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Quadratische Ergänzung

Eine Gleichung 2. Grades, das ist eine quadratische Gleichung mit einer Unbekannten, ist besonders einfach lösbar, wenn sie in der Form eines binomischen Ausdrucks mit dem Exponenten n = 2 geschrieben vorliegt. Das Ziehen der Quadratwurzel führt nach einfachem Umstellen direkt zum Ergebnis, wie es im folgenden Beispiel zu sehen ist.

Einen positiven oder negativen Ausdruck quadriert hat als Ergebnis immer einen positiven Wert. In der Umkehrung muss das Ziehen der Quadratwurzel aus einem positiven Ausdruck zu einem doppelten Ergebnis mit positivem und negativem gleichen Wert führen. Das ±-Zeichen vor der Quadratwurzel sollte stets geschrieben werden.

Nun zeigt der ausführliche Rechenweg oben, dass es insgesamt nur zwei unterschiedliche Ergebnisse gibt. Es reicht somit aus, wenn auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen wird, das ±-Vorzeichen nur vor eine Wurzel zu schreiben. Eine quadratische Gleichung hat maximal 2 unterschiedliche Ergebnisse oder eine Doppellösung.

Liegt eine gemischt quadratische Gleichung vor, bei der beide Potenzen von x auftreten, führt das oben gezeigte Lösungsverfahren nicht zum Ziel. Jede Gleichung n-ten Grades kann in ihre Normalform geschrieben werden, wo auf einer Seite des Gleichheitszeichens 0 steht. Die Normalform wird so umgestellt, dass alle Potenzen von x auf einer Seite (links) stehen und der Koeffizient des quadratischen Glieds +1 ist. Falls notwendig dividiert man dazu alle Glieder der Gleichung durch den Faktor von x². Im nächsten Schritt sortiert man die Gleichung, dass links alle Potenzen von x und rechts die Werte ohne x stehen. Für die linke Seite wird die quadratische Ergänzung gesucht und die gesamte Gleichung damit erweitert.

Die quadratische Ergänzung ist ein Wert ohne x, der es ermöglicht die linke Seite der Gleichung in einen binomischen Ausdruck umzuwandeln. Der gesuchte Wert errechnet sich aus dem Koeffizienten des linearen Glieds. Der Faktor vor x wird halbiert und das Ergebnis quadriert. Diese Bildungsregel erschließt sich beim Vergleich beider Seiten der binomischen Gleichung in der Normalform.

Die p-q-Formel und allgemeine Lösungsformel

Ausgehend von einer allgemeinen gemischt quadratischen Gleichung in der Normalform geschrieben, kann mithilfe der quadratischen Ergänzung ein Lösungsansatz gefunden werden. Er ist in Formelwerken als p-q-Formel oder in einer weniger zusammengefassten Formel unter Verwendung der Ausgangskoeffizienten zu finden.

Beide Lösungsformeln sind zur Berechnung gleich gut geeignet. Bei Verwendung der p-q-Formel muss zuvor das quadratische Glied durch Division mit dem Koeffizienten freigestellt werden. Der Ausdruck unter der Wurzel ist die Diskriminante (Unterscheidungswert). Ist ihr Wert positiv, dann hat die quadratische Gleichung zwei unterschiedliche reelle Lösungen. Ist der Wert 0, so liegt eine reelle Doppellösung vor. Bei einer negativen Diskriminante gibt es keine reellen, aber zwei verschiedene konjugiert komplexe Lösungen.

Scheitelpunktform einer Parabel

Die Normalparabel f(x) = x² hat für x = 0 eine reelle Doppelnullstelle. Sie ist für die nach oben geöffnete Parabel der Minimalpunkt und Scheitelpunkt und bildet einen Extrempunkt im Kurvenverlauf. Wird die Parabel in x-Richtung verschoben, so ändert sich die Nullstelle und der Scheitelpunkt verschiebt sich. Für die Parabel f(x) = (x+1)² errechnet sich eine reelle Doppelnullstelle für x = −1. Dort liegt auch die x-Koordinate ihres Scheitelpunkts. Steht in der Klammer ein Minuszeichen, dann verschiebt sich der Scheitelpunkt in die positive x-Achsenrichtung. Das zur Abszisse x zusätzliche lineare Glied im Klammerausdruck gibt die mit −1 zu multiplizierende x-Koordinate der Scheitelpunktlage der Parabel an. Somit folgt für f(x) = (x+x_s)² die Lage des Scheitelpunkts bei S(−x_s / 0).

Die Dehnung der Normalparabel wird vom Koeffizienten vor x² bestimmt. Werte größer 1 ergeben einen steileren Verlauf der Kurvenäste. Werte kleiner 1 führen zum flacheren Kurvenverlauf mit kleineren Steigungswerten. Ein zusätzlicher Faktor a in der oben benutzten Scheitelpunktform bestimmt den Anstieg der Parabeläste.
f(x) = a·(x+x_s)² hat die Doppelnullstelle bei x_n = −x_s wie nach dem Ausrechnen des binomischen Ausdrucks und nachfolgender Anwendung der p-q-Formel leicht beweisbar ist.

Durch ein zusätzliches absolutes Glied lässt sich die Parabel im Achsenkreuz in der y-Richtung verschieben. Ein positiver Zahlenwert verschiebt den Scheitelpunkt nach oben, ein negativer Wert versetzt den Kurvenverlauf nach unten. Ganz klar ändern sich mit dem absoluten Glied nicht nur die Lage des Scheitelpunkts, sondern auch die Nullstellenkoordinaten. Unter Anwendung der quadratischen Ergänzung können für jede allgemeine Parabelgleichung die Scheitelpunktkoordinaten hergeleitet werden.

Die Ermittlung der Scheitelpunktkoordinaten nach diesem Verfahren wird dem in der Differenzialrechnung geschulten Auszubildenden umständlich erscheinen. Er weiß, dass sich mit den Nullstellenkoordinaten der Tangentensteigungsfunktion die Extremalpunkte der Stammfunktion errechnen lassen. In den Extrempunkten ist der Wert der Tangentensteigungen 0. Die 1.Ableitung der Stammfunktion wird 0 gesetzt. Die x-Koordinaten der Nullstellen sind gleich den x-Koordinaten der Extrempunkte. Diese in die Stammfunktion eingesetzt liefern dann die zugehörigen y-Koordinaten der Scheitelpunkte. Die folgende Herleitung zeigt diesen Rechenweg für die allgemeine Polynomfunktion 2. Ordnung.

© Detlef Mietke

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