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Die Gerade - Polynomfunktion 1. Ordnung
In einführenden Laborversuchen wird das Verhalten ohmscher Widerstände hinsichtlich der Stromleitfähigkeit bei unterschiedlichen Spannungen untersucht. Die Auswertung der Messergebnisse kann grafisch in einem rechtwinkligen Achsenkreuz erfolgen. Unter Berücksichtigung möglicher Messungenauigkeiten, der stets vorhandenen Messfehler, liegen alle Messpunkte entlang einer Ausgleichsgeraden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten in der Ebene wird als Gerade bezeichnet.
Zur grafischen Darstellung des Widerstandsversuchs trägt man auf der horizontalen Achse, der mathematischen x-Achse, die frei gewählten Spannungswerte ab. Die sich einstellenden Stromwerte trägt man auf der dazu senkrecht stehenden Achse, der mathematischen y-Achse, ab. Für jeden Widerstand lassen sich so die Stromwerte als Folge- oder Funktionswerte der Spannungen ansehen. Der durch den Widerstand fließende Strom ist eine Funktion der am Widerstand angelegten Spannung. Das Ergebnis zeigt einen linearen Zusammenhang mit dem Funktionsbild einer Geraden.
Immer können in der Praxis ermittelte Beobachtungsergebnisse auch durch Einsatz theoretisch mathematischer Gesetzmäßigkeiten beschrieben werden. Die Elektronik, ein Teilbereich der Naturwissenschaften, ist eng mit der Mathematik verbunden.
- Eine Gerade ist durch die Angabe der Koordinaten zweier auf ihr liegender Punkte eindeutig bestimmt.
Jeder weitere beliebige Punkt auf dieser Geraden ist zu diesen beiden ebenfalls linear und eindeutig berechenbar. Die Streckenverhältnisse jedes Punktepaares sind zueinander gleich.
Durch Umformen der Zweipunktegleichung erhält für die y-Koordinate eines beliebigen Punktes auf der Geraden eine Funktion f(x). Sie besteht aus einem linearen Glied mit x in der 1.Potenz und einem absoluten Glied ohne x.
Der folgende interaktive Flashfilm bietet die Möglichkeit, eine Gerade als Schnittlinie für zwei einstellbare Punkte darzustellen. Angezeigt werden die aktuelle Funktionsgleichung und die Steigung der gezeichneten Geraden im vorgegebenen Wertebereich -15 <= x,y <= +15.
Die Normalform einer Geradengleichung
- Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse verläuft, wird durch ihre Steigung m
und ihren y-Achsenabschnitt n eindeutig bestimmt.
Man erhält so die wohl bekannteste und allgemeinste Funktionsgleichung einer Geraden. Eine Gerade verläuft immer dann durch den Koordinatenursprung, wenn der y-Achsenabschnitt den Wert n = 0 hat.
- Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse verläuft, ist durch einen auf ihr liegenden Punkt
und ihre Steigung eindeutig bestimmbar.
Die Herleitung erfolgt mit der Normalform und einer zweiten Gleichung durch Einsetzen der Punktkoordinaten in die Normalform. Beide Gleichungen werden voneinander subtrahiert.
Die Steigung einer Geraden
Vergleicht man die Normalform mit der nach y umgestellten Zweipunkteform, so kann die Steigung m durch den Faktor im linearen Glied,
einem Differenzenquotienten berechnet werden. Die Steigung ist eine auf die x-Achse bezogene Neigung der Geraden. Das im ersten Bild
farbige rechtwinklige Dreieck wird als Steigungsdreieck bezeichnet. Die Steigung ist durch den Tangens des Winkels bestimmt, den die Gerade im gewählten Punkt (hier P1) mit der Horizontalen (Parallele zur x-Achse) bildet.
Bei der Berechnung der Steigung ist es egal, ob man die Koordinaten P1 von P2 oder P2 von P1 subtrahiert. Wichtig ist, dass im Zähler und Nenner die gleiche Reihenfolge eingehalten wird.
Der folgende interaktive Flashfilm stellt Geraden nach der Punktsteigungsform dar. Nach Eingabe der Werte für die Steigung und den Achsenabschnitt wird mit der Schaltfläche <Zeichnen> die aktuelle Funktionsgleichung geschrieben und die Gerade gezeichnet.
Es lassen sich noch mehr mathematische Beziehungen für Geraden in der analytischen Geometrie der Ebene aufstellen, die hier nicht behandelt werden sollen.
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