinusfunktion die nachstehende Form an. Mit den oben gezeigten Verhältnissen der Tangens- und Cotangensfunktion lassen sich die anderen Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen herleiten.

Diese Winkelbeziehungen lassen sich übersichtlich in einer Tabelle darstellen. Bei Winkelwerten über 90° sind die Vorzeichen der Winkelfunktionen für die einzelnen Quadranten zu beachten.

Additionstheoreme - Funktionen zusammengesetzter Winkel

Die Signale der Nachrichtentechnik setzen sich aus sehr vielen sinusförmigen Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen und Amplituden zusammen, die zueinander auch noch phasenverschoben sein können. Die Zusammenführung der einzelnen Signale ergibt z.B. Überlagerungen mit Addition und Subtraktion. Das Ergebnis kann auch eine Schwebung sein und unter besonderen Voraussetzungen kommt es zur Modulation. Sollen die Vorgänge mathematisch beschrieben werden, so benötigt man bei der Zusammenfassung und Umstellung der Funktionsgleichungen die Additionstheoreme der Winkelfunktionen.

Das Bild zeigt die grafische Herleitung für zwei Additionstheoreme. Durch geeignetes Ersetzen und Umstellen der Gleichungen lassen sich die anderen Beziehungen daraus herleiten. So gilt: (α − β) = (α + (−β)) sowie sin(−β) = −sinβ und cos(−β) = cosβ. Die Tangens- und Cotangensfunktionen werden durch die Verhältnisgleichungen mit Sinus und Cosinus beschrieben.

Trigonometrische Funktionen des doppelten Winkels

Wird die Sinusfunktion des einfachen Winkels f(φ) = sinφ als Grundwelle bezeichnet, dann hat die Sinusfunktion des doppelten Winkels g(φ) = sin2φ die doppelte Frequenz und ist somit die erste Oberwelle. Die Funktionen lassen sich recht einfach aus den Additionstheoremen herleiten, wobei dann für die Winkel α = β gesetzt wird.

Summen und Differenzen einiger Winkelfunktionen

In den Additionstheoremen kommen Summen und Differenzen verschiedener Winkelfunktionen vor. Mit ihrer Hilfe lassen sich die Summen und Differenzen gleicher Winkelfunktionen herleiten. Das wird an einem Beispiel gezeigt, während für einige andere Sinus- und Cosinusfunktionen nur das Ergebnis gezeigt wird. Die Tangens- und Cotangensfunktionen sind in der Elektronik nicht so interessant und erscheinen daher hier nicht.

Die Produkte einiger Winkelfunktionen

In den Summenformeln sind Produkte der Winkelfunktionen enthalten. Zum gewünschten Ergebnis kommt man auch hier durch geeignetes Ersetzen und Umformen. Ein Lösungsweg wird vorgestellt, einige weitere Ergebnisse werden nur aufgeführt.

Dieses Kapitel wird vielen sehr theoretisch und für die Praxis als unnötig erscheinen. Sind die Winkelwerte bekannt, so kann man doch sehr leicht mit einem Taschenrechner für jeden konkreten Fall die Summe, Differenz oder das Produkt direkt ermitteln. Die vorgestellten Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen helfen bei der Umformung und Vereinfachung von Funktionsgleichungen mit Winkelfunktionen.

Funktionsreihen

Die transzendenten Funktionen, wie z.B. die zuvor dargestellten Winkelfunktionen, lassen sich mit Hilfe der höheren Mathematik durch ganze rationale Funktionen beschreiben. Das soll hier nicht im Einzelnen geschehen, sondern nur exemplarisch vorgestellt werden. Betrachtet man den Kurvenverlauf der Sinusfunktion, so stellt man fest, dass sich der Bereich des Nulldurchgangs durch eine lineare Ersatzfunktion beschreiben lässt. Ein Teil der folgenden Krümmung entspricht einer Funktionsgleichung der dritten Potenz. Mit einer weiteren Ersatzfunktion noch höherer Potenzen kann die Sinuskurve bis zum Winkel von 90° sehr genau beschreiben werden.

Die Winkelfunktionen lassen sich durch numerische Reihen beschreiben in denen der x-Wert in immer höheren Potenzen auftritt. Diese Reihen werden als Potenzreihen bezeichnet. Sind in elektronischen Rechenmaschinen die Funktionswerte der transzendenten Funktionen nicht im ROM-Speicher abgelegt, so werden die Ergebnisse nach diesen Potenzreihen ermittelt.

© Detlef Mietke

Suchen nach ?