Die Ableitungsfunktion

Der Funktionsgraph einer Geraden zeichnet sich durch eine konstante Steigung für jeden gewählten Kurvenabschnitt aus. Sie kann, wie bei der Funktion 1. Ordnung gezeigt, aus dem Steigungsdreieck und dem zugehörigen Differenzenquotienten ermittelt werden. Funktionen höherer Ordnung weisen in ihren Kurvenpunkten unterschiedliche Steigungswerte auf. Die Steigung für einen ausgewählten Kurvenpunkt kann durch das Anlegen und Zeichnen einer Tangente bestimmt werden. Die Tangentensteigung lässt sich dann wieder durch ihren Differenzenquotienten ermitteln.

Für diese nicht effektive Bestimmungsmethode wird eine allgemeingültige Funktionsgleichung gesucht, mit der für jeden Kurvenpunkt die Steigung direkt errechnet werden kann. Die Gerade, die durch zwei nahe beieinanderliegende Kurvenpunkte geht, heißt Sekante. Ihre Steigung ist aus dem Differenzenquotienten unter Verwendung der beiden Kurvenpunktkoordinaten bestimmbar. Lässt man den einen Punkt P auf den anderen feststehenden Punkt P1 zustreben, so geht die Sekante in die Tangente im Punkt P1 über.

Die Tangente in einem Kurvenpunkt P1 wird als Grenzlage verstanden, zu der eine Folge von Sekanten durch P1 und einem weiteren Kurvenpunkt P zustrebt, wenn sich P unbegrenzt P1 nähert. Bei der Annäherung streben die Sekantensteigungen einem eindeutigen Grenzwert, der Tangentensteigung, zu. Der folgende interaktive Flashfilm zeigt für vier auswählbare Kurvenpunkte den Übergang der Sekantensteigungen zur Tangentensteigung in diesem Punkt.

Es ist leicht vorstellbar, dass sich zu einem ausgewählten Kurvenpunkt P1 Sekanten zeichnen lassen, deren zweiter Kurvenpunkt rechts oder links von P1 liegt. Die Sekantensteigungen stehen für einen Mittelwert zur gesuchten Tangentensteigung an P1. Die Steigung der Tangente an P1 ist der Momentanwert. Ergeben beide Sekantenfolgen von rechts und links kommend beim Grenzübergang (Differenzenquotient −> Differenzialquotient) den gleichen Grenzwert, so ist die betrachtete Funktion an der Stelle P1 differenzierbar.

Beim Einsetzen der Abszissenwerte von P1 und P in die Funktionsgleichung f (x) erhält man die zugehörigen Ordinatenwerte der Funktion. Der Zählerausdruck des Differenzenquotienten ( y1 − y ) kann somit als f (x1) − f (x) geschrieben werden. Eine direkte Berechnung der Tangentensteigung im gewählten Kurvenpunkt P1 mithilfe des Differenzenquotienten führt zu keinem sinnvollen Ergebnis, da sowohl der Zähler als auch der Nenner den Wert 0 annehmen.

Zur Bestimmung des Grenzwertes errechnet man aus dem Funktionsterm des Differenzenquotienten eine Steigungsfunktion g (x1), die an allen Stellen stetig sein muss. An den Stellen mit x ≠ x1 ist das Ergebnis des Differenzenquotienten die Steigung einer Sekante. An der Stelle x = x1 gibt der Limes des Differenzenquotienten die Tangentensteigung im Punkt P1 an. Die Grenzwertbildung führt zur gesuchten Ableitfunktion f ' (x).

Die folgenden Beispiele zeigen, dass durch einfaches Einsetzen von x = x1 in die Steigungsfunktion der Grenzwert bestimmt werden kann. Für die Funktionsgleichung einer Geraden ist das Ergebnis besonders leicht zu überprüfen, da ihre Steigung konstant und mit dem Steigungsfaktor des linearen Glieds identisch ist.

Das Kürzen des Differenzenquotienten durch den Nenner mit x ≠ x1 hat als Ergebnis die Steigungsfunktion g (x1) mit konstantem Wert, bei dem x nicht mehr vorkommt. Mit der Grenzwertbildung bleibt in der Ableitfunktion f ' (x) der Wert unverändert.

Auf Funktionen höherer Ordnung, hier eine ganzrationale oder Polynomfunktion dritten Grades, kann dieser Rechenweg ebenso angewendet werden. Solange x ≠ x1 ist, kann der Differenzenquotient ausgerechnet werden. Man erhält eine Steigungsfunktion g (x1). Ist sie für alle Werte von x stetig, führt die Grenzwertbildung zur Ableitfunktion im Kurvenpunkt P1, die mit x = x1 für alle Kurvenpunkte, als f ' (x) geschrieben, gültig ist.

Im Flashfilm ist der im 1. Quadranten verlaufende Hyperbelast für f(x) = 10 / x dargestellt. Auch für diese Stammfunktion kann, wie in den vorangegangenen Beispielen, die Ableitfunktion ermittelt werden. Ein Vergleich mit den im Film ermittelten Tangentensteigungen und den mit der folgenden Ableitgleichung errechenbaren Werten für den ausgewählten Punkt zeigt die Richtigkeit des Verfahrens.

Vergleicht man die Ausgangs- oder Stammfunktion mit der zugehörigen Ableitfunktion, so kann man bei den ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) eine Bildungsregel erkennen. Sie gilt auch für echt-gebrochen-rationale Funktionen in deren Zähler keine Potenzen größer x⁰ = 1 vorkommen. Für die abzuleitende Funktion wird der Exponent von x jedes einzelnen Glieds als Faktor vor das Glied geschrieben und der verbleibende Exponent um 1 erniedrigt. Da jede Konstante formal mit x⁰ multipliziert geschrieben werden kann, ist das Ergebnis ihrer Ableitung gleich 0.

© Detlef Mietke

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